2020高考数学复习：专题一 第1讲

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考法 2 由函数的图象特征求解析式 【例 2－2】 (1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则
函数 f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝2sinx－π6 C.f(x)＝2sin2x＋1π2
A.关于点1π2，0对称
B.关于点－1π2，0对称
C.关于直线 x＝1π2对称
D.关于直线 x＝－1π2对称
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解析 (1)因为 y＝sin 2x＋1＝cos2x－π2＋1＝cos2x－π4＋1，故只需将函数 y＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，即可得到函数 y＝sin 2x＋1 的图象.
(2)由题意，T＝π，ω＝2. 又 y＝f x＋π3＝sin2x＋φ＋23π的图象关于 y 轴对称.∴φ＋23π＝kπ＋π2，k∈Z. 由|φ|<π2，取 φ＝－π6，因此 f(x)＝sin2x－π6，代入检验 f 1π2＝0，A 正确. 答案 (1)B (2)A
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解析 (1)法一 由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z).
∵sin α＝13，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝13(k∈Z). 当 cos α＝ 1－sin2α＝232时，cos β＝－232，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2
3
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【 训 练 1 】 (1)(2018·潍 坊 三 模 ) 在 直 角 坐 标 系 中 ， 若 角 α 的 终 边 经 过 点
Psin23π，cos23π，则 sin(π－α)＝(
)
1 A.2
3 B. 2
C.－12
D.－
3 2
(2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，A︵B，C︵D，E︵F，G︵H
2020高考数学复习配套课件：
第1讲 三角函数的图象与性质
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高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个 方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题， 主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参 数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
)
A.1
24
1
2
3
B.2
C. 2
D. 2
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解析 (1)由题意知 A＝2，T＝451π2－π6＝π，ω＝2，因为当 x＝51π2时取得最大值 2， 所以 2＝2sin2×51π2＋φ，所以 2×51π2＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得 φ＝2kπ－π3，k∈Z， 因为|φ|<π2，得 φ＝－π3.因此函数 f(x)＝2sin2x－π3. (2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则 ω＝2.又点－π6，0是“五点法”中的始点， ∴2×－π6＋φ＝0，φ＝π3.则 f(x)＝sin2x＋π3.函数图象的对称轴为 x＝－π62＋π3＝1π2.
它们的终边关于 y 轴对称.若 sin α＝13，则 cos(α－β)＝________.
(2)如图，以 Ox 为始边作角 α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点 P，已知点 P 的坐标
为－35，45，则sin
2α＋cos 1＋tan
α2α＋1＝________.
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探究提高 1.“五点法”作图：设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出 x 的值与 相应的 y 的值，描点、连线可得. 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中 的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单 位长度和方向.
∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α，cos β＝cos[(2k＋1)π－α]＝－cos α，k∈Z.
当 sin α＝13时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋
sin2α＝2sin2α－1＝2×19－1＝－79.
是圆 x2＋y2＝1 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角
α 以 Ox 为始边，OP 为终边.若 tan α<cos α<sin α，则 P 所
在的圆弧是( ︵
A.AB
) ︵
B.CD
︵ C.EF
︵ D.GH
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解析 (1)∵角 α 的终边过点 Psin23π，cos23π，且|OP|＝1.∴由三角函数定义，知 sin α ＝cos23π＝－12.因此 sin(π－α)＝sin α＝－12. (2)设点 P 的坐标为(x，y)，由三角函数的定义得yx<x<y，所以－1<x<0，0<y<1.所以 P 所在的圆弧是E︵F.
(2)由三角函数定义，得 cos α＝－35，sin α＝45，
∴原式＝2sin
α1c＋oscsαoi＋ns αα2cos2α＝2cos
α（sin α＋cos sin α＋cos α
cos α
α）＝2cos2α＝2×－352＝1285.
答案
(1)－79
18 (2)25
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答案 (1)C (2)C
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热点二 三角函数的图象 考法1 三角函数的图象变换 【例2－1】 (1)要想得到函数y＝sin 2x＋1的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象( )
A.向左平移π4个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移π4个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移π2个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移π2个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
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B.f(x)＝2sin2x－π3
D.f(x)＝2sin2x－π6
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(2)(2018·济南调研)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，
若 x1，x2∈－π6，π3，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝(
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探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机 械地使用三角函数的定义就会出现错误. 2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关. 若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确 定的.
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ห้องสมุดไป่ตู้
3.三角函数的两种常见变换
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热点一 三角函数的定义
【例 1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，
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1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 2α＝23，则|a－b|＝( )
A.15 解析
B.
5 5
C.2 5 5
D.1
由题意知 cos α>0.因为 cos 2α＝2cos2α－1＝23，所以 cos α＝ 630，sin α＝± 66，
则由 0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤34π.因为 f(x)在[－a，a]上是减函数，所以－ a≤a≥ 34π－，π4，
解得 a≤π4，所以 0<a≤π4，所以 a 的最大值是π4. 答案 A
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1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)
得|tan
α|＝
55.由题意知|tan
α|＝a1－ －b2，所以|a－b|＝
5 5.
答案 B
3
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2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是(
)
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线 x＝83π对称
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3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 解析 易知 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3cos 22x＋1＋1＝32cos 2x＋52，则 f(x) 的最小正周期为 π，当 2x＝2kπ，即 x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为 4.
[2kπ，2kπ＋π] 偶函数
kπ＋π2，0 x＝kπ 2π
奇函数 k2π，0
π
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2.三角函数的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数； 当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得. (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数； 当 φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
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(2)(2018·湖南六校联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2，其图象相邻两条对
称轴之间的距离为π2，将函数 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关
于 y 轴对称，那么函数 y＝f(x)的图象( )
答案 B
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4.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
π A.4 解析
π
3π
B.2
C. 4
D.π
f(x)＝cos x－sin x＝ 2cosx＋π4，且函数 y＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，
2×－2

3
2＋13×13＝－79.
当 cos α＝－ 1－sin2α＝－232时，cos β＝232， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79. 综上可知，cos(α－β)＝－79.
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法二 由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)，
C.f(x＋π)的一个零点为 x＝π6
D.f(x)在π2，π单调递减
4
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解析 A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确. B 项，因为 f(x)图象的对称轴为直线 x＝kπ－π3(k∈Z)，当 k＝3 时，直线 x＝83π是其 对称轴，B 项正确. C 项，f(x＋π)＝cosx＋43π，将 x＝π6代入得到 f 76π＝cos32π＝0，所以 x＝π6是 f(x＋π) 的一个零点，C 项正确. D 项，因为 f(x)＝cosx＋π3的递减区间为2kπ－π3，2kπ＋23π (k∈Z)，递增区间为 2kπ＋23π，2kπ＋53π (k∈Z)，所以π2，23π是减区间，23π，π是增区间，D 项错误. 答案 D
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
递增 区间
2kπ－π2，2kπ＋π2 [2kπ－π，2kπ]
kπ－π2，kπ＋π2
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递减 区间 奇偶性 对称 中心
对称轴
周期性
2kπ＋π2，2kπ＋32π 奇函数 (kπ，0) x＝kπ＋π2 2π