高考数学第三轮复习 精编模拟五 理

2011届高考理科数学第三轮复习精编模拟五
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+
24πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么
其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么
3
4π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
()(1)
(012)k k n k
n n P k C p p k n -=-=，，，…， 第一部分 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是 （ ）
（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I ； （B ））（221S C S C S I I ⋂⊆； （C ）Φ=⋂⋂321S C S C S C I I I ；（D ））（221S C S C S I I ⋃⊆.
2、已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b ) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b
的夹角是
（ ）
(A).
6π (B) 3π (C).32π (D).6
5π 3、已知)2(524cos ,53sin πθπθθ<<+-=+-=
m m m m ，则2tan θ
等于 （ ） A 、m m --93 B 、|93|
m m -- C 、3
1
D 、5 4、已知R a R x ∈∈,，a 为常数，且)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=+，则函数)(x f 必有一周期为：
（ ）
A 、2a
B 、3a
C 、4a
D 、5a
5、12
22
2
=++=y x kx y 与交于A 、B 两点，且3=+OB OA k k ，则直线AB 的方程为： （ ）
A 、0432=--y x
B 、0432=-+y x
C 、0423=-+y x
D 、0423=--y x
6、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。

某人在2001
年9月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时净得本金和利息共计10180元，则利息税的税率是： （ ）
A 、8%
B 、20%
C 、32%
D 、80%
7、不等式3
212
212-<x x C C 的解集是（ ） A 、φ B 、}3{的正整数大于 C 、{4，5，6} D 、{4，4.5，5，5.5，6} 8、七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（ ） （A ） 1440 （B ） 3600 （C ） 4320 （D ） 4800 9、若关于x
2kx =+只有一个实数根，则k 的取值范围为（ ）
A 、k =0
B 、k =0或k >1
C 、k >1或k <-1
D 、k =0或k >1或k <-1
10、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）3π
（B ）4π （C ）3π3 （D ）6π
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分． 11、已知函数2
1
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。

12、有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式7)2(3+-⨯x ，其运算为：+-,7,*,,2,,3x ，若计算机进行运算：lg ,*,,2,,-x x ，那么使此表达式有意义的x 的范围为 _____________ ． 13、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）． 14、(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，点P (2,)6π
-到直线：:sin()16
l π
ρθ-=的距离是 ．
15．(几何证明选讲选做题) 如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 PA 于点F ，且△COF ∽△PDF ，PB = OA = 2，则PF = 。

三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根；q ：方程2
(1)0
mx m x m +-+=无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．
A C
O
F B
D P
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，已知1,AB AC ⋅= 2AB BC ⋅=-．
(1) 求AB 边的长度； (2)证明：tan 2tan A B =； （3）若||2AC =,求||BC ．
18．（本小题满分14分）
已知函数c bx ax x x f +++=23)(图像上一点),1(m M 处的切线方程为02=-y ，其中
c b a ,,为常数.
（Ⅰ）函数)(x f 是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a 表示）； （Ⅱ）若1=x 不是函数)(x f 的极值点，求证：函数)(x f 的图像关于点M 对称.
19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD 垂直于底面ABCD ，SB=3. （I ）求证BC ⊥SC ；
（II ）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
（III ）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小. 20．（本小题满分14分）
设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.
A
B
C
D
M S
S 3
S 2
S 1
(１)求圆心Q 的轨迹E 的方程；
(２)过点F (０，１)，作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N ，试判断直线MN 是否过定点？并说明理由．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系上，设不等式组0
0(3)x y y n x >⎧⎪
>⎨⎪≤--⎩
（n N *∈）
所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均 为整数的点）的个数为()n a n N *∈.
（Ⅰ）求123,,a a a 并猜想n a 的表达式再用数学归纳法加以证明； （Ⅱ）设数列{}n a 的前项和为n S ，数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前项和n T , 是否存在自然数m ？使得对一切n N *
∈，n T m >恒成立。

若存在， 求出m 的值，若不存在，请说明理由。

参考答案及评分说明
一．选择题：CBDCC BDBDA
解析：1: 由文氏图可得结论（C ）.
2：由已知得：(a －2b )a =0，(b －2a ) b
=0；即得：
2||a =2||b =2b a ，∴cos<a ，b >=2
1
，∴选(B)
3：由于受条件sin 2θ+cos 2
θ=1的制约，故m 为一确定的值，于是sin θ,cos θ的值应与m
的值无关，进而推知tan
2θ的值与m 无关，又2π<θ<π，4π<2θ<2
π,∴tan 2θ
>1，故选D 。

4：由于x x
x tan 1tan 1)4tan(-+=+π，从而函数)(x f 的一个背景为正切函数tanx ，取4
π=a ，
可得必有一周期为4a 。

故选C 。

5：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB 的方程就是2+=kx y ，它过定点（0，2），只有C 项满足。

故选C 。

6：生活常识告诉我们利息税的税率是20%。

故选B 。

7：四个选项中只有答案D 含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x 值取4.5
8：（用排除法）七人并排站成一行，种.9:作直线2+=kx y 的图象和半圆k 的取值范围应选(D).
注．
:10：如图，将正四面体ABCD 心与其外接球的球心共一点.长为1，从而外接球半径R ＝2
3
.
二．填空题：11、21>
a ； 12、02x x <>或； 13、611或1211或12
14； 14、3＋1； 15、3；
解析：11：22121)(+-+=++=
x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，2
21)(+-=x a
x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴2
1
>a 。

12：计算机进行运算：lg ,*,,2,,-x x 时，它表示的表达式是()lg 2x x -，当其有意义时，得()20x x ->，解得02x x <>或．
13： 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，
2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：
611,1211 ,1214，故应填.611、1211 、12
14 中的一个即可. 14.解：直线：:sin()16
l π
ρθ-
=
化为一般方程：20x +=，点P (2,)6
π
-
化为点
)1Q
-
，则点)
1Q
-
到直线的距离为1d =
=
15解：由△COF ∽△PDF 得
OF CF
DF PF
=，即..CF DF OF PF ==().OF PB OB OF +- =.AF BF =()().OA OF OB OF +-，即().22OF OF +-=()()2.2OF OF +-， 解得1OF =，故PF PB BF PB OB OF =+=+-=3 三．解答题：
16.解：当P 为真时，有21212
400200
m x x m m x x ∆>⎧⎧->⎪
+<⇒⇒>⎨⎨
-<⎩⎪>⎩ ……4分 当Q 为真时，有22(1)0310m m m m 2∆=--4<⇒+2-> ……5分
1
1m>3
m <-得或 ……6分
由题意:“P 或Q ”真，“P 且Q ”为假 等价于
（1）P 真Q 假：2
113m m m φ>⎧⎪
⇒∈⎨-≤≤⎪⎩
……8分
（2）Q 真P 假：2
1211
31m>3m m m m ≤⎧⎪
⇒<≤<-⎨<-⎪⎩
或或 ……11分 综合（1）（2）m 的取值范围是1
{|
21}3
m m m <≤<-或 ……12分 17.解：（1）∵BC AC AB =-∴2()||2AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=-=⋅-=- ∵1AB AC ⋅= ∴2||3AB =, ||3AB =即AB
……………………3分
(2) 由1,2AB AC AB BC ⋅=⋅=- 得||||cos 1AB AC A ⋅=-------------①
||||cos()2AB BC B π⋅-=- 即||||cos 2AB BC B ⋅=-------------②
由①②得
||cos 1cos 2||AC A B BC ⋅=, 由正弦定理得||sin sin ||
AC B
A BC =
∴
sin cos tan 1
sin cos tan 2
B A B A B A ⋅== ∴tan 2tan A B =-- ……………………8分
(3) ∵||2AC =，由（2）中①得1cos 6||||2A AB AC =
==⋅ 由余弦定理得
222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=345+-=
∴||BC ……………………12分
18．解：（Ⅰ）c bx ax x x f +++=23)(，b ax x x f ++='23)(2， ……………1分 由题意，知2=m ，,21)1(=+++=c b a f 023)1(=++='b a f ，
即.4,32+=--=a c a b ……………………2分
).3
21)(1(3)32(23)(2a
x x a ax x x f +
+-=+-+=' …………………3分 ① 当3-=a 时，0)1(3)(2≥-='x x f ，函数)(x f 在区间),(+∞-∞上单调增加， 不存在单调减区间； ……………………5分 ② 当3->a 时，121<-
-a
，有
∴当3->a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;1,321⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-
-a ……………7分 ③ 当3-<a 时， 121>-
-a
，有
∴当3-<a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;321,1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--a …………9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：若1=x 不是函数)(x f 的极值点，则3-=a ，
,1,3==c b .2)1(133)(323+-=++-=x x x x x f …………………10分
设点),(00y x P 是函数)(x f 的图像上任意一点，则2)1()(3000+-==x x f y ， 点),(00y x P 关于点)2,1(M 的对称点为)4,2(00y x Q --，
,4222)1(2)12()2(0030300y y x x x f -=+-=+--=+--=-
（或 0
02
03
00203
002
003
02
000203004)133(43331
363121261281
)2(3)2(3)2()2(y x x x x x x x x x x x x x x x x f -=++--=+-+-=+-+-+--+-=+-+---=- ）
∴点)4,2(00y x Q --在函数)(x f 的图像上.
由点P 的任意性知函数)(x f 的图像关于点M 对称. …………………14分 19． [方法一]：（几何法）
（I ）证法一：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC.
∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影，
由三垂线定理得BC ⊥SC. …………3分
证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC.
∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ， 图1 ∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC. …………3分
（II ）解法一：∵SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴可把四棱锥S —ABCD 补形为长方体A 1B 1C 1S —ABCD ， 如图2，面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角，
∵SC ⊥BC ，BC//A 1S ， ∴SC ⊥A 1S ，
又SD ⊥A 1S ，∴∠CSD 为所求二面角的平面角.
在Rt △SCB 中，由勾股定理得SC=2，在Rt △SDC 中， 由勾股定理得SD=1.
A B
C
D
M
S
∴∠CSD=45°.即面ASD 与面BSC 所成的二面角为45°. ……………8分 解法二：如图3，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上， ∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，
l ∴为面ASD 与面BSC 的交线.
,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥
∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角. 在Rt △SCB 中，由勾股定理得SC=2，在Rt △SDC 中， 由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD 与面BSC 所成的二面角 为 45°。

…8分
（III ）解法一：如图3， ∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形. 又M 是斜边SA 的中点， ∴DM ⊥SA.
∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影. 由三垂线定理得DM ⊥SB. ∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°. ……………14分 解法二：如图4，取AB 中点P ，连结MP ，DP.
在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，
DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角.
2
3
21=
=
SB MP ， 又,2
5
)21(1,222=+==
DP DM ∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2
， ︒=∠∴90DMP
即异面直线DM 与SB 所成的角为90°. ……………14分 [方法二]：（向量法）
解析：如图所示，以D 为坐标原点建立直角坐标系， 则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）， M （
21，0，2
1
）， ∵ SB=3，DB=2，SD=1，∴ S （0，0，1），……………2分
A B
C D
M
S
x
y
z
（I ）证明：∵ )0,0,1(-=，)1,1,0(-=
)0,0,1(-=⋅SC BC )1,1,0(-⋅=0 ∴ ⊥，即BC ⊥SC ．……………5分
（II ）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD 的一个法向量为)0,1,0(=DC ，设平
面BSC 的法向量为)1,,(y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n BC ⎩⎨⎧=-=-⇒0
01x y ⎩⎨⎧==⇒01
x y )1,1,0(=⇒n ，
得=
θcos 2
22
1010=
⨯++=
， ∴ 面ASD 与面BSC 所成的二面角为45°．……………10分 （III ）设异面直线DM 与SB 所成角为α，
∵ )21,0,21(=DM ，SB=(-1,-1,1),
得=cos α03
2
2|2102
1|=⨯++-= ∴ 异面直线DM 与SB 所成角为90°．……………14分
20.解：(1)设圆心Q 的坐标为(,)x y ，如图过圆心Q 作QH x ⊥轴于H,
则H 为RG 的中点，在Rt RHQ ∆中，2
2
2
QR QH RH =+…3分 ∵,2QR QP RH == ∴2
2
2(2)4x y y +-=+ 即2
4x y = …………………6分
(2) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，
直线AB 的方程为1y kx =+（0k ≠）则24A A x y =-----①2
4B B
x y =---②
由①－②得4()
4A B A B A B
y y x x k x x -+=
=-，∴2M x k =，………………9分
∵点(),M M M x y 在直线1y kx =+上， ∴2121M M y kx k =+=+．∴点Ｍ的坐标为2
(2,21)k k +． ………………10分
同理可得：4C D x x k +=-
, 2N x k =-,212
11N N y x k k =-+=+ ∴点N 的坐标为222
(,1)k k
-+． ………………11分
直线MN 的斜率为222111M N MN M N k y y k k k x x k k k -
--===-+，其方程为 22
121(2)k y k x k k
---=-，整理得2(3)(1)k y k x -=-，………………13分 显然，不论k 为何值，点(0,3)均满足方程，
∴直线MN 恒过定点(0,3)．……………………14分
21.解：（Ⅰ）当n ＝1时，D 1为Rt △OAB 1的内部包括斜边，这时13a =， 当n ＝2时，D 2为Rt △OAB 2的内部包括斜边，这时26a =， 当n ＝3时，D 3为Rt △OAB 3的内部包括斜边，这时39a =，……， ---3分 由此可猜想n a ＝3n 。

--------------------------------------------------4分 下面用数学归纳法证明:
(1) 当n ＝1时，猜想显然成立。

(2) 假设当n ＝k 时，猜想成立，即3k a k =，（k N *∈） ----5分 如图，平面区域k D 为Rt k OAB ∆内部包括斜边、平面区域1k D +为 Rt △1k OAB +内部包括斜边，∵平面区域1k D +比平面区域k D 多3 个整点， ------- 7分
即当n ＝k+1时，1333(1)k a k k +=+=+，这就是说当n ＝k+1时， 猜想也成立，
由（1）、（2）知n a ＝3n 对一切n N *∈都成立。

---------------------8分 （Ⅱ）∵n a ＝3n, ∴数列{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列, ∴(33)3(1)22
n n n n n S ++==. 12211()3(1)31
n S n n n n ==-++ -------------------------10分 12111n n T S S S ∴=+++211111[(1)()()]32231
n n =-+-+-+
=21(1)31n -+=23(1)
n n + -------------------------------11分 ∵对一切n N *∈，n T m >恒成立, ∴min ()n m T < ∵21(1)31
n T n =-+在[1,)+∞上为增函数 ∴min 211()(1)323n T =-= ---13分 1
3m ∴<，满足1
3m <的自然数为0，
∴满足题设的自然数m 存在，其值为0。

-------------------------14分。