巴蜀中学2023届高考适应性月考卷(二)数学-答案

数学参考答案·第1页（共9页）
巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（二）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7
8 答案 B
C
A
D
C
C
D
D
【解析】
1．由角的周期性变化可知：A B ⊂，故选B ． 2．cos 2
x =
解得π2π()6x k k =+∈Z 或π
2π()6x k k =-+∈Z ，故选C ．
3．0.10555551log 5log 4log 100a b a b =>==>=>=>>.，∵∴又
π3ππ25<<，
3π
tan 05
c =<∴，a b c >>∴，故选A ．
4．由函数定义域可以排除C ，由函数奇偶性可
以排除A ，又因当(01)x ∈，时，
2e e e e
0ln ||00ln ||
x x
x
x
x x x ----><<，
，，所以B 选项错误，D 选项正确，故选D ．
5．如图1所示，在等腰三角形中，30OB AOB =∠=︒，可得
322B ⎛ ⎝⎭
，，由题意，点B 的坐标6次一个循环，即以6为周期，23B 与5B 重合，故有322B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，故选C ． 6．由卷图可知05sin 0252π3π234A .,A .T ϕ⎧=⎪
=⎪⎨⎪<<⎪⎩
，又ππ||226ωϕωϕ*∈==N ，≤，
，∴，1π()sin 226f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭∴，1π12ππ12π()sin sin 3523562330g x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴，故选C ．
7．8人中选5人，分三组的分组分配问题：22
533
538
53C C C C A 84002⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，故选D ． 图1
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8．设切点坐标32
000(3)x x x -，，∵32()3f x x x =-，∴2()36f x x x '=-，∴曲线()f x 在
3200
(3)x x x -，处的切线斜率为20
036x x -，又∵切线过点(2)P t ，，∴切线斜率为32
00032
x x t
x ---，
∴322000003623x x t x x x --=--，即3200029120x x x t -++=， ∵过点(2)P t ，可作曲线()y f x =的
三条切线，∴方程3200029120x x x t -++=有3个解．令32
0000()2912h x x x x t =-++，则0()h x 图象与x 轴有3个交点，∴0()h x 的极大值与极小值异号，2000()61812h x x x '=-+，令
0()0h x =，得01x =或2，∴(2)(1)0h h <，即(4)(5)0t t ++<，解得54t -<<-，故选D ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12 答案 BD
ABD
ABC
ABD
【解析】
9．对称轴为ππ32
k x k =+∈Z ；对称中心为
ππ0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，；π()2sin 26f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
π2cos 23x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭；两个零点的距离：12π()2k x x k -=∈Z ，故选BD ．
10．选项A ：()g x 有两条对称轴2x =，7x =，()(4)(14)g x g x g x =-=-，∵()(10)
g x g x =+∴周期为10，所以正确；选项B ：()(14)(24)g x g x g x =-=-，12x =是()y g x =的对称轴，所以正确；选项C ：由对称性(1)(3)(11)0g g g ===，()0g x =至少有
3个解，所以错误；选项D ：周期为10，[22022]，有202个周期，(1)0g =，至少有20221405⨯+=个解，所以正确，故选ABD ．
11．对于A ：π
sin sin sin sin sin cos 2A B A A A A ⎛⎫+<+-=+ ⎪⎝⎭
，正确；对于B ：
ππcos cos cos cos sin cos 124A B A A A A A ⎛⎫⎛
⎫+>+-=+=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；关于C ：
cos()cos cos sin sin 0A B A B A B +=->，sin sin cos cos A B A B <，tan tan 1A B <∴，正确；关于D ：tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<（也可用特殊值法排除）
错误，故选ABC ．
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12．选项A ：π02x ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，，cos 0x x ≥，故2sin cos 2sin 2x x x x x x x x x ----=≤≤，所以正
确；选项B ：()2sin cos f x x x x x =--，()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-，()cos 0f x x x ''=≥，(0)0f '=，π()002f x x ⎛
⎫' ⎪⎝⎭≥≤≤，()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，()0f x ≥，
所以B 正确；选项C ：由选项B 可知当π
02
x <≤
时，()0f x '>，单调递增，无零点；当ππ2x ≤≤时，()cos sin 1f x x x x '=+-单调递减；ππ
1022f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，(π)20f '=-<，由零点存在性定理知有唯一零点，()f x '在(0π)，有1个零点，所以C 错误；选项D ：0a “≤”由选项B 可知不等式成立；法一：若()f x ax ≥，则令()2sin cos h x x x x x ax =---，(0)0h =∵，()cos sin 1h x x x x a '=+--，(0)0h '≥∴即(0)0h a '=-≥，0a ≤；只需证明0a ≤不等式成立，显然；法二：令()2sin cos h x x x x x ax =---，()cos sin 1h x x x x a '=+--，π()cos 002h x x x x ⎡⎤''=∀∈⎢⎥⎣⎦≥，，，()h x '在π02⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，单调递增，当0a ≤时，不等式成立，当0a >时，(0)0h a '=-<，ππ122h a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，0π02x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，0(0)()0x x h x '∀∈<，，，()h x 单调
递减，(0)0h =∵，()0h x <∴即()f x ax <，不合题意，综上可知，0a ≤命题成立，所以
D 正确，故选ABD ．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．ππ||
2
T ω=
=
． 14．古典概型，样本空间样本点总数为55A 120=，事件所占样本个数为3234A A 72
=，故723()1205
P A =
=．
数学参考答案·第4页（共9页）
15．()sin cos (sin cos )g x x x x x =-+；
令πsin cos [4t x x x ⎛⎫
=+=+∈ ⎪⎝
⎭，
则
22111(1)11222t y t t -⎡
⎤=-=--∈-+⎢⎥⎣
⎦． 16．2sin cos cos sin sin sin sin A B A B B A B =-∵，2sin sin sin sin sin cos cos A B A B B B A +=∴，
sin (2sin sin )cos sin cos A B B A B B +=，22sin sin cos sin cos cos 2sin sin 3sin 2cos A B B B B
A B B B B
==++∴
2tan 1
23tan 23tan tan B B B B
=
=
++
，tan 12
A =
，当且仅当23tan 2B =
，即tan 3B =时
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
（1）证明：由sin sin tan cos 1cos A B A A B
==
+知： sin (1cos )sin cos sin sin cos sin cos sin()A B B A A B A A B B A +=⇒=-=-； ………（3分） 由πππ0sin 222A B A y x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增知：2B A =．
…………………………………………………………………………（5分）
（2）解：由锐角ABC △知π02π202π3π2A B A A B A ⎧⎛⎫
∈ ⎪⎪
⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪⎛⎫+=∈⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，，，，ππ64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，
…………………………………………………………………………（7分）
故
tan tan tan()tan 11tan tan 3B A
B A A A B ⎫-=-=∈⎪⎪+⎝⎭
． ………………………………（10分）
18．（本小题满分12分）
解：（1
）2
1()cos cos 2(2sin 1)224A f x A x x x x ⎫=++--+⎪⎪⎝⎭
数学参考答案·第5页（共9页）
sin 2(cos 21)2cos 22sin 22cos 2244444A A A A x x x A x x ⎛⎫
=
++--+=+-+ ⎪⎝⎭
sin(2)2x ϕ=
++ ， …………………………………………………（4分）
故max )22(f x +==+2A =．
…………………………（6分）
（2）由（1
）知3π()2cos 2222223f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭， ……………（8分）
故37ππ2330ππ46x x -⎡⎤⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-，，，
故max 5()π212f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，min 1()(0)2f x f ==， 故()y f x =
的值域为122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． …………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：由AB CD AB BC ⊥，∥，22AB BC CD ==得AD BD ⊥， 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，
由PB PD =知PO ⊥平面ABCD ，故PO AD ⊥， ……………………………………（3分） 由AD BD ⊥，AD PO ⊥，BD PO O = ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 故AD ⊥平面PBD ．
………………………………………………………………（5分）
（2）解：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图2所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(000)(0)00)O A B -，，，，，，
(00)(00)C D ，，，
设(00)P a ，，，则由PA PC ⊥知240PA PC a =-=
，2a =，
故(002)P ，，； …………………………………………………………（7分）
设平面PBC 的法向量为()x y z m =
，，，
由(0)BC =
，(02)BP = ，
，有020m BC m BP z ⎧=+=⎪
⎨=+=⎪⎩
，， 取1z =
，则1)m = ；设平面PAD 的法向量为()n a b c =
，，，
图2
数学参考答案·第6页（共9页）
由02)DP = ，
，(00)AD = ，
，有200n DP c n AD ⎧=+=⎪
⎨==⎪⎩
，， 取1c =
，则(01)n =
，，
…………………………………………（11分）
记平面PAD 与平面PBC 所成角为θ
，则||cos |cos |15||||m n m n m n θ=〈〉===
，．
………………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件A ，
第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮比赛答对至少2题包含两种情况： 前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对， ……………（2分）
故2
12111115()C 13332327
P A ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ． ………………………………（5分）
（2）记小陈同学参加比赛获得的奖金为X （单位：元）， 在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且答对的可能性为1
6
，选择继续作答且答错的可能性为13，选择停止作答的可能性为1
2，
【法一】排异法：
2
2
112221211211121442252(0)C C 33333363333927818181P X ⎛⎫
⎛⎫==+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
……………………………………………………………………………（7分） 1211(100)3329P X === ，
………………………………………………………（8分）
2111(200)3329
P X ==
= ， ………………………………………………………（9分）
21211(300)33227P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭ ，
…………………………………………………（10分）
12111
(400)336254
P X ==
=
， ………………………………………………（11分）
故52111113(450)181992754162
P X =-
----=
≥．
………………………（12分）
数学参考答案·第7页（共9页）
【法二】21111(500)336254
P X ==
=
，
………………………………（6分）
3
11(600)(1000)327P X P X ⎛⎫
=+===
⎪⎝⎭， …………………………………………（7分）
2
1211
(700)33681P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，
…………………………………………………（8分）
2
1211(800)336162P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭ ，
…………………………………………………（9分）
22111(900)336162P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭ ，
………………………………………………（10分）
故1111113
(450)542781162162162
P X =
++++=
≥． ……………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1
）由2
c e a =
=
知a ==， ………………………………（2分）
1O AB d →=
=
=
=直线
，故b a =
=， 故椭圆C 的标准方程为22
133
2x y +=． ………………………………………………（4分） （2）0MN k =时：(01)(11)(11)Q M N -，，，，，，故||||2OQ MN = ； ……………（5分）
0MN k ≠时：设直线l 的方程为x my t =+， 由直线l 与圆221x y +=
相切，所以1d =
=，即221t m =+，………………（6分）
联立22
133
2x y x my t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得222(2)230m y mty t +++-=，
由韦达定理：1222
1222232mt y y m t y y m -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
……………………………………………（8分）
数学参考答案·第8页（共9页）
MN 中点Q 的坐标为22222t
mt m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，，
故||OQ ==
=
12|||MN y y =-=
==，
…………………………………………………………………（10分）
故2
2
2
2242
22()()192212124(2)4414|4|||4m m m
m m m O N m Q m M ⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎤=+=+∈ ⎪ ⎪ ⎥+++⎝⎦⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝++⎭= ，， 综上：||||OQ MN 的取值范围是924⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，．
………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）1()e 1x f x -'=-，
……………………………………………………（1分）
令()0f x '<得1x <，令()0f x '>得1x >，
故()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． ………………………（4分）
（2）11()e ln ()(1)e 1x x a
g g x x x x x
a x x --'=+-=---⇒，(1)0g =恒成立(1)1g a '⇒=-，
…………………………………………………………………（5分）
当0a ≤时：1()(e 1)ln x g x x a x -=--，
故(01)x ∈，时，()0g x <，(1)x ∈+∞，时，()0g x >， 只有1x =一个零点，不符合题意； …………………………………（6分）
当01a <<时：1()(1)e 1x a
g x x x
-'=+--
在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=->， 由0
lim ()x g x +
→'=-∞知必存在0(01)x ∈，使得0()0g x '=， ()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增；
结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0
lim ()lim ()x x g x g x +
→+∞
→==+∞知：
数学参考答案·第9页（共9页）
()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点；
……………（8分）
当1a =时：11
()(1)e 1x g x x x
-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)0g '=，故min ()(1)0g x g ==，
只有1x =一个零点，不符合题意； ……………………………………（9分）
当1a >时：1()(1)e 1x a
g x x x
-'=+--
在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=-<， 由lim ()x g x →+∞
'=+∞知必存在0(1)x ∈+∞，使得0()0g x '=，
()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增，
结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0
lim ()lim ()x x g x g x +
→+∞
→==+∞知： ()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点， ………………（11分）
综上所述：(01)(1)a ∈+∞ ，，． ………………………………………（12分）。