2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷(一)理科数学

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷（一）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{
}
2
|60M x x x =+->，则R
M =（ ）
A. (3,2)-
B. [3,2]-
C. (,3)(2,)-∞-⋃+∞
D.
(,3][2,)-∞-⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意解不等式260x x +->，求得集合M 的范围，再求
R
M 即可.
【详解】260x x +->⇒(3)(2)0x x +->⇒3x <-，或2x >，
所以(,3)(2,)M =-∞-⋃+∞，所以[]3,2R
M =-.
故选：B
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及补集的概念，属于基础题.
2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+⋅（其中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，5i e 表示的复数位于复平面中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
根据欧拉公式，5cos5sin5i i e =+⋅，再判断cos5，sin5的正负即可. 【详解】根据题意，5cos5sin5i i e =+⋅，157rad ≈，所以5285rad ≈，
5rad 在第四象限，cos50>，sin50<，
所以5i e 表示的复数位于复平面中的第四象限. 故选：D
【点睛】本题主要考查复数对应的点所在象限，以及分析理解能力，属于基础题.
3.已知函数(3),0()11,02x
f x x f x x -⎧⎪=⎨⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭
⎩，则(2020)f =（ ）
A.
54
B. 3
C. 5
D. 9
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，0x ≥时，得到()f x 的周期是3，利用函数的周期性得到(2020)(2)f f =-，再代入0x <时的解析式求解即可.
【详解】根据题意，0x ≥时，()(3)f x f x =-，所以()f x 的周期为3，
所以(2020)(36742)(2)f f f =⨯-=-，
0x <时，112()x f x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
=，所以2
1152(2)f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭-=. 故选：C
【点睛】本题考查分段函数和函数的周期性，利用周期性将x 的范围变换到有解析式的范围中求解，属于基础题.
4.已知 1.1
0.80.7log 0.7,log 0.8, 2.1a b c ===，则（ ）
A. b a c <<
B. a b c <<
C. a c b <<
D.
b c a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数函数和指数函数的单调性，求出三个数的取值范围，比较大小即可. 【详解】0.8log 0.7a =，2
0.80.8log 0.72og .81l 0<=<，
0.7log 0.8b =，0.7log 00.81<<， 1.12.12c >=，
所以b a c <<. 故选：A
【点睛】本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查学生的分析判断能力，属于基础题.
5.在ABC 的中，D 为BC 的中点，1
3
AE AD =，则BE =（ ） A.
12
33AB AC - B. 1136AC AB - C. 1566
AB AC -
D.
15
66
AC AB - 【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知作图，由向量的关系可推得，特别注意1
()2
AD AB AC =
+.
【详解】根据题意，如图，13
BE BA AE AB AD =+=-+，又1
()2AD AB AC =+，
所以1115
()3266
BE AB AB AC AC AB =-+⨯
+=-.
故选：D
【点睛】本题主要考查向量的线性运算和表示，要求学生熟练掌握向量的加减运算，属于基础题.
6.已知抛物线2
:4C y x =的焦点F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF 的值为（ ） A.
4
3
B.
32
C. 2
D. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
作图，根据抛物线上一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离，得到MQ FQ =，再利用
3FP FQ =，得到
2
3
MQ FN =，代入2FN =，求解即可. 【详解】根据题意，如图，2
4y x =的焦点(1,0)F ，准线l ：1x =-， 过点Q 作准线l 的垂线，并交准线l 于点M ，
3FP FQ =⇒
3FP FQ
=⇒
2
3
PQ PF =， 由相似，
23MQ FN =，因为2FN =，所以4
3
MQ =， 又MQ FQ =，所以4
3
FQ =
.
故选：A
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，一般和抛物线相关的题，一定考虑抛物线上的点到到焦点的距离等于这一点到准线距离的转化，还考查数形结合和转化的思想，属于基础题. 7.设0>ω，函数2cos 17y x πω⎛
⎫
=+- ⎪⎝
⎭
的图像向右平移3π
个单位后与原图像重合，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3
C. 6
D. 12
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，平移后的图像与原图像重合，所以
3π
是最小正周期的整数倍，2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭的最小正周期2T π
ω
=
，列出等式，求解即可.
【详解】由题意，2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期2T πω= ， 2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭的图像向右平移3π
个单位与原图像重合，
所以平移的是最小正周期T 的整数倍，所以
23
k π
π
ω
=⋅
，解得6k ω=，
因为0>ω，所以1k =时，ω取最小值为6. 故选：C
【点睛】本题主要考查对三角函数图像的理解，三角函数的周期性，还考查学生对题目的分析理解能力，属于基础题.
8.若将圆2
2
2
x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M ，则在圆内随机放一粒
豆子，落入M 的概率是（ ） A.
3
2
π B.
3
4
π C.
2
2
π D.
2
4
π
【答案】B 【解析】
试题分析：作出圆2
2
2
x y π+=，与正弦曲线sin y x =的图像，在圆2
2
2
x y π+=内的正弦曲
线sin y x =与x 轴围成的区域的面积为00
2sin 2cos |4xdx x π
π
=-=⎰
，而圆222
x y π+=的面积
为3π，由几何概型的求法可知落入M 的概率是
3
4
π．
考点：定积分求面积，几何概型．
9.某超市为了了解“微信支付”与“支付宝支付”的情况（“微信支付”与“支付宝支付”统称为“移动支付”），对消费者在该超市在2019年1-6月的支付方式进行统计，得到如图所示的折线图，则下列判断正确的是（ ）
①这6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多 ②这6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大 ③这6个月中4月份平均每天使用“移动支付”的次数最多
④2月份平均每天使用“移动支付”比5月份平均每天使用“移动支付”的次数多
A. ①③
B. ①②③
C. ①③④
D. ①②③④
【答案】C 【解析】 【分析】
根据折线图，对①②③④逐项分析计算即可.
【详解】①由图像知，使用微信支付的总次数比使用支付宝支付的总次数多，故正确； ②图像中纵坐标是消费次数，并不知道消费总额，故错误；
③由图像知，四月份移动支付消费次数更多，所以平均值也最大，故正确； ④二月份平均每天消费次数
4.82 4.03
0.31628
+≈，五月份平均每天消费次数
4.99 4.17
0.29531
+≈，0.3160.295>，故正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查折线图的应用以及对数据分析处理的能力，属于基础题.
10.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，P 是11A C 的中点，点Q 在棱1CC 上运动，当1||BQ QA +取得最小值时，异面直线AP 与BQ 所成角的余弦值为（ ）
A.
15
B.
25
C.
35
D.
45
【答案】C 【解析】 【分析】
利用两点间距离公式的几何意义找出点Q 的位置，再将异面直线的夹角转化到同一个平面内，利用余弦定理求解即可.
【详解】设CQ x =，则12C Q x =-， 所以2222221||4(2)4(0)(20)(2)(20)BQ QA x x x x +=
++-+=-+-+-+-，
这个式子表示的几何意义是平面上一点(,2)x 到(0,0)和(2,0)的距离和，
当1||BQ QA +取得最小值时，即
(,2)x 到(0,0)和(2,0)的距离和最小， 此时(,2)x 在(0,0)和(2,0)的垂直平分线上，所以1x =， 即当点Q 为1CC 的中点时，1||BQ QA +取得最小值， 过1C 做AP 的平行线，且交AC 于点M ， 过1C 做BQ 的平行线，且交1BB 于点N ，如图，
1MC N ∠即异面直线AP 与BQ 所成角，在1MC N 中，
221125MC =+=,221125MC =+=，2
2132MN =+=，
由余弦定理，13
cos 5
255MC N ∠=
=⨯⨯
故选：C
【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，和求异面直线的夹角，通过平行关系把异面直线的夹角变成一个平面内的夹角是关键，还考查余弦定理以及学生的空间想象能力，属于
中档题.
11.美不胜收的“双勾函数”
1
y x
x
=+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分
别是y轴和直线y x
=，则其离心率为（）
【答案】B
【解析】
【分析】
将双勾函数与标准双曲线的图像进行对比，渐近线与实轴的夹角是不变的，利用tan
b
a
θ=整理计算结果即可.
【详解】令渐近线与实轴的夹角为θ，则2
4
π
θ=，得
8
θ
π
=，
tan
b
a a
θ===
e=
由
2
2tan
tan21
1tan
θ
θ
θ
==
-
，得tan1
θ=，
所以e==
故选：B
【点睛】本题主要考查学生对圆锥曲线图像的理解，同时考查转化与化归的数学思想和计算能力，属于中档题.
12.若函数
2
,0
()
54,0
x
e
e x
f x
x x x
⎧⎪
=⎨
⎪++<
⎩
（其中e为自然对数的底数），则函数
()(())()
h x f f x f x
=-的零点个数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
()
h x零点的个数转化为两个函数的交点问题，求出交点(2,2)
--和(,)
e e后，再分别计算()2
f x=-和()
f x e
=的解得个数即可.
【详解】根据题意，()h x 零点的个数等价于(())()f f x f x =解的个数， 且(())()f f x f x =的解等价于()f x x =的解，
∴函数()y f x =与y x =有(2,2)--和(,)e e 两个公共点， ∵()f x 在5,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞上为增函数，在5(,)2
x ∈-∞-上为减函数， 59
()224
f -=-<-，∴()2f x =-有两个解，
(0)1f =，且0
lim (0)4x
f e -
→=>，∴()f x e =有三个解， ∴函数()h x 的零点共有5个. 故选：D
【点睛】本题主要考查零点问题的转化，一元二次函数和指数函数的图像性质，考查学生的转化和数形结合的思想，属于中档题.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
二项式6
⎛
⎝
的展开式中常数项为________.
【答案】-160 【解析】 【分析】
利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【详解】由二项式定理可知，
616(r
r
r
r T C -+=， 要求其中的常数项，令3r =，
3
633
3346(202(1)160T C -==⨯⨯-=-. 故答案为：160-
【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的通项公式的应用，属于基础题.
14.已知实数,x y 满足不等式组40
20250
x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩
，则3|24|x y +-的最大值为_________.
【答案】3 【解析】 【分析】
根据题意，画出不等式组所表示的可行域，了解|24|x y +-的几何意义，求出|24|x y +-的
最小值，即可求出3
|24|
x y +-的最大值.
【详解】根据题意，画出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示，
要求
3
|24|
x y +-得最大值，即求|24|x y +-的最小值，
|24|x y +-所表示的几何意义是点到240x y +-=22125+=
由图像知，点B 到240x y +-=的距离最小，
联立40250x y x y +-=⎧⎨--=⎩
，解得点(3,1)B ，代入|24|x y +-，
得到|24|x y +-的最小值为1，
所以3
|24|
x y +-的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】本题主要考查利用线性规划求解最值的问题，要能够理解目标函数的几何意义，进而求解，同时考查学生数形结合的数学思想，属于基础题.
15.过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为4∶5，类比此性质：过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为_______.
【答案】
2737
【解析】 【分析】
先分析清楚平面内的情况，再通过类比得到空间内的情况即可. 【详解】平面内，正三角形外接圆圆心截得高的长度比为2:1， 所以分正三角形两部分面积比为2
2
2
2:[(21)2]4:5+-=， 所以在空间内，正四面体外接圆截得高的长度比为3:1， 所以分正四面体两部分体积比为3
3
3
3:[(31)3]27:37+-=. 故答案为：
2737
【点睛】本题主要考查学生平面和空间的类比推理的能力，求解时要先分析题目中平面内情况，再通过类比得到空间的情况，属于中档题.
16.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足1
3,cos ,4
c A AD ==为BAC ∠的角平分线，且10AD =，则b =_______.
【答案】6 【解析】 【分析】
根据题意先求出BAD ∠的三角函数值，在ABD △中，已知两边夹一角，可以利用余弦定理求出2BD =， 再求出ADB ∠的三角函数值，在ADC 中，已知ADC ∠和DAC ∠，先求出C ∠，再利用正弦定理求解b 即可.
【详解】记2A θ=，因为21cos 2cos 14A θ=
=-，所以10cos 4θ=，6sin 4
θ=，
在ABD △中，由余弦定理，222
cos 2AB AD BD AB AD
θ+-=⋅，代入数据，解得2BD =，
222cos 28AD BD AB ADB BD AD +-∠===
⋅， cos cos ADB ADC ∠=-∠
，所以cos 8ADC ∠=-
，sin 8
ADC ∠=， 在ADC
中，sin sin()sin cos sin cos C ADC ADC ADC θθθ=∠+=∠+∠=
， 由正弦定理，sin sin AD AC C ADC
=∠
88
=
，解得，6AC =，即6b =. 故答案为：6
【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档题. 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.数列{}n a
满足)1n n a a n N ++=+∈，且24a =， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2
）记n n
b =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2
n a n =；（2）22151144(1)(2)n S n n ⎛⎫
=
-- ⎪++⎝⎭
【解析】 【分析】
（1
1=，利用等差数列通项公
n a 的通项公式即可； （2）先整理n b 的通项公式，再利用裂项相消求和即可. 【详解】（1
）∵1n n a a +=+
1n n a a +-=
1=
∵24a =
1=，
∴数列
{}n
a 是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴1
1n a n n =+-=，∴2
n a n =
（2）∵122
1
(2)n n n a n b n n ++=
=+，∴22221111(2)4(2)n n b n n n n ⎛⎫+==- ⎪++⎝⎭
∴2
22222222111111
11111432435
(1)(1)(2)n S n n n n ⎛⎫
=
-+-+-++
-+ ⎪-++⎝⎭
∴2222211111511142(1)(2)44(1)(2)n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=
+--=-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
【点睛】本题主要考查由递推关系求解通项公式的方法，等差数列的通项公式和裂项相消法求和，还考查学生的计算能力，属于中档题.
18.如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ︒==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且,EB CB ED CD ==.
（1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论； （2）求二面角A EC D
--余弦值.
【答案】（1）存在点F ，点F 为EA 的中点，证明见解析；（210
【解析】 【分析】
（1）容易判断出点F 为EA 的中点，根据中位线定理得到//OF EC ，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据题目给出的数据，找出两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二
面角A EC D --的余弦值.
【详解】（1）存在点F ，点F 为EA 的中点
证明：当点F 为EA 的中点时，连结AC 交BD 于O ， ∵平行四边形ABCD ，∴O 为AC 的中点， 连结OF ，则//OF EC ，
∵FO ⊂平面BDF ，EC ⊂/平面BDF ，∴//EC 平面FBD .
（2）∵4,2EB CB AD ED CD AB ======，60BAD ∠=︒
∴23BD =，∴222BE BD ED =+，222BC BD DC =+，∴BD ED ⊥，BD DC ⊥ 又∵平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABCD ，BD ⊥平面ECD ， 以DB 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，如图建系：D xyz -
则(0,0,0)D ，(23,2,0)A -，(0,2,0)C ，(0,0,2)E ，(23,0,0)B ∴(3,4,0)AC =-，(3,2,2)AE =- ∴(23,0,0)DB =为平面ECD
一个法向量，
令平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，
∴234023220
n AC x y n AE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩取2x =，3y =3z =∴平面ACD 的一个法向量为(2,3,3n =，
令二面角A EC D --为θ，由题意可知θ为锐角，
则||cos |cos ,|5||||23n DB n DB n DB θ⋅=<>=
==⋅.
【点睛】本题主要考查线面平行的证明，二面角余弦值的求法，还考查学生对空间中线线、线面、面面间的位置关系以及计算能力，属于中档题.
19.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点31,2Q ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
是椭圆上的点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）定值12AB k =，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据离心率，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆上以及222
a b c =+，列方程组求解a ，b ，c 的值，可得椭圆标准方程；
（2）根据APQ BPQ ∠=∠，得到直线PA 与直线PB 斜率的关系，设AP l 和BP l 的直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，可以得到点A 和点B 横坐标和纵坐标的关系，再利用斜率的定义表示出AB k ，化简即可.
【详解】（1）根据题意，22
2
22121
914c e a a b a b c
⎧==⎪⎪
⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（2）∵APQ BPQ ∠=∠，则直线PA 与直线PB 的斜率之和为0，
令()11,A x y ，()22,B x y ，
令直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 则AP l 的方程为3(1)2
y k x =-+
， ()()
2222
22
3(1)2438124123014
3y k x k x k k x k k x y ⎧
=-+⎪⎪⇒+--+--=⎨⎪+=⎪⎩ 则212812143k k x k -+=+，同理：222
812143
k k x k ++=+， 则212286
43
k x x k -+=+，12
22443k x x k --=+， 又∵()11312y k x =-+
，()223
12
y k x =--+， 则
()()121212
12
331122AB k x k x y y k x x x x ⎡⎤
-+
---+⎢⎥-⎣⎦=
=--()1212
2k x x k
x x +-=
- ∴222
862121
432424243
AB
k k k
k k k k -⋅--+===--+（定值）
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆中的定值问题，解决定值问题，要充分理解题意，直线联立椭圆方程，利用韦达定理化简计算，属于中档题.
20.有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得()x x N +∈分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束.记甲乙累计得分分别为,ξη. （1）一轮游戏后，求3η>的概率；
（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望17132E η=，要使得甲的数学期望171
32
E ξ>，求x 的最小值. 【答案】（1）7
8
；（2）2 【解析】 【分析】
（1）由题知3η≥，当3η>时情况比较多，直接求解(3)P η>比较困难，所以先求出
(3)P η=，再利用(3)1(3)P P ηη>=-=求解即可；
（2）求出每一次抛币甲得分的期望，计算171
32
E ξ>的最小正整数x 即可；或者列出甲所有得分的可能性，列分布列，计算171
32
E ξ>
的最小正整数x . 【详解】抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为1
2
，
（1）由游戏规则可知：3η≥且每次抛币得分为1分的概率均为
12
， 则3
11(3)28
P η⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则17(3)1(3)188P P ηη>=-==-=； （2）记(1,2,3)i i ξ=分别表示甲乙第i 次抛币的得分， 由题意，甲第一次得分为x ， 甲第二次得分分布列：
274
E ξ=
甲第三次得分分布列：
33116
E ξ=
∴12373117141632E E E E x ξξξξ=++=+
+>，∴5332
x >，∵x N +∈，∴x 的最小值为2 法二：ξ可能取值为2x +，3x +，4x +，6x +，7x +，8x +
ξ的分布列为
591711632E x ξ=+
>，∴5332
x >， ∵x N +∈，∴x 的最小值为2.
【点睛】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列和期望，还考查正难则反的思想以及学生的分析理解能力，属于中档题.
21.已知函数2
()x f x e ax x =--（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 的切线方程为
(3)y e x b =-+.
（1）求实数,a b 的值；
（2）若关于x 的不等式4
()5
f x m >+
对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值. 【答案】（1）1
1
a b =⎧⎨=⎩；（2）max 1m =- 【解析】 【分析】 （1）计算()
f x 导数，根据(1)e 3f '=-，(1)f 也在切线上，列出方程组求解；
（2）构造函数4
()()5
g x f x =-
，判断()g x 的单调性，求出()g x 的最小值0()g x ，而0x 的值无法直接计算出来，所以根据零点存在定理，确定0x 的范围，再根据()00g x '=，得到一个等式转化的关系，从而确定0()g x 的范围，最后确定整数m 的最大值. 【详解】（1）令2
()x
f x e ax x =--，则()21x
f x e ax '=--， 得：(1)e 1f a =--，(1)e 21f a '=--，
由题得：(1)e 21e 31
(1)e 1e 31f a a f a b b ⎧=--=-=⎧⇒⎨⎨
=--=-+=⎩'⎩
（2）根据题意，要证不等式4
()5
f x m >+对于任意恒成立， 即证(0,)x ∈+∞时，4
()5
f x -
的最小值大于m ， 令244()()()2155
x x
g x f x e x x g x e x '=-=---⇒=--，
记()()21()2x
x
h x g x e x h x e ''==--⇒=-，
当(0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；当x (ln 2,)∈+∞时，()0h x '>， 故()h x 即()g x '在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，
又(0)0g '=，(ln 2)12ln 20g '=-<，且(1)30g e '=-<，3
23402g e ⎛⎫
'=-> ⎪⎝⎭
，
故存在唯一031,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使()00g x '=， 故当()00,x x ∈时，0g x ；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；
故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()02
min 0004
()5
x
g x g x e x x ==---
一方面：()014(1)5
g x g e <=-
另一方面：由()00g x '=，即00210x
e x --=， 得()02
2000004155
x
g x e x x x x =---
=-++
由031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得：()0111205g x -<<，进而()011140205g x e -<<-<， 所以1120m <-
，又因为m 是整数，所以1m -，即max 1m =-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数的单调性以及利用导数证明恒成立的问题，难点在于构造函数确定最值的范围，考查学生转化与分析能力，属于难题.
请考生在第22～23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为102x t y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为ρ=（1）求曲线12,C C 的普通方程；
（2）若点M 与点P 分别为曲线12,C C 动点，求||PM 的最小值，并求此时的P 点坐标.
【答案】（1）1C 的普通方程为2100x y +-=，2C 的普通方程为2211612
x y +=（2，(2,3) 【解析】
【分析】
（1）利用消参法，消去参数t ，可把曲线1C 的参数方程化为普通方程；通过极坐标和直角坐标的互化公式cos ,sin x y ρθθ==，可将曲线2C 的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2
）点P 是曲线2C 上动点，可先求出2C 的参数方程，则可表示出点P 坐标，运用点到直线距离公式求P 到直线1C 的距离，再运用辅助角公式化简即可得出答案.
【详解】（1）曲线1C 的普通方程为2100x y +-=
曲线2C 的极坐标方程为ρ=()223sin 48ρθ+= 曲线2C 普通方程为2
23448x y +=，即2211612x y +=
（2
）设点()
4cos P αα 则点P 到直线2100x y +-=
的距离为d ==当sin 16πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即3π
α=时||PM
， 此时点P 坐标为(2,3). 【点睛】本题主要考查利用消去参数的方法将参数方程化为普通方程，利用关系式222
cos ,sin tan x y x y y x ρρθρθθ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化，利用点到直线距离求距离公式和三角恒等变换的辅助角公式求距离最值问题.
23.已知函数()|21||1|f x x x =-++.
（1）解不等式()2f x ；
（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,a b 为正实数，且322a b m +=，求
23a b +的最小值. 【答案】（1）2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）8
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值不等式，分类讨论x 的取值范围，解不等式即可得解集；
（2）根据绝对值不等式的意义，求得()f x 的最小值m ，即可得32a b +的值，再结合基本不等式即可求出23a b
+的最小值. 【详解】解：（1）3(1)1()211212132x x f x x x x x x x ⎧⎪--⎪⎪⎛⎫=-++=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝
⎭⎩
∴132x x -⎧⎨-⎩或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1232
x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ∴1x -或10x -<≤或23
x ∴不等式的解集为2
(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
（2）由3(1)1()212132x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪⎛⎫=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩
可知min 13()22
f x
f m ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∴323,0,0a b a b +=>>
∴231231941(32)66(668333
a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当且仅当94323
a b b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
即当13,24a b ==时23a b
+的最小值为8. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，同时巧妙运用“整体代替1”的方法和基本不等式的运用，属于中档题.。