河北省保定市里村中学2018-2019学年高三数学理模拟试题

河北省保定市里村中学2018-2019学年高三数学理模拟
试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 点P是曲线y=x2一1nx上任意一点，则点P到直线y=x－2的距离的最小值是 A．1 B． C．2 D．2
参考答案：
2. 函数(其中A>0,)的部分图象如图所示,为了得到
的图象,则只要将的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
参考答案：
A
略
3. 我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立.下面给出的平面几
何中的四个真命题：
①平行于同一条直线的两条直线必平行；
②垂直于同一条直线的两条直线必平行;
③一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；
④一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
在空间中仍然成立的有 ( )
A. ②③
B. ①④
C. ②④
D.①③
参考答案：
D
4. 若复数满足，则=
A．B．C．
D．
参考答案：
C
5. 已知，则的表达式为（）
B． C． D．
参考答案：
A
6. 已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=3﹣b，P=lnc，则M，N，P的大小关系是（）
A．P＜N＜M B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．N＜P＜M
参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，则M=2a＞1，N=3﹣b=∈（0，1），P=lnc＜0，
∴P＜N＜M．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,又分别是两曲线的离心率,若PF1PF2,则
的最小值为( )
A．B．4
C．D．9
参考答案：
C
8. 如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（）
A．6πB．8πC．10πD．11π
参考答案：
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，进而可得几何体的表面积．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，由正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，
故半球的半径为，
圆锥的底面半径为1，母线长为2，
故组合体的表面积S=+（﹣π?12）+π?1?2=10π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，球的体积和表面积，难度中档．9. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为
(A，c为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是（）
A. 75，25
B. 75，16
C. 60，
25 D. 60，16
参考答案：
D
10. 设a，b均为不等于1的正实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【分析】
首先通过对数运算可判断出时，，得到充分条件成立；当
时，可根据对数运算求出或或，得到必要条件不成立，从而可得结果.
【详解】由，可得：，则，即
可知“”是“”的充分条件
由可知，则
或
或或
可知“”是“”的不必要条件
综上所述：“”是“”的充分不必要条件
本题正确选项：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有
种不同的选法.
参考答案：
60
12. 对于函数，若存在区间[a，b]，当时的值域为，则称
为k倍值函数.若是k倍值函数，则实数k的取值范围是________. 参考答案：
试题分析：由题意得有两个不同的解，，则
，因此当时，，当时，
，从而要使有两个不同的解，需
考点：函数与方程
【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义
及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
13. 若x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最大值为
参考答案：
如图
14. 已知向量满足，与的夹角为，则= ．参考答案：
2
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由条件进行数量积的运算便可求出的值，从而得出的值．【解答】解：根据条件，
=
=
=4；
∴．
故答案为：2．
15. 数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1﹣a k|=1，k=1、2、3．…，10．满足这样条件的不同数列的个数为_________．
参考答案：
120
略
16. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则函数在点处的切线方程是．
参考答案：
17. 若，且，则
的值为．
参考答案：
1
函数是奇函数，则，
即：，
从而有：，
令可得：,
令可得：,
原式：
.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分)解不等式
参考答案：
19. （本题13分）已知函数，其中，
相邻两对称轴间的距离不小于（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）在
的面积.
参考答案：
解：（Ⅰ）
………………3分
……………4分
由题意可知
解得……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的最大值为1，
……………7分而………………8分
由余弦定理知
联立解得………10分
……13分
20. 本题满分16分（其中第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）
已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与
的斜率之积为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）因为点为椭圆上一点，所以
，……… 2分
得，椭圆方程为
……………… 4分
（2）设, 又，化简得2分则，，……………… 3分
……………… 5分
所以
（定值）
……………… 8分
（3）因为动点P（x0，y0）满足，即，
所以点P的轨迹为焦点的椭圆。

存在点A()、B（），使得=（定值）… 4分（1）、（2）的评分标准同理科。

略
21. （本小题满分10分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.
参考答案：
【知识点】不等式的解法N4
（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅰ）由题设知：，由绝对值的几何意义可得或，从而函数f（x）的定义域为；…（5分）
（Ⅱ）不等式，即，时，恒有
，…（8分）
∵不等式解集是R，即，
的取值范围是．…（10分）
【思路点拨】（Ⅰ）由题意可得，由绝对值的几何意义即得所求．（Ⅱ）由不等式可得恒成立，再由的最小值等于3，故有，由此求得实数的取值范围．
22. 设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB 的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
分析；（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用OA⊥OB推断出x1x2+y1y2=0，
求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利
用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小，最后根据求得AB的坐标值．
解：（I）由，∴．
由右焦点到直线的距离为，
得：，
解得．
所以椭圆C的方程为．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆联立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，
．
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．
即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴，
整理得7m2=12（k2+1）
所以O到直线AB的距离．为定值
∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA?OB，
当且仅当OA=OB时取“=”号．
由，
∴，
即弦AB的长度的最小值是．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力和基本的运算能力．。