上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若533S S =，则53aa = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即a bk m-=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的前16项和为7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1(,22,1,2,3,)k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-⋅+，*n N ∈，则这个数列的前n 项和n S =___________．11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________． 12、（宝山区2016届高三上学期期末）数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 项. 13、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列的各项均为正整数，对于，有其中k 为使1n a +为奇数的正整数. 若存在， 当n ＞m 且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为14、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015项的和为__________．15、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列{}n a 中，1352469,15,a a a a a a ++=++= 则数列{}n a 的前10项的和等于_____.二、解答题1、（2016年上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2、（2015年上海高考）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即0n a ≥a n （n ∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．3、（2014年上海高考）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围；(3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.4、（虹口区2016届高三三模）若数列12:,,,(,2)n n A a a a n N n *∈≥满足110,1(1,2,,1),k k a a a k n +=-==-则称n A 为L 数列.记12().n n S A a a a =+++（1）若5A 为L 数列,且50,a =试写出5()S A 的所有可能值； （2）若n A 为L 数列，且0,n a =求()n S A 的最大值；（3）对任意给定的正整数(2),n n ≥是否存在L 数列,n A 使得()0?n S A =若存在，写出满足条件的一个L 数列n A ；若不存在，请说明理由.5、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2），首项31=a ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）数列{}n b 满足na b nn 3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．6、（闵行区2016届高三二模）已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-．（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．7、（闸北区2016届高三二模）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-； （3）（理）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n m m n -<+，其中1,2,,m n =，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+的所有n 的值．8、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （3）设12111n nS a a a =+++，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a b aS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．9、（宝山区2016届高三上学期期末）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n ba f a =+，当k ={}n b 的前n 项和n S 的最小值； （3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．10、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列{}n a 的前n 项和记为n S 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．(1)、若数列{}n a 的通项公式2nn a =，判断{}n a 是否为“H 数列”；（2）、等差数列{}n a ，公差0d ≠，12a d =，求证：{}n a 是“H 数列”； （3）、设点()1,n n S a +在直线()1q x y r -+=上，其中120a t =>，0≠q ．若{}n a 是“H 数列”，求,q r 满足的条件．11、（虹口区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,2().n n S S n na n N *=+=∈（1） 计算1234,,,,a a a a 并求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n b 满足12335(21)23,n n n b b b n b a ++++-=⋅+求证：数列{}n b 是等比数列；（3）由数列{}n a 的项组成一个新数列{}n c ：1122334567,,,,c a c a a c a a a a ==+=+++1112212221,n n n n n c a a a a ---++-=++++. 设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim4nnn T →∞的值.12、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++．（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a ．（2）写出k c （1,2,,k n =），并用含n 的式子表示n S ．（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-++-≥， 证明：1212(1)(21)6n b b nb n n n +++++≤及122n n a a na S +++≥．（参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++．）13、（静安区2016届高三上学期期末）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？参考答案一、填空、选择题 1、【答案】4 【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成.2、解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B3、【解析】：223111510112a a qa q q qq q-±==⇒+-=⇒=--，∵01q<<，∴51q-=4、165、【答案】179【解析】()()53151315333422S S a a a a d a=⇒+=⋅+⇒=，所以5117a a=，319a a=，所以53179aa=6、9767、1288、1279、1201610、1122,252,22nnnnnSnn++⎧+-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为偶数为奇数11、20012、12813、1或54、120915、80二、解答题【答案】（1）316a=．（2）{}n a不具有性质P．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a++=++，结合67821a a a++=求解．（2）根据{}n b的公差为20，{}n c的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nn n na b c n-=+=-+．通过计算1582a a==，248a=，63043a=，26a a≠，即知{}n a不具有性质P．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为52a a=，所以63a a=，743a a==，852a a==．于是678332a a a a++=++，又因为67821a a a++=，解得316a=．（2）{}n b的公差为20，{}n c的公比为13，所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193n n n n a b c n -=+=-+．1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ． （3）[证]充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 2、（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5， ∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n ﹣5）=6， ∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6， 则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =2（b n ﹣b n ﹣1）+2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1 =2b n +a 1﹣2b 1，②当λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n ﹣1=﹣1， ∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a 2n →+∞，无最大值；当n→+∞时，a 2n ﹣1→﹣∞，无最小值． 综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．3、【解析】：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又343133a a a ≤≤，∴327x ≤≤， 综上可得36x ≤≤；（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤ 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133nn n ≤+≤，成立 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，∴111331n n q q +-≤≤-，此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，∵1q >， ∴132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->，对于不等式1320n n qq +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q <≤时，30q -<，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n qq q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，∴12q <≤当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，310,30q q ->-< ∵132(31)2220n n n n qq q q q +--=--<-<132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->∴113q ≤<时，不等式恒成立 综上，q 的取值范围为123q ≤≤（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解， ∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k dk d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-⎧⎨-≥-⎩，当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥---， ∴221d k ≥--，12(1) (10002)k k k da a a k -+++=+=， ∴1000k ≥时，200022(1)21k d k k k -=≥---，解得10001000k ≤≤，∴1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999k d k k -==-=--⨯4、解：（1）满足条件的L 数列5A ，及对应的5()S A 分别为：（i ） 0, 1, 2，1, 0. 5()4;S A =(ii) 0, 1, 0，1, 0. 5()2;S A =（iii ） 0, 1, 0，-1, 0. 5()0;S A = (iv) 0, -1, -2，-1, 0. 5()4;S A =- （v ） 0, -1, 0，-1, 0 . 5()2;S A =-(vi) 0, -1, 0, 1, 0. 5()0.S A =因此，5()S A 的所有可能值为：4,2,0,2,4.-- ……5分(2) 由于n A 为L 数列，且10,n a a ==11(1,2,,1),k k a a k n +-==-故n 必须是不小于3的奇数. ……7分于是使()n S A 最大的n A 为：0,1,2,3,,2,1,,1,2,,3,2,1,0.k k k k k ---- ……9分这里213(),n k k n N *=+≥∈、 并且[]21()212(1),.2n n S A k k k k -=+++-+==因此，2max1()(3).2n n S A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭为不小于的奇数 ……11分 （3）令1(1,2,,1),1,k k k k c a a k n c +=-=-=±则于是由10,a =得213221243312311121,,,,.n n n n a c a a c c c a a c c c c a a c c c c ---==+=+=+=++=+=+++[]12312321123211232()(1)(2)(3)2(1)(2)(3)21(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(12n n n n n n n S A a a a a n c n c n c c c n n n n c n c n c c c n n n c n c n c c -----=+++++=-+-+-+++=-+-+-+++++--+--+--++-+--=---+--+--++-+-故[]1).n c -1,1(1,2,,1)k k c c k n =±-=-因故为偶数，所以12321(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)n n n c n c n c c c ----+--+--++-+-为偶数.于是要使(1)()0,2n n n S A -=必须为偶数，即(1)n n -为4的倍数，亦即 4,41().n m n m m N *==+∈或 ……14分（i ）当4()n m m N *=∈时，L 数列n A 的项在满足： 4143420,=k k k a a a ---==1,41(1,2,,)k a k m =-=时，()0.n S A = ……16分(ii)当41()n m m N *=+∈时，L 数列n A 的项在满足：4143420,=k k k a a a ---==1，441=1(1,2,,),0k m a k m a +-==时()0.n S A = ……18分5、（1）数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2）∴nn n a a 331=--，∵03≠n ，∴13311=---n n n n a a 为常数，…………2分∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3是等差数列，首项为131=a ，公差为1…………4分 n a n n=3∴n n n a 3⋅= )(*∈N n …………6分 （2）23413233343(1)33n n n S n n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅2345133233343(1)33n n n S n n +=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅234112333333n n n S n -+-=+++++-⋅1133322n n n S n ++=⋅-+…………10分 （3）数列{}n b 满足na b n n 3log =，则n b nn ==3log 3，…………11分11n n b b +=111(1)1n n n n =-++因此有： 1111111(1)()()()223341n T n n =-+-+-++-+ =111+-n…………13分 ∴由题知△ABC 中，1sin cos sin 22n A A A =>恒成立，而对于任意n N *∈，1n T <成立，所以1sin 224A ≥即232sin ≥A ， …………16分 又),0(π∈A ，即)2,0(2π∈A∴3223ππ≤≤A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππA ． …………18分 6、（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =，由条件，()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分 7、解：（1）当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-= 又111a S == ，所以n a n = ……………………………5分(2)、<法一> 11n a n =，1112n T n∴=+++， 1111111(1)(1)(1)22321n R n -∴=++++++++++-111(1)1(2)(3)1231n n n n =-⋅+-⋅+-⋅++⋅-11111111(11)(11)(1)(2)231231n n n n T n n n n n=++++-+=+++++-=-≥--…6分<法二>：数学归纳法①2n =时，11111R T a ===，212112(1)2(1)1T a a -=+-= ………………………1分 ②假设(2,*)n k k k N =≥∈时有1(1)k k R k T -=- ………………………1分当1n k =+时，1111(1)(1)(1)()k k k k k k k k R R T k T T k T k k T k a -++=+=-+=+-=+-- 111(1)(11)(1)(1)1k k k T k k T k ++=+-+--=+-+1n k ∴=+是原式成立由①②可知当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-； ………………………4分 (3)、（理）1(1)()32n m m n -<+，1,2,,m n =231211)32112)()3213)()32411)()3231)()32n n n n n n n n m n n m n n m n m n n m n n -+⎫=<⎪+⎪+⎪=<⎪+⎪⎪=<⎪+⎬⎪⎪⎪=-<⎪+⎪⎪=<⎪+⎭时，（时，（时，（时，（时，（⇒相加得，231214311111()()()()()()()()333322222n nn n n n n n n n n n -++++++<+++++++++231111111()()()()1()1222222n n n -+++++=-<， 34(2)(3)n n n n n n ∴++++<+ ………………………4分6n ∴≥时，34(2)(3)n n n n n n ∴++++=+无解又当1n =时；34<，2n =时，222345+=；3n =时，33333456++=4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，不符合 5n =时，5555534567++++为奇数，而58为偶数，不符合综上所述2n =或者3n = ……………………………4分(3)、易知0q ≠，否则若0q =，则1()f x p =，与lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈矛盾因为函数()f x 的定义域为R ，所以(1)31qx p -⋅+恒不为零，而3qx的值域为(0,)+∞，所以10p -≥，又1p =时，()1f x =，与lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈矛盾，故1p >11()(1)31(1)(3)1n qn q nf a p p ==-⋅+-+且lim ()0n n f a →∞=31q∴>，0q ∴> 即有1p q +>。