(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)压轴大

压轴大题突破练(三)
(推荐时间：60分钟) 1．已知函数f (x )＝12
x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )图象在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当a <0时讨论函数f (x )的单调性；
(3)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有
f x 2－f x 1x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由．
解 f ′(x )＝x －2a x ＋a －2＝x －2x ＋a
x
(x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝x －2
x ＋1x ，f ′(1)＝－2，
∴所求的切线方程为y －f (1)＝－2(x －1)，
即4x ＋2y －3＝0.
(2)①当－a ＝2，即a ＝－2时，
f ′(x )＝x －22x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
②当－a <2，即－2<a <0时，
∵0<x <－a 或x >2时，f ′(x )>0；
－a <x <2时，f ′(x )<0，
f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；
③当－a >2，即a <－2时，
∵0<x <2或x >－a 时，f ′(x )>0；
2<x <－a 时，f ′(x )<0，
f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．
(3)假设存在这样的实数a 满足条件，不妨设x 1<x 2.
由f x 2－f x 1x 2－x 1
>a 知f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1成立， 令g (x )＝f (x )－ax ＝12
x 2－2a ln x －2x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，
∴g ′(x )＝x －2a x
－2≥0，
即2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．
∴a ≤－12
，故存在这样的实数a 满足题意， 其X 围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12. 2．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ
于点M ，设点M 的轨迹为E .
(1)求轨迹E 的方程；
(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45，若弦AB 的中点为R ，求直线OR 斜率的取值X 围． 解 (1)由题意，得|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |
＝|CQ |＝4>23，
所以点M 的轨迹是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，
即轨迹的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，
由题意，直线l 的斜率不可能为0，
故可设直线l ：x ＝my ＋1，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1消去x ，得(4＋m 2)y 2
＋2my －3＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.
S ＝12|OP |·|y 1－y 2|＝
12y 1＋y 22－4y 1y 2
＝2m 2＋3m 2＋4， 由S ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45，解得1<m 2<6， 即m ∈(－6，－1)∪(1，6)．
因为R (x 0，y 0)是AB 的中点，
所以y 0＝y 1＋y 2
2＝－m 4＋m 2，x 0＝my 0＋1＝44＋m
2.
故直线OR 的斜率k ＝y 0x 0＝－m 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－64，－14∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，64. 3．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的的取值X 围．
解 (1)∵f ′(x )＝a 1＋x
＋2x －10， ∴f ′(3)＝a 4
＋6－10＝0，故a ＝16. (2)由(1)，知f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)，
f ′(x )＝2x 2－4x ＋31＋x ＝2x －1x －31＋x
. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0；
当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0.
则f (x )的单调递增区间是(－1,1]和[3，＋∞)，
单调递减区间是[1,3]．
(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)上单调递增，
在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.
所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，
极小值为f (3)＝32ln 2－21.
所以在f (x )的三个单调区间(－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)上，
当且仅当f (3)<b <f (1)，
直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，如图所示．
因此，b 的取值X 围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．
4．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为
22
，它的一个焦点恰好与抛物线y 2 ＝4x 的焦点重合．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆的上顶点为A ，过A 作椭圆C 的两条动弦AB 、AC ，若直线AB 、AC 的斜率之积为14，试问直线BC 是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 解 (1)设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)， ∵2p ＝4，∴p ＝2，抛物线的焦点为F (1,0)，
∴椭圆的一个焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又∵c a ＝22
，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故所求椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1. (2)由(1)知A (0,1)．
当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0，
设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)， k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 2
0x 20＝12x 20x 20
＝12≠14
，不合题意． 故直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋m ， 并代入椭圆方程，整理得：
(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0①
由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得
2k 2－m 2＋1>0，②
设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，
∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－11＋2k
2， 由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14
得 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，
即4(kx 1＋m )(kx 2＋m )－4(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋4＝x 1x 2， 亦即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2
＝0， 24k 2－1m 2－11＋2k 2－16k 2m m －11＋2k 2＋4(m －1)2＝0， 整理得(m －1)(m －3)＝0，
又∵m ≠1，∴m ＝3，此时直线的方程为y ＝kx ＋3， 所以直线BC 恒过一定点P (0,3)．。