正方形的有关证明与计算

正方形的有关证明与计算
1．（13•大庆）已知四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，则下列结论正确的是（ ）
A ．当AC=BD 时，四边形ABCD 是矩形
B ．当AB=AD ，CB=CD 时，四边形ABCD 是菱形
C ．当AB=AD=BC 时，四边形ABC
D 是菱形
D ．当AC=BD ，AD=AB 时，四边形ABCD 是正方形
2．（13•威海）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE=BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）
A ．BC=AC
B ．CF ⊥BF
C ．BD=DF
D ．AC=BF
3．（13•重庆）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为（ ）
A ．6cm
B ．4cm
C ．2cm
D ．1cm
4．（13•连云港）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．22-4
D ．4-23
5．(13•龙岩)如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT ＝( )
A ．2
B ．22
C ．2
D ．1
6．（2013•昆明）如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A ，B 重合），对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论：
①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③PE 2+PF 2=PO 2
；
④△POF ∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点．
其中正确的结论有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
7．（13•东营）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，
且CE =DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ；
（3）AO =OE ；（4）AOB DEOF S S ∆=四边形中正确的有（ ）
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
第3题图 第2题图
第4题图 第5题图
第6题图
第7题图
8．（13•凉山）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
9．（2013•雅安）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有（ ）个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
11．（13•咸宁）如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A ．3217
B ．21
C ．3617
D ．38
17 12．（13•台湾）如图，四边形ABCD 、AEFG 均为正方形，其中E 在BC 上，且B 、E 两点不重合，并连接BG ．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？（ ）
A ．∠1＜∠2
B ．∠1＞∠2
C ．∠3＜∠4
D ．∠3＞∠4
13．（13•随州）如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．下列结论：①点G 是BC 中点；②FG=FC ；③S △FGC =．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
14．（13•台湾）附图为正三角形ABC 与正方形DEFG 的重迭情形，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD=BE ．若AC=18，GF=6，则F 点到AC 的距离为何？（ ）
A ． 2
B ．3
C ．12﹣
4 D ．
6﹣6
第8题图 第
9题图 第
10题图
第12题图
第13题图
第14题图 第11题图
15．（13•仙桃）如图，正方形错误！未找到引用源。

的对角线相交于点O，正三角形OEF 绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE
的大小是
．
16．(13•南京)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：。

17．（13•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．
18．（13•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为，小球P所经过的路程为．
19．（13•河池）如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD
上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________．
20．（13•莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．
21．（13•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10．
22．（13•包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=135度．23．（13•德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．
24．（13•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．25．（13•南充）如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE=_____．
第15题图第16题图
第17题图
第18题图第19题图第20题图第21题图第22题图
26．（13•绵阳）对正方形ABCD 进行分割，如图1，其中E 、F 分别是BC 、CD 的中点，M 、N 、G 分别是OB 、OD 、EF 的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。

若△GOM 的面积为1，则“飞机”的面积为 。

27．（13•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ， 垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ． 求证：∠ABH=∠CDE ．
28．(13•南京) 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，对角线BD 平分
∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．
(1) 求证：∠ADB =∠CDB ； (2) 若∠ADC =90︒，求证：四边形MPND 是正方形。

第23题图 第24题图
第25题图 飞机图2七巧板图1N
M F E G O D C B A 第26题图
第27题图 A B C D N M P 第28题图
29．（13•鄂州）如图正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别为DC 、BC 中点．
（1）求证：△ADE ≌△ABF ．
（2）求△AEF 的面积．
30．（13•毕节）四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF ，连接AE 、AF 、EF ．
（1）求证：△ADE ≌△ABF ；
（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF 的面积．
31．（13•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD 、CF ，经测量发现AD=CF ．
（1）他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD 与CF 还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转，使点E 旋转至直线l 上，如图3，请你求出CF 的长．
第29题图
第30题图
32．（13•崇左）如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？
第32题图
33．（13•黔东南）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME ∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．
第33题图
34．（13•鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，
且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
第34题图
35．（13•梅州）如图，在四边形ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 与点E ，且CF=AE ，
（1）求证：四边形BECF 是菱形；
（2）若四边形BECF 为正方形，求∠A 的度数．
\
36．（13•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．
（1）求证：四边形AEBD 是矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．
37．（13·长春）探究：如图①， 在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD , AE ⊥CD 于点E ．若AE =10,求四边形ABCD 的面积.
应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ,AE ⊥BC 于点E .若AE =19，BC =10,CD =6,则四边形ABCD 的面积为 .
第35题图 第36题图 第37题图
（1） A F C B D E G M （2） A
F C
B D E
G M N
38．（2013广西河池，25，10分）如图（1），在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，分别以AB ，BC 为一边向外作正方形ABFG ，BCED ，连接AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ．
（1）求证：△ABD ≌△FBC ；
（2）如图（2），已知AD =6，求四边形AFDC 的面积；
（3）在△ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，当∠ACB ≠90°时，c 2≠a 2+b 2．在任意△ABC 中，c 2=a 2+b 2+k ．就a =3，b =2的情形，探究k 的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．
39．（2013•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．
（1）求证：△DCF ≌△ADG ．
（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sin α的值．
40．（2013•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．
（1）求证：△BCP ≌△DCP ；
（2）求证：∠DPE=∠ABC ；
（3）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．
41．（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
42．（2013•常德）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED 到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证：
（1）AC是⊙O的切线．
（2）HC=2AH．
第22题图。