仰角俯角和方位角

·
F
·
12
11
10
30°
9
B
·
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里内有 暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的 方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得 灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
问题的本质：
？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°, 斜边AB=30,求AC的长
问题本质是 直线与圆的关系
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
D 45°
β
x
C
x
A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
L U D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
北
P·
40
30° 30°
20√2
B
M N
东
C
A
针对性习题2：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的 北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经 探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有 大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房 修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的 公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
=300 1.20 30
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
AB还可以怎样表示？
那么这是先利用那个三角形？
x 3x
C D 300米 45° 60°
x B 若设AB为x,又该怎样找关系？
2)、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
P
30°
A
200米
45°
O
B
C
仰角、俯角问题中的基本图形
C
B
D
A
B C
D
A
C
B
A
D
B
A
C
D
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
【总结】
（1）、有关实际应用的问题，解法步骤：
（1）A市是否会受到严重影响，为什么？ （2）若会受到影响，则持续时间有多长？ （3）A市规定在台风严重影响一小时前向市民发出预 警警报，若A市会受到影响，则A市应几点发出警报。 (sin37≈0.6,cos37≈0.8,)
1.台风可视为动圆；点A与 动圆的位置关系，点A与动 圆圆心的最短距离是多少？
B C
A
E D 南
F
你能计算出该船正东方向暗礁带的宽度吗?
如何将动圆与点的位 置关系变为动圆圆心 所在直线与定圆的位 置关系？
某日上午8点，A市气象局测得城市正东方向80Km处B点有一 台风中心正在以25Km每小时的速度沿西偏北37°的BC方向迅 速移动，在距离台风中心50Km范围内为严重影响区域
Ａ
ch
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
视线
仰角 水平线
俯角 视线
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
B
A
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
x
O
x
45°
30°
B
400米
A
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆30米的C处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线 杆AB的高．
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
300
D 60° F x
E
30°
C
x
B
3、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
30米30°
C
60° 45°
A
2km D
B
例3.如图，小岛P的周围20√2海里内有暗礁， 某渔船沿北偏东60°的AM方向航行，在A处测得 小岛P的方向为北偏东30°，距A处40海里，该 渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有， 渔船在A处应再向北偏东偏离多大角度才能脱险？
先判断直线AM与圆P的位置关系 2.设直线AN与圆P相切于点C 3.连接PC,求∠PAC的度数 4.则∠MAN就是偏离的度数
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
a
(3)边角之间的关系:
a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
判断直线与圆的位置关系
C
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 P OA OB
α
β
OA
450 450 3, 450米 tan 30
450 OB 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m) O 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
北
C
60
北
30
60km
A
D
B
针对性习题3：大海中某小岛A的周围22km范围 内有暗礁. 一海轮在该岛的南偏西55°方向的B 处,由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西 25°方向的C处.如果该海轮继续向东行驶,会有 触礁的危险吗? (精确到0.1km).
北
tan 25°≈ 0.47 西 tan 55°≈ 1.43
P C
30°
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
C
30°
P
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
①弄清已知条件及要求解的问题。 ②画图将实际问题转化为数学问题。 ③寻找解题途径。 ⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂 线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为 解直角三角形问题。 （3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知 数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设 图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三 角形联系密切的特殊线段为未知数。
北
北
E
C
西 A
D
60°
B
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心的周围数千米范围 内形成气旋风暴，有极强的波坏力。据气象观测，距沿海城市A的 正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级， 每远离台风中心20千米，风力会减弱1级，该台风中心现以15千米 每小时的速度沿北偏东30°方向往C移动，若城市达到或超过4级 ，则称为受台风影响，如图 C （1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由 E （2）若会受到台风影响，那么影响该城市的 A 持续时间有多长？ D （3）该城市受到台风的最大风力为几级？
2.以A为圆心，50为半径画圆， 交BC于E,F,连接AE,AF
C
F
D E
37°
你知道E和F的意义吗
· A
· B
练习2：气象局发出预报:如图, 沙尘暴在A市
的正东方向400km的B处以40km/h的速度向北偏 西600的方向转移,距沙尘暴中心300km的范围内 将受到影响,A市是否受到这次沙尘暴的影响? 如果受到影响,将持续多长时间?


指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向或南偏西 45°）
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？
北
80 45°
P C A
东
30°
B
想一想
1、 审题，画图。
船有触礁的危险吗？
观测点
北
60º 30海里
茫茫大海中有 一个小岛A,该岛四 周16海里内有暗礁. 今有货船由东向西 航行,开始在距A岛 30海里南偏东600 的B处,货船继续向 西航行。 你认为货船继续 向西航行途中会 有触礁的危险吗?
A
问题本质是： 北 直线与圆的位 置关系
相离---无危险
A
60°
30°
相切---无危险
相交---有危险
B
12
D
东
F
针对性习题1：
如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个 观测站,A在B的正西方向,AB=2km,从A测得 船C在北偏东60°的方向,从B测得船C在北 偏西45°的方向.求船C离海岸线的距离.