第11章梁的弯曲应力要点

第11章梁的弯曲应力
教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。

教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。

掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。

熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。

了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。

从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。

在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。

弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。

本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。

11.1梁的弯曲正应力
平面弯曲情况下，一般梁横截面上既
有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、
DB段。

而在CD段内，梁横截面上剪力等
于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。

下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公
式。

应综合考虑变形几何关系、物理关系
和静力学关系等三个方面。

11.1.1 弯曲正应力一般公式
1、变形几何关系
为研究梁弯曲时的变形规律，可通过
试验，观察弯曲变形的现象。

取一具有对
称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，
画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再
在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线
ab和cd，如图11.2(a)所示。

然后按图
11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲
状态。

从试验中可以观察到图11 .2(b)情况：
（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正
交，只是横线间作相对转动。

（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。

（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。

根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。

前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。

根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。

根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图11.2(c)所示。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。

综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。

从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对
称轴为y 轴，且向下为正，如图11.3 (b)所示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置尚待确定。

根据平面假设，变形前相距为dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d θ，并仍保持为平面。

中性层的曲率半径为ρ，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以
dx d o o ==ϕρ21
又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度为
ϕρd dx ab ==
变形后为
ϕρd y ab )(+=
故其纵向线应变为
ρ
ϕρϕρϕρεy
d d d y =
-+=
)(
（a ）
可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y 成正比。

2、物理关系
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知
εσE =
将(a)式代入上式，得
ρ
σy
E
= (b)
这就是横截面上正应力变化规律的表达式。

由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图11.4来表示。

3、静力学关系
以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。

这些问题需再从静力学关系来解决。

如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力σdA 组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y 平面的弯矩M ，因此，
0N A
F dA σ=
=⎰
(c)
⎰==A
y dA z M 0σ (d)
==⎰dA y M A
z σ
(e)
以式(b)代入式(c)，得
0==
⎰
⎰
A
A
ydA E
dA ρσ
(f)
上式中的积分代表截面对z 轴的静矩S z 。

静距等于零意味着z 轴必须通过截面的形心。

以式(b)代入式(d)，得
0==
⎰
⎰
A
A
yzdA E
dA ρσ
(g)
式中，积分是横截面对y 和z 轴的惯性积。

由于y 轴是截面的对称轴，必然有I yz =0,所示上式是自然满足的。

以式(b)代入式(e)，得
dA y E
dA y M A
A
⎰⎰=
=2ρσ （h ）
式中积分
2
Z
A
y dA I
=⎰ （i ）
是横截面对z 轴（中性轴）的惯性矩。

于是，(h)式可以写成
z
EI M
=
ρ
1
（11.1）
此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M 成正比，与EI z 成反比。

在同样的弯矩作用下，EI Z 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EI z 称为梁的抗弯刚度。

再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y 处的正应力为
y I M
z
=
σ （11.2） 此式即为纯弯曲正应力的计算公式。

式中M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。

当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，则与上相反。

在利用（11.2）式计算正应力时，可以不考虑式中弯矩M 和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。

应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可以使用。

同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。

因此，（11.2）式也适用于非纯弯曲情况。

11.1.2 最大弯曲正应力
由式(11.2)可知，在y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为
max
max max y I M y I M z z ==
σ
式中，比值I z /y max 仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。

用W z 表示。

即为
max
y I W z
z =
（11.3） 于是，最大弯曲正应力即为
z
W M
=
max σ （11.4） 可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。

抗弯截面系数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。

图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为
62
bh W z = (11.5)
32
3
d W z π=
(11.6)
而空心圆截面的抗弯截面系数则为
()4
3
132
απ-=
D W z (11.7) 式中ɑ=d/D ，代表内、外径的比值。

至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）。

例11.1 图11.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm ，b=12cm ，y=6cm ，a=2m ，F=1.5KN 。

计算A 截面上K 点的弯曲正应力。

解 先计算截面上的弯矩
kNm Fa M A 325.1-=⨯-=-= 截面对中性轴的惯性矩
473
310832.512
18012012mm bh I Z ⨯=⨯==
则MPa y I M Z A k 09.36010
832.51037
6
=⨯⨯⨯==σ A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。

11.2 平面图形的几何性质
构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。

反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何性质。

为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。

现在来讨论截面的一些主要的几何性质。

11.2.1形心和静矩
若截面形心得坐标为y C 和z C （C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式
A
dA y y
A
zdA z A
C
A
C
⎰⎰=
=, （a ）
静矩又称面积矩。

其定义如下，在图11.8中任意截面内取一点M （z,y ）,
围绕M 点取一微面积dA ，微面积对z 轴的静矩为ydA ，对y 轴的静矩为zdA ，则整个截面对z 和y 轴的静矩分别为：
⎰⎰==A
y
A z zdA
S ydA S (b) 有形心坐标公式
C
A
C
A Az
zdA Ay ydA ==⎰⎰
知：
C
A
y C
A
z Az zdA S Ay ydA S ====⎰⎰ (c)
上式中y C 和z C 是截面形心C 的坐标，A 是截面面积。

当截面形心的位置已知时可以用上式来计算截面的静矩。

从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的单位是长度的立方，用m 3 或cm 3 、mm 3等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴的静矩为零。

当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴的静矩，
应等于各个图形对
该轴静矩的代数和。

其表达式为
i n
i i z y A S ∑==1 (d)
i n i i y z A S ∑==1
(e)
而截面形心坐标公式也可以写成
∑∑=
i i
i C A
y A z (f)
∑∑=
i
i
i C
A
z A y (g)
11.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理
在图11.8中任意截面上选取一微面积dA ，则微面积dA 对z 轴和y 轴的惯性矩为z 2dA 和Y 2dA 。

则整个面积对z 轴和y 轴的惯性矩分别记为I z 和I y ，而惯性积记为I zy ，则定义：
22
,
z A
y A
I y dA I z dA
==⎰⎰ (h)
⎰=A
zy zydA I (i)
极惯性矩定义为：
222()z y A
A
I dA z y dA I I ρρ==+=+⎰⎰ (j)
从上面可以看出，惯性矩总是大于零，因为坐标的平方总是正数，惯性积可以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方，用m 4 或cm 4 、mm 4等表示。

同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。

同一截面对二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同，但它们之间存在一定的关系。

下面讨论二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。

图11.9所示任意截面对任意轴对z ´轴和y ´轴的惯性矩、惯性积分别为I z ´、I y ´ 和I z ˊy ˊ 。

过形心C 有平行于z ´、y ´的两个坐标轴z 和y ，截面对z 、y 轴的惯性矩和惯性积为I z 、I y 和I zy 。

对oz ´y ´坐标系形心坐标为C （a,b ）。

截面上选取微面积dA ，dA 的形心坐标为
b
y y a
z z +='+='
则按照惯性矩的定义有
⎰⎰⎰⎰⎰++=+='='A
A
A
A
A
y dA
a
zdA a dA z dA
a z dA z I 2
22
22)(
上式中第一项为截面对过形心坐标轴y 轴的惯性矩；第三项为面积的a 2倍；而第二项为截面过形心坐标轴y 轴静矩乘以2a 。

根据静矩的性质，对过形心轴的静矩为零，所以第二项为零。

这样上式可以写为
A a I I yc y 2+=' (k) 同理可得：
A b I I zc z 2+=' (l) abA I I zcyc y z +='' (m)
也就是说，截面对于平行于形心轴的惯性矩，等于该截面对形心轴的惯性矩再加上其面积乘以两轴间距离的平方；而截面对于平行于过形心轴的任意两垂直轴的惯性积，等于该面积对过形心二轴的惯性积再加上面积乘以相互平行的二轴距之积。

这就是惯性矩和惯性积的平行移轴定理。

例11.2 计算图11.10 所示T 形截面的形心和过它的形心z 轴的惯性矩。

解 （1）确定截面形心位置
选参考坐标系oz ´y ´，如图11.10所示。

将截面分解为上面和下面两个矩形部分，截面形心C 的纵坐标为
5731026004001016008501010002
222211==⨯⨯⨯+⨯⨯=
+==∑∑C C C i
i i c z m m A y A y A A y A y
（2）计算截面惯性矩
上面矩形与下面矩形对形心轴z 的惯性矩分别为
49214923249231101.211032.1317320080080020012
1
1075.727710010001001000121
m m I I I m m I m m I z z z z z ⨯=+=⨯=⨯⨯+⨯⨯=⨯=⨯⨯+⨯⨯=
11.3 梁的弯曲剪应力
当进行平面弯曲梁的强度计算时，一般来说，弯曲正应力是支配梁强度计算的主要因素，但在某些情况上，例如，当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。

下面介绍几种常见截面上弯曲剪应力的分布规律和计算公式。

11.3.1矩形截面梁的弯曲剪应力
图11.11(a)所示矩形截面梁，在纵向对称面内承受荷载作用。

设横截面的高度为h，宽度为b，为研究弯曲剪应力的分布规律，现作如下假设：横截面上各点处的剪应力的方向都平行于剪力，并沿截面宽度均匀分布。

有相距dx的横截面从梁中切取一微段，如图11.12(a)。

然
后，在横截面上纵坐标为y处，再用一个纵向截面m-n，将该微段的下部切出，如图11.12(b)。

设横截面上y处的剪应力为τ，则由剪应力互等定理可知，纵横面m-n上的剪应力τ’在数值上也等于τ。

因此，当剪应力τ’确定后，τ也随之确定。

如图11.12(a)所示，由于存在剪力F
，截面1-1与2-2的弯矩将不相同，
Q
分别为M和M+dM ,因此，上述两截面的弯曲正应力也不相同。

设微段下部横截
面m 1与n 2的面积为ω,在该两截面上由弯曲正应力所构成的轴向合力分别为N 1与N 2，则由微段下部的轴向平衡方程 Σx=0可知，
21N N bdx bdx -=='ττ
由此得
bdx
N N 2
1-=
τ (a) 由图11-12(c)可知
dA y I M
dA N z ⎰⎰*=
=ω
ω
σ1 式中，积分代表截面ω对z 轴的静矩，并用S z *表示，因此有
z
z
I MS N *
=1 (b)
z
z
Q z z I S dx F M I S dM M N *
*+=
+=)()(2 (c) 将式(b)和式(c)代入式(a)，于是得
b
I S F z z Q *=
τ （11.8）
式中：I z 代表整个横截面对中性轴矩z 的惯性距；而S z *则代表y 处横线一侧的
部分截面对z 轴的静距。

对于矩形截面，如图11.13所示，其值为
)4
(2)2(21)2(22
y h b y h y h b S z
-=+⨯-=*
将上式及I z =bh 3/12代入式(11.8)得
)41(2322
h
y bh F Q
-=τ （11.9）
由此可见：矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布(图11.13)；
在截面的上、下边缘(2
h
y ±=)，剪应力τ=0；在中性轴(y=0),剪应力最大，其
值为
bh
F Q 23max
=τ （11.10）
11.3.2 工字形截面梁的弯曲剪应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。

其横截面如图11.14所示。

中间狭长部分为腹板，上、下扁平部分为翼缘。

梁横截面上的剪应力主要分布于腹板上，翼缘部分的剪应力情况比较复杂，数值很小，可以不予考虑。

由于腹板比较狭长，因此可以假设：腹板上各点处的弯曲剪应力平行于腹板侧边，并沿腹板厚度均匀分布。

腹板的剪应力平行于腹板的竖边，且沿宽度方向均匀分布。

根据上述假设，并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上y 处的弯曲剪应力为：
b
I S F z z
Q *=
τ
式中，I z 为整个工字形截面对中性轴z 的惯性矩，S z *为y 处横线一侧的部分截面对该轴的静矩，b 为腹板的厚度。

由图11.14(a)可以看出，y 处横线以下的截面是由下翼缘部分与部分腹板的组成，该截面对中性轴z 的静矩为
)4
(2)(8)2(21)2()22(212)22(
222
2y h b h H B y h y y h b h H h h H B S z -+-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=*
因此，腹板上y 处的弯曲剪应力为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=)4(2)(82222y h b h H B b I F z Q τ
（11.11） 由此可见：腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布，如图11.14(b)所示。

在中性轴处(y=0)，剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处(y=±h/2)，剪应力最小，其值分别为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=8)(822max
h b B BH b I F z Q τ或
b S I F Z
Q
*
=max
τ （11.12）
)8
8(22min
Bh BH b I F z Q -=τ
（11.13）
从以上两式可见，当腹板的宽度b 远小于翼缘的宽度B ，τmax 与τmin 实际上相差不大，所以可以认为在腹板直剪应力大致是均匀分布的。

可用腹板的截面面积除剪力F Q ，近似地得表示腹板的剪应力，即
bh
F Q =
τ
（11.14）
在工字形截面梁的腹板与翼缘的交接处，剪应力分布比较复杂，而且存在应力集中现象，为了减小应力集中，宜将结合处作成圆角。

11.3.3 圆形截面梁的弯曲剪应力
对于圆截面梁，在矩形截面中对剪应力方向所作的假设不再适用。

由剪应力互等定理可知，在截面边缘上各点剪应力τ的方向必与圆周相切，因此，在水平弦AB 的两个端点上的剪应力的作用线相交于y 轴上的某点p ，如图11.15(a)。

由于对称，AB 中点C 的剪应力必定是垂直的，因而也通过p 点。

由此可以假设，AB 弦上各点剪应力的作用线都通过p 点。

如再假设AB 弦上各点剪应力的垂直分量τy 是相等的，于是对τy 来说，就与对矩形截面所作的假设完全相同，所以，可用公式来计算，即
b
I S F Z Z
Q y *=
τ
（11.15）
式中，b 为AB 弦的长度，S z *是图11.15(b)中阴影部分的面积对z 轴的静矩。

在中性轴上，剪应力为最大值τmax 。

其值为
A
F r F Q Q 34342max
=
=πτ
（11.16）
式中，F Q /A 是梁横截面上平均剪应力。

例11.3 梁截面如图11.16(a)所示，横截面上剪力F Q =15KN 。

试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。

截面的惯性矩I z =8.84
×10-6m 4。

解（1）最大弯曲剪应力。

最大弯曲剪应力发生在中性轴上。

中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为
342max ,10025.92
20)4512020(mm mm
mm mm mm S z ⨯=⨯-+=*
所以，最大弯曲剪应力为
MPa mm mm mm N b
I S F z Z Q 66.7)
20)(1084.8()10025.9)(1015(4
6343max
,max =⨯⨯⨯==
*τ （2）腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力。

由图11.16(b)可知，腹板、翼缘交接线一侧的部发截面对中性轴z 的静矩为
341040.8)3512020(mm mm mm mm S Z ⨯=⨯⨯=*
所以，该交接处的弯曲剪应力为
MPa mm
mm mm N b I S F z z
Q 13.7201084.8)1040.8)(1015(46343=⨯⨯⨯⨯==*τ
11.4 梁的强度条件
在一般情况下，梁内同时存在弯曲正应力和剪应力，为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。

以下将据此建立梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。

11.4.1 弯曲正应力强度条件
最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而该处的剪应力一般为零或很小，因而最大弯曲正应力作用点可看成是处于单向受力状态，所以，弯曲正应力强度条件为
[]σσ≤⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=max
max z W M （11.16）
即要求梁内的最大弯曲正应力σmax 不超过材料在单向受力时的许用应力[σ]。

对于等截面直梁，上式变为
[]σσ≤=
z
W M max
max （11.17） 利用上述强度条件，可以对梁进行正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。

11.4.2 弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处，而该处的弯曲正应力为零，因此，最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为
[]ττ≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=*
max
max
max
b I S F z z Q （11.18） 即要求梁内的最大弯曲剪应力τ
max
不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[τ]。

对
于等截面直梁，上式变为 []ττ≤=
*b
I S F z z Q max
,max (11.19)
在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。

因
此，对于一般细长的非薄壁截面梁，通常强度的计算由正应力强度条件控制。

因此，在选择梁的截面时，一般都是按正应力强度条件选择，选好截面后再按剪应力强度条件进行校核。

但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。

例11.4 图11.17(a)所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T 字形，并承受均布荷载q 作用。

试校该梁的强度。

已知荷载集度q=25N/mm ，截面形心离底边
与顶边的距离分别为y 1=95mm 和y 2=95mm ，惯性矩I z =8.84×10-6m 4
，许用拉应力[σt ]=35MPa ，许用压应力[σc ]=140Mpa 。

解（1）危险截面与危险点判断。

梁的弯矩如图11.17(b)所示，在横截面D 与B 上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。

截面D 与B 的弯曲正应力分布分别如图11.17(c)与(d)所示。

截面D 的a 点与截面B 的d 点处均受压；而截面D 的b 点与截面B 的c 点处均受拉。

由于|M D |>|M B |，|y a |>|y d |,|因此
|σa |>|σd |
即梁内的最在弯曲压应力σc,max 发生在截面D 的a 点处。

至于最大弯曲拉应力σt,max , 究竟发生在b 点处，还是c 点处，则须经计算后才能确定。

概言之，a,b,c 三点处为可能最先发生破坏的部位。

简称为危险点。

（2）强度校核。

由式(11.2 )得a,b,c 三点处的弯曲正应力分别为
MPa mm
mm Nmm I y M z a D a 8.591084.8)950)(1056.5(4
66=⨯⨯==σ MPa
I y
M MPa I y M z
c B c z
b
D b 6.333.28====
σσ
由此得
[][]
t c t c a c MPa MPa σσσσσσ<==<==6.338.59max ,max ,
可见，梁的弯曲强度符合要求。

例11.5 悬臂工字钢梁AB 图11.18(a)，长l=1.2m ，在自由端有一集中荷载F ，工字钢的型号为18号，已知钢的许用应力[σ]=170Mpa ，略去梁的自重，(1)试计算集中荷载F 的最大许可值。

(2)若集中荷载为45 kN ，拭确定工字钢的型号。

解（1）梁的弯矩图如图11—18(c)所示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为
M max =Fl=1.2F N ·m
由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为
W z =185×103mm 3
由公式(11.16)得
1.2F ≤(15×10-6)(170×106)
因此，可知F 的最大许可值为
⨯=⨯2.262
.1170185][max F 103N=26.2kN
(2)最大弯矩值M max =Fl=1.2×45×103N ·m=54×103N ·m 按强度条件计算所需抗弯截面系数为
[]
3356max
3181018.31701054cm mm MPa
Nmm M W Z =⨯=⨯=≥
σ
查附录可知，22b 号工字钢的抗弯截面模量为325cm 3
，所以可选用22b 号工字钢。

例11.6 例11.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力的强度计算，在自由端可承受的集中荷载F=26.2KN 。

已知钢材的抗剪许用应力[τ]=100Mpa 。

试按剪应力校核梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，并计算腹板所担负的剪力F Q1。

解（1）按剪应力的强度校核。

截面上的剪力F Q =26.2kN 。

由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸如图11.19(a)所示，又由表查得
I z =1660×104mm 4,mm S I z
z
154=
由公式(5—17),得腹板上的最大剪应力
MPa
MPa m N d S I F z
z Q 1002.26)/(102.26)105.6)(10154(102.26)(263
33max
<=⨯=⨯⨯⨯==--τ 可见工字钢的剪应力强度是足够的。

（2）沿腹板高度剪应力的计算。

将工字钢截面简化如图11.19(b)所示，图中
h 1=180－2×10.7=158.6(mm) b 1=d=6.5mm
由公式(11.14)得腹板上最大剪应力的近似值为
MPa
m N b h F Q
4.25/104.25)10
5.6)(10
6.158(102.2626333
11max
=⨯=⨯⨯⨯=
=--τ
这个近似值与上面所得26.2Mpa 比较，略偏小，误差为3.9%。

腹板上的最小剪应力在腹板与翼缘的连接处，翼缘面积对中性轴的静矩为
)
(103.8710)25.62180()107.10)(1094(34333m S Z ----*
⨯=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯⨯=
由公式(11.8)得腹板上的最小剪应力为
MPa m N b I S F Z Z
Q 2.21/102.21261
min =⨯==
*τ
得出了τmax 和τmin 值可作出沿着腹板高度的剪应力分布图如图11.19(c)所示。

（3）腹板所担负剪力的计算。

腹板所担负的剪力F Q1等于图11.19(c)所示剪力分布图的面积A 1乘以腹板厚度b 1。

剪力分布图面积可以用图11.19(c)中虚线将面积分为矩形和抛物线弓形两部分，得
[]
)
/(10389010)2.212.26()
106.158(3
2
)106.158)(102.21(363361m N A ⨯=⨯-⨯⨯+⨯⨯=-- 由此得
kN N b A F Q 3.25)(103.253111=⨯==
可见，腹板所担岁的剪力占整个截面剪力F Q 的96.6%。

11.5 提高梁强度的措施
前面已指出，在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的正应力强度条件
[]σσ≤=
W
M max max
为设计梁的主要依据，由这个条件可看出，对于一定长度的梁，在承受一定荷载的情况下，应设法适当地安排梁所受的力，使梁最大的弯矩绝对值降低，同时选用合理的截面形状和尺寸，使抗弯截面模量W 值增大，以达到设计出的梁满足节约材料和安全适用的要求。

关于提高梁的抗弯强度问题，分别作以下几方面讨论。

11.5.1合理安排梁的受力情况
在工程实际容许的情况下，提高梁强度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。

例如，图11.20(a)所示简以梁，承受均布载荷q作用，如果将梁两端的铰支座各向内移动少许，例如移动0.2l，如图11.20(b)，则后者的最大弯矩仅为前者的1/5。

又如，图11.21(a)所示简支梁AB，在跨度中点承受集中荷载P作用，如果在梁的中部设置一长为1/2的辅助梁CD 如图11.21(b)，这时，梁AB内的最大弯矩将减小一半。

上述实例说明，合理安排支座和加载方式，将显著减小梁内的最大弯矩。

11.5.2选用合理的截面形状
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。

截面形状和放置位置不同W
/A比值不同，因此，可
z
/A来衡量截面的合理性和经济性，比值愈大，所采用的截面就愈经济用比值W
z
合理。

现将跨中受集中力作用的简支梁为例，其截面形状分别为圆形、矩形和工字形三种情况作一粗略比较。

设三种梁的面积Ａ、跨度和材料都相同，容许正应力
和最大承载力比较见表11.1。

为170MPa。

其抗弯截面系数W
z
从表中可以看出，矩形截面比圆形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。

从正应力分布规律分析，正应力沿截面高度线性分布，当离中性轴最远各点处的正应力，达到许用应力值时，中性轴附近各点处的正应力仍很小。

因此，在离中性轴较远的位置，配置较多的材料，将提高材料的应用率。

根据上述原则，对于抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁，宜采用对中性轴对称的截面，如工字形截面等。

而对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁，则最好采用中性轴偏于受拉一侧的截面，便如T字形和槽形截面等。

11.5.3 采用变截面梁
一般情况下，梁内不同
横截面的弯矩不同。

因此，
在按最大弯矩所设计的等截
面梁中，除最大弯矩所在截
面外，其余截面的材料强度
均未得到充分利用。

因此，
在工程实际中，常根据弯矩
沿梁轴线的变化情况，将梁
也相应设计成变截面的。

横
截面沿梁轴线变化的梁，称
为变截面梁。

如图８.22（ａ）
(b)所示上下加焊盖板的板
梁和悬挑梁，就是根据各截面上弯矩的不同而采用的变截面梁。

如果将变截面梁设计为使每个横截面上最大正应力都等于材料的许用应力值，这种梁称为等强度梁。

显然，这种梁的材料消耗最少、重量最轻，是最合理的。

但实际上，由于自加工制造等因素，一般只能近似地做到等强度的要求。

图８.22（ｃ）（d）所示的车辆上常用的叠板弹簧、鱼腹梁就是很接近等强度要求的形式。

本章小结
1、梁平面弯曲时，横截面上一般有两种内力——剪力和弯矩。

与此相对应的应力也有两种——剪应力和正应力。

剪应力与截面相切，而正应力与截面垂直。

2、梁平面弯曲时正应力计算公式为：。