北京市大兴区2020届高三4月统考理数试题Word版含解析

北京市大兴区2020届高三4月统考理数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数)1(i i z +=，则z 等于（ ）
A ．1 B
．2 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】
试题分析：()()
2
211,112z i i i z =+=-+∴=-+=Q ，故选B.
考点：1、复数的模；2、复数的运算. 2.在方程θθ
θ(2cos ,
sin ⎩⎨
⎧==y x 为参数）所表示的曲线上的点是（ ）
A ．)7,2(-
B ．)3
2,31( C ．)2
1,21( D ．(1,0) 【答案】C
考点：参数方程的应用.
3.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则
4
7
S S 等于（ ） A ．
47 B ．5
14
C ．7
D ．14 【答案】C 【解析】
试题分析：设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由()423a a a =+,得11463a d a d +=+,得1a d =-, 所
以4
7S S 1176
7142743242
a d d d
a d ⨯+
⨯===⨯+⨯，故选C. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式.
4.将函数y=sin2x 的图像向左平移4
π
个单位得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的一个增区间是 （ ） A ．)4,4(π
π-
B ．)2,0(π
C ．),2(ππ
D ．)4
5,43(π
π 【答案】C
考点：1、三角函数的平
移变换；2、诱导公式及三角函数的单调性. 5.使“a>b ”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1+>b a B ．1>b
a
C ．22b a >
D ．33b a > 【答案】A 【解析】
试题分析：因为选项B 是必要不充分条件,C 是既不充分也不必要的条件, D 是充要条件，1a b >+成立一定有a b >成立，而a b >成立1a b >+不一定成立，所以a b >成立的充分不必要条件是1a b >+, 故选A.
考点：1、不等式的性质；2、充分条件与必要条件.
【方法点睛】本题通过几个不等式主要考查不等式的性质、充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 6.下列函数：①11+-
=x y ；②3
)1(-=x y ；③1log 2-=x y ；④x y )2
1(-=中，在),0(+∞上 是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ）
A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．①③④ 【答案】A 【解析】
试题分析：因为②的零点是1、③的零点是2；①④都是在),0(+∞上是增函数且不存在零点的函数，所以符合题意函数的序号是①④，故选A. 考点：1、函数的单调性；2、函数的零点.
7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
【答案】D
考点：1、几何体的三视图；
2、三角形面积公式.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的 孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出 生的天数是（ ）
A ．336
B ．510
C ．1326
D ．3603
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，图中表示的是七进位制()71326，化为十进位制得，3
2
1737276510⨯+⨯+⨯+=,故
选B.
考点：1、数学建模能力；2、进位制及等比数列求和.
【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想、进位制及等比数列求和，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“满七进一”，的理解，进而转化为“七进制”的理解和等比数列求和公式的应用.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．） 9.5
)1(x -展开式中2
x 的系数等于______. 【答案】10
考点：二项展开式的通项及系数.
10.已知向量)2,(),2,1(-==x b a ，且)(b a a -⊥，则实数x 等于_______. 【答案】9 【解析】
试题分析：由向量)2,(),2,1(-==x 得()1,4,a b x -=-r r
因为)(-⊥，所以()1,4x -()1,2g 0=， 9x ∴=.故答案为9.
考点：1、平面向量数量积公式；2、向量垂直的性质.
11.若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的一条渐近线方程是02=-y x ，则它的离心率等于______.
【答案】5 【解析】
试题分析：因为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的一条渐近线方程为20,2,5x y a b c b -=∴=∴=,所以
双曲线的离心率是5c e a =
=，故答案为5. 考点：1、双曲线的性质；2、双曲线的渐近线及离心率.
12.为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分（10 分制）如图所示，假设得分的中位数e m ，众数为0m ，平均数为x ，则e m ，0m ，x 之间的大小关系是 _____.
【答案】x m m e <<0
考点：1、条形图的应用；
2、众数、中数、平均数的求法.
13.已知AB 是圆O 的直径，AB=1，延长AB 到C ，使得BC=1，CD 是圆O 的切线，D 是切点，则CD 等于______，△ABD 的面积等于______.
【答案】2
26
考点：1、圆的性质及切
割线定理的应用；2、三角形面积公式.
【方法点睛】本题主要考查三角形面积公式、圆的性质及切割线定理的应用，属于中档题. 圆的性质与相交弦定理、切割线定理的综合应用是高考命题热点，在实际应用过程中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，遇到切线和割线就要想到切割线定理，同时，与定理有关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分，做题过程中还要注意与相识三角形的性质相结合.
14.已知函数⎩
⎨⎧>-≤≤-+-=3,3,31,34)(2x x x x x x f ，若在其定义域内存在),2(*
∈≥N n n n 个不同的数
n x x x ,,,21⋅⋅⋅，使得
n n x x f x x f x x f )()()(2211=⋅⋅⋅==，则n 的最大值是______；若2=n ，则n
n x x f )(的最大 值等于_______. 【答案】3
4- 【解析】
试题分析：画出函数⎩
⎨⎧>-≤≤-+-=3,3,31,34)(2x x x x x x f 的图象，如图，使得n n x x f x x f x x f )()
()(2211=⋅⋅⋅==的n x x x ,,,21⋅⋅⋅的个数就是直线y kx =与()y f x =的图象交点个数，由图知直线y kx =与()y f x =的图象交
点个数最多有三个，所以n 的最大值是是3；当2n =时
n
n x x f )
(的最大值就是直线y kx =与()243,13x x x -+-≤≤的图象相切时k 的值，
由判别式可得4k =-即n
n x x f )
(
的最大值是4-，
故答案为4-.
考点：1、分段函数的解析式和图象；2、直线的斜率及数形结合思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和图象、转化与划归思想、直线的斜率及数形结合思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问
题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）
如图，在四边形ABCD 中，AB=4，32=AC ，B D ACB ∠=∠=∠2,3
1
cos . （1）求sin ∠B ；
（2）若AB=4AD ，求CD 的长.
【答案】（1）3
6
sin =
∠B ；（2）3CD =.
（2）因为4AB =,且4AB AD =，所以1AD =. 因为B D ∠=∠2，所以B D ∠-=∠2
sin 21cos ， 即3
13221cos -=⨯
-=∠D ， 由余弦定理知，CD
AD AC CD AD D ⨯-+=∠2cos 2
22，
即CD
CD ⨯⨯-+=-12121312，033232
=-+CD CD ，0)113)(3(=+-CD CD ，解得3CD =.
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、正弦定理及余弦定理. 16.（本小题满分12分）
2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和中国十佳最美丽城市，见 下表：
（1）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为1x 与2x ，方差分别为2
1s 与
22s ，试比较1x 与2x ，21s 与22s 的大小；（只需写出结论）；
（2）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳 宜居城市”的概率；
（3）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个城市进行调研，用X 表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复 计数），求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）1x <2x ，2
1s >2
2s ；（2）
23；（3）分布列见解析，19
25
.
由已知，既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟
台.所以3
2
)(3
10142636=+
=C C C C A P . （3）0,1,2X =, 25
9
10036)0(1101101616====C C C C X P ，251310052)1(1
10110161
6141
41
4==+==+C C C C C X P C C ， 25
3
10012)2(1
101101
41414==-==C C C C C X P ， 则X 的分布列为
X 0
1
2
P
25
9
25
13 25
3 25
252251250=
⨯+⨯+⨯
=EX . 考点：1、平均值和方差的应用；2、古典概型概率公式及离散型随机变量的分布列与期望. 17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，BC=2，AD=CD=1，M 是PB 的中点. （1）求证：AM ∥平面PCD ； （2）求证：平面ACM ⊥平面PAB ；
（3）若PC 与平面ACM 所成角为30°，求PA 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2=
PA .
（2）证明：因为 PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥. 因为1,AD CD AD CD ==⊥，所以2=
AC ，
因为ABC ∆中，45ACB ∠=o
，2=
AC ，2BC =，所以2=AB .
因为2
22BC AC AB =+，所以90CAB ∠=o
，所以AC AB ⊥， 又因为PA AB A =I ，所以AC ⊥平面PAB ，
又因为AC ⊂平面ACM ，所以平面ACM ⊥平面PAB . （3）过C 作KC PA P ，则KC ⊥平面ABCD .
因为,,CD CB CK 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz -，
考点：1、线面平行判定定理、线面垂直的判定定理；2、面面垂直的判定定理、空间向量夹角余弦公式. 18.（本小题满分13分）
已知函数x a ax x x f )12(ln )(2
+-+=，其中0≠a . （1）当2=a 时，求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；
（3）当a>0时，判断函数)(x f 零点的个数.（只需写出结论）.
【答案】（1）30y +=；（2）当0a <时，)(x f 的增区间为()0,1，)(x f 的减区间为),1(+∞，当2
1
=a 时， )(x f 的增区间为),0(+∞，当210<<a 时，)(x f 的增区间为()0,1，),21(
+∞a ，)(x f 的减区间为)1,21
(a
，当21>a 时，)(x f 的增区间为)21,0(a ，),1(+∞，)(x f 的减区间为)1,21
(a
；（3）当0a >时，零点的个数
为1.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求曲线的切线方程. 19.（本小题满分14分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x G 的长轴长为32，右焦点F(1,0)，过F 作两条互相垂直的直线分别
交椭圆G 于点A ，B 和C ，D ，设AB ，CD 的中点分别为P ，Q. （1）求椭圆G 的方程；
（2）若直线AB ，CD 的斜率均存在，求⋅的最大值，并证明直线PQ 与x 轴交于定点.
【答案】（1）12322=+y x ；（2）⋅有最大值5
1，证明见解析.
（2）①证明： ()1,0F ，
由题意设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠由⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=123)1(22y x x k y ，消元得
0636)23(2222=-+-+k x k x k ，
设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎩⎪
⎨⎧
+=+>∆236,02221k k x x ，
所以AB 的中点P 的坐标为)2
32,233(22
2+-+k k
k k ， 又由题意直线P 的方程为)1(1
--
=x k
y ， 同理可得CD 的中点Q 的坐标为)3
22,323(22++k k
k ，
所以2
42
222213665)32)(23(49k k k k k k k ++=++-=⋅
考点：1、待定数法求椭圆方程；2、直线与椭圆的位置关系、基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系及基本不等式求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求⋅最大值的. 20.（本小题满分13分）
数列{}n a 是由1,2,3，...，2016的一个排列构成的数列，设任意m 个相邻项的和构成集合B ，即
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-⋅⋅⋅===∑=+m
i i n m n a x x B 12016,,2,1,0,.
（1）若m=8，求B 中元素的最大值；
（2）下列两种情况下，集合B 能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列{}n a ，若不能，说明理由. ①251,,2,1,0,8,8⋅⋅⋅===k k n m ； ②671,,2,1,0,3,3⋅⋅⋅===k k n m .
（3）对于数列{}n a ，若m=8，记B 中元素的最大值为S ，试求S 的最大值.
【答案】（1）16100；（2）①{}8068=B ，②没有这样的数列{}n a 使集合B 只有一个元素；（3）8068.
试题解析：（1）B 中元素
的最大值2016201520142013201220112010200916100x =+++++++=. （2）①数列：2016,1,2015,2,2014,3,...,1009,1008能使集合B 只有一个元素， 这时),1008,,2,1(2017),1008,,2,1(122⋅⋅⋅=-=⋅⋅⋅==-n n a n n a n n
)251,,2,1,0)(()(88684828785838181
88
1
⋅⋅⋅=+++++++==+++++++++=∑k a a a a a a a a a
k k k k k k k k k i
()()()()()()()()()()20174120174220174320174441424344k k k k k k k k =-++-++-++-+++++++++201748068⨯=，所以{}8068=B .
②当3,3,0,1,2,...,671m n k k ===时，没有这样的数列{}n a 使集合B 只有一个元素.
证明：假设存在一个数列{}n a 使集合B 只有一个元素，由题意，数列{}n a 中的2016个数分为672段，每段和都相等，设和为T ，则有2
3
672201722016)12016(201621672⨯⨯=
+=+⋅⋅⋅++=T ， 所以2
3
2017⨯=
T ，与T 是整数矛盾，假设不成立. 当671,,2,1,0,3,3⋅⋅⋅===k k n m 时，没有这样的数列{}n a 使集合B 只有一个元素. （3）S 的最小值为8068.
考点：1、等差数列求和及集合的表示；2、元素与集合的关系及数学的划归思想.
【方法点晴】本题主要考查等差数列求和及集合的表示、元素与集合的关系及数学的划归思想，属于难题数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合思想、建模思想等等，做考查转化与划归思想的题型应耐心读题，弄清题设的性质，按题设的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以转化为常见数学知识，这样才能快速找准突破点. 充分利用数学的划归思想方法能够使问题化难为简，并使问题迎刃而解，解答本题的关键是将集合问题转化为数列问题.。