2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第九章 第7节

B. 15a2
C.30a2
D.15a2
23 (2)(2019·长春质检)双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± x，一个焦点为 F(0，－ 7)，
3
点 A( 2，0)，点 P 为双曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时，△PAF 周
长的最小值为( )
A.8
B.10
C.4＋3 7
D.3＋3 17
c 解析 (1)由双曲线的对称性不妨设 A 在双曲线的右支上，由 e＝ ＝2，得 c＝2a，∴
运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
x2 y2 【训练 1】 (1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的离心率
a2 b2 为 2，左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在双曲线 C 上，若△AF1F2 的周长为 10a，
则△AF1F2 的面积为( ) A.2 15a2
∴cos ∠F1AF2＝
2|AF1|·|AF2|
（4a）2＋（2a）2－（4a）2 1
＝
＝.
2 × 4a × 2a 4
15 又 0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝ 4 ，
1
1
15
∴S△AF1F2＝2|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝2×4a×2a× 4 ＝ 15a2.
y2 x2 (2)由已知得双曲线方程为 － ＝1，设双曲线的另一个焦点为 F′，则|PF|＝|PF′|＋
考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】 (1)已知 F1，F2为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，
则 cos ∠F1PF2＝( )
1
3
3
4
A.
B.
C.
D.
4
5
4
5
(2)(2019·西安调研)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M
43
4，△PAF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当 F′，P，A 三点共线时，
|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为 10.
答案 (1)B (2)B
考点二 双曲线的标准方程
x2 y2 【例 2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方
(1)若 a<c，则集合 P 为双曲线；
(2)若 a＝c，则集合 P 为两条射线；
(3)若 a>c，则集合 P 为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 － ＝1
a2 b2 (a>0，b>0)
y2 x2 － ＝1
a2 b2 (a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a 或 x≤－a，y∈R
a，b，c 的关系
c2＝a2＋b2
[微点提醒]
2b2 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .
a
c a2＋b2
b2
2.离心率 e＝ ＝
＝ 1＋ .
aa
a2
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( )
第 7 节 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范 围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知识梳理
1.双曲线的定义
我们把平面内到两定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|) 的点的集合叫作双曲线.定点 F1，F2 叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫 作双曲线的焦距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其 中 a，c 为常数且 a>0，c>0：
(3)当 m＞0，n＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m＜0，n＜0 时则表示焦点
在 y 轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(选修 2－1P82 练习 1(1)改编)经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴 双曲线方程为________________.
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 3
cos ∠F1PF2＝
2|PF1|·|PF2|
＝. 4
(2)如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.
根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大， 与 C1 的距离小)，
2 C.y＝± x
2
3 D.y＝± x
2
c
b
解析 法一 由题意知，e＝ ＝ 3，所以 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a，即 ＝
a
a
b 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
x2 y2
(5)若双曲线 － ＝1(a>0，b>0)与 － ＝1(a>0，b>0)的离心率分别是
a2 b2
b2 a2
e1，e2，
11 则 ＋ ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )
ee
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
解析 设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点 A(3，－1)代入，得 λ＝8，故所求 x2 y2
双曲线方程为 － ＝1. 88
x2 y2 答案 － ＝1
88 y2
3.(选修 2－1P78 讲解引申改编)已知双曲线 x2－ ＝1 上一点 P 到它的一个焦点的 16
距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于________.
－ ＝1， a2 b2
b
解得
a＝1， b＝ 3，
＝ 3，
a
y2 ∴双曲线 C 的标准方程是 x2－ ＝1.
3
2
x2 y2
(2)由双曲线的渐近线方程为 y＝± x，可设双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0).因为双曲
3
94
64
1
y2 x2
线过点 P( 6，2)，所以 － ＝λ，λ＝－ ，故所求双曲线方程为 － ＝1.
同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________. 解析 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2
2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，
在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
a2 9
5
________.
33 解析 由题意可得 ＝ ，所以 a＝5.
a5
答案 5
x2 y2
5
6.(2018·北京卷)若双曲线 － ＝1(a>0)的离心率为 ，则 a＝________.
a2 4
2
( ) a2＋4 5 2
解析 由题意可得， ＝ ，即 a2＝16，又 a>0，所以 a＝4.
a2
2
答案 4
a2 b2
于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离
分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
x2 y2 A. － ＝1
4 12
x2 y2 B. － ＝1
12 4
x2 y2 C. － ＝1
39
x2 y2 D. － ＝1
93
b5 解析 (1)由题设知 ＝ ，①
a2 b2
5
x2 y2
程为 y＝ x，且与椭圆 ＋ ＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )
2
12 3
x2 y2 A. － ＝1
8 10
x2 y2 B. － ＝1
45
x2 y2 C. － ＝1
54
x2 y2 D. － ＝1
43
x2 y2 (2)(2018·天津卷)已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且垂直
x∈R，y≤－a 或 y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 渐近线 离心率 实虚轴
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
b y＝± x
a
a y＝± x
b
c e＝ ，e∈(1，＋∞)
a
线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段
B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a 叫作双曲 线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长
解析 设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6 或 2，
又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 c－a＝ 17－1，故|PF2|＝6.
答案 6
x2 4.(2018·浙江卷)双曲线 －y2＝1 的焦点坐标是( )
3
A.(－ 2，0)，( 2，0)
B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－ 2)，(0， 2)
D.(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，又 c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以 c＝2，故
焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
答案 B
x2 y2
3
5.(2017·全 国 Ⅲ卷 )双 曲 线 － ＝ 1(a>0)的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y＝ x， 则 a＝
＝4，所以 ＝4，解
b2
a
a2
a2
x2 y2 得 a2＝3，所以双曲线的方程为 － ＝1.
39
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标
准形式，根据已知条件，列出关于参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值.
x2 y2
x2 y2
2.与双曲线 － ＝1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0).3x2源自y2 D. － ＝123 32
(2)已知双曲线的渐近线方程为 2x±3y＝0，且双曲线经过点 P( 6，2)，则双曲线的
方程为________________.
x2 y2 解析 (1)由双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)过点( 2， 3)，且实轴的两个端点与
a2 b2
23
{ ) { ) 虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得
(2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( )
x2 y2 (3)方程 － ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( )
mn
x2 y2
xy
(4)双曲线 － ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 ± ＝0.( )
m2 n2
mn
x2 y2
a2
x2 y2 又由椭圆 ＋ ＝1 与双曲线有公共焦点，
12 3
易知 a2＋b2＝c2＝9，②
x2 y2 由①②解得 a＝2，b＝ 5，则双曲线 C 的方程为 － ＝1.
45
x2
(2)由
d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为
3，所以
b＝3.因为双曲线 a2
y2
c
a2＋b2
a2＋9
－ ＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，所以 ＝2，所以
a
△AF1F2 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2 的周长为 10a，
∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2 中，|F1F2|＝4a，
|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2
94
3
43
3
y2 x2 答案 (1)C (2) － ＝1
43 3
考点三 双曲线的性质 多维探究
角度 1 求双曲线的渐近线
x2 y2 【例 3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，
a2 b2 则其渐近线方程为( )
A.y＝± 2x
B.y＝± 3x
其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.
y2 故点 M 的轨迹方程为 x2－ ＝1(x≤－1).
8 y2 答案 (1)C (2)x2－ ＝1(x≤－1) 8 规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据
要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，
a2 b2
a2 b2
x2 y2 【训练 2】 (1)(2018·海南二模)已知双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)过点( 2， 3)，
a2 b2
且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线 C 的标准方
程是( )
x2 A. －y2＝1
1 2
x2 y2 B. － ＝1
93
y2 C.x2－ ＝1