2021高考数学一轮复习课后限时集训9指数与指数函数文北

课后限时集训9
指数与指数函数 建议用时：45分钟
一、选择题 1．设a ＞0，将
a 2
a ·3
a 2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A ．a 12
B ．a 56
C ．a 76
D ．a 32
C [
a 2a ·3
a 2
＝
a 2
a ·a
23
＝a 2a
5
3
＝a 2
a
56＝a 2－
56＝a 76.故选C.] 2．已知函数f (x )＝4＋2a x －1
的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是( )
A ．(1,6)
B ．(1,5)
C ．(0,5)
D ．(5,0)
A [由于函数y ＝a x
的图像过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x －1
的图
像恒过定点P (1,6)．]
3．设a ＝0.60.6
，b ＝0.61.5
，c ＝1.50.6
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
C [y ＝0.6x 在R 上是减函数，又0.6＜1.5， ∴0.60.6
＞0.61.5
.
又y ＝x 0.6为R 上的增函数， ∴1.50.6
＞0.60.6
，
∴1.50.6
＞0.60.6
＞0.61.5
，即c ＞a ＞b .]
4．函数y ＝xa x
|x |
(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )
A
B
C D
D [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a x
，x ＞0，－a x
，x ＜0，
当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x
，
其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x
的图像与指数函数y ＝a x
(0＜a ＜1)的图像关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2－x
，x ≥0，
2x
－1，x ＜0，则函数f (x )是( )
A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C ．奇函数，且单调递增
D ．奇函数，且单调递减
C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x
，－f (x )＝2－x
－1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x
－1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x
－1，－f (x )＝1－2x
，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2
－(－x )
＝1－2x
＝－
f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]
二、填空题 6．若函数f (x )＝a
|2x －4|
(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝1
9
，则f (x )的单调递减区间是________．
[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2
＝19
，
所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13|2x －4|
.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 7．不等式2－x 2
＋2x
＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋4
的解集为________．
(－1,4) [原不等式等价为2－x 2
＋2x
＞2－x －4
， 又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2
＋2x ＞－x －4， 即x 2
－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]
8．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x
－1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，
由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12
；
同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜1
2
，与a ＞1矛盾．
综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.] 三、解答题
9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13ax 2－4x ＋3
.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解](1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2
－4x ＋3， 令u ＝－x 2
－4x ＋3＝－(x ＋2)2
＋7.
则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h (x )＝ax 2
－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13h (x )
，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.
因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，12a －16
4a
＝－1，解得a ＝1，
即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.
(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2
－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.
10．已知函数f (x )＝b ·a x
(其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．
(1)求f (x )的表达式；
(2)若不等式⎝ ⎛
⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x
－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解](1)因为f (x )的图像过A (1,6)，B (3,24)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
b ·a ＝6，b ·a 3
＝24.
所以a 2
＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x
.
(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在(－∞，
1]上恒成立．
又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
有最小值56.所以m ≤56.即m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，56.
1．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x
＜a x
，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a
D ．1＜a ＜b
C [∵当x ＞0时，1＜b x
，∴b ＞1.
∵当x ＞0时，b x
＜a x
，∴当x ＞0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b x
＞1.
∴a b
＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]
2．(2019·郴州质检)已知函数f (x )＝e x
－1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x
－1)＋f (－x －1)＞0的解集为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)
B [函数f (x )＝e x
－1e
x 的定义域为R ，
∵f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x
＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)＞0等
价于f (2x －1)＞－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1＞x ＋1，解得x ＞2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)＞0的解集为(2，＋∞)．]
3．已知函数f (x )＝a x
(a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值为________．
12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2
＝a 2， ∴a ＝1
2或a ＝0(舍去)．
当a ＞1时，a 2
－a ＝a
2，
∴a ＝3
2或a ＝0(舍去)．
综上所述，a ＝12或3
2
.]
4．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x
＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． [解](1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b
2＋a ＝0，解得b ＝1，
所以f (x )＝－2x
＋1
2x ＋1＋a
.
又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1
4＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝－2x
＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1
，
由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－k )＜0等价于f (t 2
－2t )＜－f (2t 2
－k )＝f (－2t 2
＋k )．
因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2
－2t ＞－2t 2
＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2
－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－1
3.
故k 的取值范围为(－∞，－1
3
).
1．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f x ，f x ≤K ，K ，f
x ＞K .
给
出函数f (x )＝2
x ＋1
－4x
，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )
A ．K 的最大值为0
B ．K 的最小值为0
C ．K 的最大值为1
D ．K 的最小值为1
D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．
令2x
＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2
＋2t ＝－(t －1)2
＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]
2．已知函数f (x )＝14x －λ
2x －1＋3(－1≤x ≤2)．
(1)若λ＝3
2
，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解](1)f (x )＝14x －λ
2
x －1＋3
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2λ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，得g (t )＝t 2
－2λt ＋3(14≤t ≤2).
当λ＝32时，g (t )＝t 2
－3t ＋3
＝(t －32)2＋341
4
≤t ≤2.
所以g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3716，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝34
.
所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝3
4，
故函数f (x )的值域为[34，37
16].
(2)由(1)得g (t )＝t 2
－2λt ＋3
＝(t －λ)2＋3－λ2(1
4
≤t ≤2)，
①当λ≤14时，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞1
4
，不符合，舍去；
②当14
＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2
＋3，
令－λ2
＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)；
③当λ＞2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7， 令－4λ＋7＝1，得λ＝3
2＜2，不符合，舍去．
综上所述，实数λ的值为 2.。