冀教版2018-2019年七年级数学下册4.微专题：相交线与平行线中的思想方法(含答案)

4．微专题：相交线与平行线中的思想方法
◆类型一方程思想
【方法点拨】方程思想主要应用在有关角的度数的计算中，当已知角之间的关系比较复杂或不容易表达时，利用方程思想可以使解题过程变得比较简洁、清楚．
1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为________．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5，求∠DOF的度数．
3．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.
(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；
(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．
◆类型二分类讨论思想
【方法点拨】在本章中，过一点作已知直线的垂线与过一点作已知直线的平行线等问题中，当点的位置
不确定时，需要对点的位置进行分类讨论．在有关角的计算问题中，还常对某条射线在角的内部或外部进行分类讨论．
4．在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A＝40°，则∠NPB的度数是__________．
5．(2017·定州市期中)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，画出图形，并求∠BOC的度数．
6．在∠ABC与∠DEF中，AB∥EF，BC∥DE.(1)请你探究∠ABC与∠DEF的关系；
(2)请你用上面的结论解决下面问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别是________________．
◆类型三转化思想
一、利用转化思想求角度
【方法点拨】当一个角的度数不能直接求出时，常常转化为求它的补角、余角或与它相等的角，进而求出这个角的度数．
7．(2017·常州中考)如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD.若∠1＝60°，则∠2的度数是()
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
8．如图，已知AB∥CD，∠C＝100°，且∠B∶∠D＝2∶3，求∠A的度数.
9．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α，β，求α＋β的值．
二、利用转化思想求图形周长或面积
【方法点拨】当图形的周长或面积不能直接求出时，常常利用平移的性质把不规则图形的周长、面积转化为规则图形的周长、面积，或者是规则图形的周长、面积的和差形式．
10．如图①，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路，为求草坪面积，我们进行了如图②所示的平移变换，则草坪的面积为________m2.
11．如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为______cm2.
第11题图第12题图12．如图，直角三角形AOB的周长为100，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形的周长之和为________.
13.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC 向右平移的距离AD 的长； (2)求四边形AEFC 的周长．
参考答案与解析
1．160°
2．解：∵OE ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠BOE ＝90°.∵∠COE ∶∠AOC ＝2∶5，设∠COE ＝2x ，则∠AOC ＝5x ，∠AOE ＝∠AOC －∠COE ＝3x ，∴3x ＝90°，解得x ＝30°，∴∠COE ＝60°，∠AOC ＝150°.∵OF 平分∠AOC ，∴∠COF ＝75°，∴∠DOF ＝180°－∠COF ＝105°.
3．解：(1)∵BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，∴∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.
(2)存在∠DFB ＝∠DBF .设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴7x °－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫72x －90°，∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °.∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝⎝
⎛⎭⎫90－12x °，∴∠DFB ＝∠DBF . 4．50°或130°
5．解：∵OA ⊥OC ，∴∠AOC ＝90°.∵∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3，∴∠AOB ＝60°.如图，∠AOB 的位置有两种：①当∠AOB 在∠AOC 内时，∠BOC ＝90°－60°＝30°；②当∠AOB 在∠AOC 外时，∠BOC ＝90°＋60°＝150°.综上所述，∠BOC 的度数为30°或150°.
6．解：(1)如图①，∠ABC ＝∠DEF .理由如下：∵AB ∥EF ，∴∠1＝∠DEF .∵BC ∥DE ，∴∠1＝∠ABC .∴∠ABC ＝∠DEF .
如图②，∠ABC ＋∠DEF ＝180°.理由如下：∵AB ∥EF ，∴∠1＋∠DEF ＝180°.∵BC ∥DE ，∴∠1＝∠ABC .∴∠ABC ＋∠DEF ＝180°.∴∠ABC 与∠DEF 相等或互补．
(2)30°，30°或70°，110° 解析：设另一个角为x °，根据以上结论，得2x －30＝x 或2x －30＋x ＝180，解得x ＝30或x ＝70，故答案为30°，30°或70°，110°.
7．C 8．解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠A ＋∠D ＝180°，∴∠B ＝180°－∠C ＝80°.∵∠B ∶∠D ＝2∶3，∴∠D ＝120°，∴∠A ＝180°－∠D ＝60°.
9．解：如图，过点C 作CE ∥m .∵m ∥n ，∴CE ∥n ，∴∠1＝α，∠2＝β.∵∠1＋∠2＝90°，∴α＋β＝90°.
10．1344 11.6
12．100 解析：如图，过小直角三角形的直角顶点作AO ，BO 的平行线，则小直角三角形与AO 平行的边的长度和等于AO ，与BO 平行的边的长度和等于BO .因此小直角三角形的周长等于直角△AOB 的周长．故这n 个小直角三角形的周长为100.
13．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，EF ＝BC ＝3cm.∵AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－2
2
＝3(cm)．
(2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．。