江西省南昌市进贤县2013-2014学年高二数学上学期期末联考试题 理 新人教A版

2013～2014学年第一学期高二理科数学期末测试卷
一、选择题〔本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪
一项符合题目要求的〕
1.条件:12p x +>，条件:2q x >，如此p ⌝是q ⌝的〔 〕
〔A 〕充分非必要条件 〔B 〕必要不充分条 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要的条件
2.抛物线2
8
x y =-的准线方程是 〔 〕
(A) 132x =
〔B 〕y ＝2 〔C 〕1
4
x = 〔D 〕y=4
A(1,1)处的切线方程是( ) A.x -2y +1=0B.2x -y -1=0C.x +2y -3=0D.2x +y -3=0 4.y =e x
.cosx 的导数是( )
A.e x
.sinx B.e x
(sinx -cosx )C.-e x
．sinx
D.e x
(cosx -sinx )
5. 平面内两定点A 、B 与动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值〞，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆〞，那么〔 〕 A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件
D ．甲是乙成立的非充分非必要条件
6．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4
π个单位，得到函数x y 2
sin 21-=的图象，如此)(x f 是〔〕
A ．x sin 2
B ．cosx
C ．sinx
D ．2cosx
7. 如下命题中真命题的个数为：( )
①命题“假设2
2
0x y +=，如此x,y 全为0〞的逆命题； ②命题“全等三角形是相似三角形〞的否命题；
③命题“假设m>0,如此2
0x x m +-=有实根〞的逆否命题；
④命题“在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，假设0
90C ∠=,如此2
2
2
c a b =+〞的逆否命题。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，假设2ABF ∆是等腰直角三角形，如此这个椭圆的离心率是〔〕
A 、
2 B 、2
C D 1
〔第15题〕
9函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，如此42)(+>x x f 的解集为
A ．〔1-，1〕
B ．〔1-，+∞〕
C ．〔∞-，1-〕
D ．〔∞-，+∞〕 10.设函数y =f (x )在(-∞,+ ∞)内有定义,对于给定的正数k ,定义函数f k (x )= (),,
f x k ⎧⎨
⎩()(),f x k
f x k ≤> 设函数
f (x )=2+x -e x ,假设对任意的x ∈(-∞,+ ∞)恒有f k (x )=f (x ),如此( )
A.k 的最大值为2
B.k 的最小值为2
C.k 的最大值为1
D.k 的最小值为1
二、填空题〔每一小题5分，共5个小题，此题总分为25分〕 11.命题:“∃x ∈[1,2],使x 2
+2x-a ≥0〞为真命题,如此a 的取值范围是
12.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________ 13．曲线y=sinx ，y=cosx ，x=0，x=
2
π
所围成的平面图形的面积为 14.方程02
=++c bx ax 无实根,如此双曲线122
22=-b
y a x 的离心率的取值范围为______________.
15. 如下图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，如下说法正确的答案是___________．
①．1是函数()y f x =的极值点； ②．2-是函数()y f x =的极小值点 ③．()y f x =在0x =处切线的斜率大于零； ④．()y f x =在区间(2,2)-上单调递增.
三、解答题〔本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

〕
16．〔本小题总分为12分〕命题p ：实数x 满足2
2
430x ax a -+<，其中a<0；命题q ：实数x 满足2
60x x --≤或2
280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围。

17.〔本小题12分〕在曲线y ＝x 2
(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以与x 轴所围图形的面积为112.
试求切点A 的坐标与过切点A 的切线方程．
18．(本小题总分为12分) a 为实数，))(4()(2
a x x x f --=。

(1)假设0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； (2)假设)(x f 在(－∞，－2)和(2，+∞)上都是递增的，求a 的取值范围。

19. 〔此题12分〕函数36)2(2
3
)(23
-++-
=x x a ax x f . 〔I 〕当2>a 时，求函数)(x f 的极小值； 〔II 〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数
20、〔本小题13分〕设函数)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中0>a
〔1〕求)(x f 的单调区间；〔2〕当0>x 时，证明不等式：x x x
x
<+<+)1ln(1；
21、〔14分〕焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为4
5
，且过点(3 〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕直线l 分别切椭圆C 与圆2
2
2
:M x y R +=〔其中35R <<〕于A 、B 两点，求|AB|的最大值。

2013——2014高二理科数学期末考试试题参考答案
一、选择题 ( 本大题共10小题，每一小题5分，共50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
B
A
D
B
A
C
D
B
D
11、a ≤8 12.1; 13．22—2 14、〔1，25
+
〕；15： (2)(3)(4)．
三、解答题〔本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

〕 16．解：设A=2
2
{|430,0}{|3}x x ax a a x a x a -+<<=<<………………..3分
B=2
2
{|60,280}{|42}x x x x x x x x --≤+->=<-≥-或或，………………..6分
p ⌝是q ⌝必要不充分条件等价于A B ⊂≠
，
∴2
{|40}3
a a a a ∈≤--
≤<或………………..12分 17解：如下列图，设切点A (0x ，0y )，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －0y ＝20x (x －0x )，即y ＝20x x －2
0x .……..3分
令y ＝0，得x ＝x 0
2，即C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 0
2，0.……..6分
设由曲线和过A 点的切线与x 轴所围成图形的面积为S ，
S 曲边△AOB ＝
⎰
x x 2d x ＝13
x 3o x
0|＝13
x 03，……..9分
S △ABC ＝12
|BC |·|AB |＝12⎝
⎛⎭
⎪⎫x 0－x 02·x 02＝1
4
x 03.
所以S ＝13x 03－14x 03＝112x 03＝1
12
.
所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. ……..12分
18．解：(1)由原式得,44)(2
3
a x ax x x f +--=∴.423)(2
--='ax x x f …………2分 由0)1(=-'f 得21=
a ,此时有43)(),2
1)(4()(2
2--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=
x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,2
9)1(,2750)34(==-=--=f f f f 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为
,29最小值为.27
50
-…………6分 (2)423)(2
--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
,0)2(,0)2(≥'≥-'f f
即
{
480840
a a +≥-≥∴－2≤a≤2.
所以a 的取值范围为[－2,2]. …………12分 19〔I 〕)1)(2
(36)2(33)(2--
=++-='x a
x a x a ax x f ………………2分 ,2>a 12<∴
a ∴当a x 2<或1>x 时，0)(>'x f ；当12
<<x a
时，0)(<'x f )(x f ∴在)2,(a -∞，〔1，)∞+内单调递增，在)1,2
(a
内单调递减…………4分 故)(x f 的极小值为2
)1(a
f -
=……………………………………5分 〔II 〕①假设,0=a 如此2
)1(3)(--=x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点。

……6分
②假设,0<a 如此
12<a ，∴当12><x a
x 或时，0)(<'x f ，当12
<<x a 时，0)(>'x f )(x f ∴的极大值为02
)1(>-
=a
f
)(x f 的极小值为0)2
(<a
f )(x f ∴的图象与x 轴有三个公共点。

…………………8分
③假设20<<a ，如此
12>a . ∴当a x x 21><或时，0)(>'x f ，当12
<<x a
时，0)(<'x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点…………………10分
④假设2=a ，如此0)1(6)(2
≥-='x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点
⑤当2>a ，由〔I 〕知)(x f 的极大值为04
3
)431(
4)2(2<---=a a f 假设0<a ，)(x f ∴的图象与x 轴有三个公共点。

………综上所述，假设,0≥a )(x f 的图象与x 轴只有一个公共点； ………12分
20、〔本小题13分〕
解：〔1〕由得函数)(x f 的定义域为),1(+∞-，且)0(1
1
)('>+-=
a x ax x f ， 0)('=x f ，解得a
x 1
=
……………3分 当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：
由上表可知,当)1,1(a x -∈时，0)('<x f ，函数)(x f 在),1(a
-内单调递减，
当),1(+∞∈a x 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),1(+∞a
内单调递增，
所以,函数)(x f 的单调减区间是)1,1(a -,函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞a
……………7分
〔2〕设),0[,1)1ln()(∞∈+-+=x x
x
x x ϕ 对)(x ϕ求导，得：2
2)
1()1(111)('x x x x x +=+-+=
ϕ 当0>x 时，0)('>x ϕ，所以)(x ϕ在),0(+∞内是增函数。

所以)(x ϕ在),0[+∞上是增函数。

……………10分
当0>x 时，0)()(=>x x ϕϕ，即)1ln(1,01)1ln(+<+∴>+-
+x x
x x x x 同理可证)1ln(1,)1ln(+<+∴
<+x x
x
x x ＜x ……………13分 21、〔1〕设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，如此44
,55
c c a a ==，
2222925
b a
c a ∴=-=
椭圆过点(
322200
1
91925
a
a ∴+=，
解得2
2
25,9a b == 故椭圆C 的方程为
22
1.259
x y += 6分 〔2〕设1122(,),(,)A x y B x y 分别为直线l 与椭圆和圆的切点，
直线AB 的方程为：y kx m =+
因为A 既在椭圆上，又在直线AB 上， 从而有22
1259x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，
消去y 得：2
2
2
(259)5025(9)0k x kmx m +=+-=
由于直线与椭圆相切，故2
2
2
(50)4(259)25(9)0km k m ∆=-+⨯-=
从而可得：2
2
925m k =+ ①
125k
x m
=-
②
由222x y R y kx m
⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得：2222(1)0k x kmx m R +++-=
由于直线与圆相切，得2
2
2
(1)m R k =+ ③ 2
2kR x m
=- ④
由②④得：221(25)
k R x x m --=
由①③得：22
2
9
25R k R
-=- 22222212121||()()(1)()AB x x y y k x x ∴=-+-=+-
222222222222
(25)9(25)22525925m k R R R R R m R R R ---=⋅=⋅=+---
3434304≤-=-=
即||2AB ≤
，当且仅当R =|AB|的最大值为2。

14分。