江苏省无锡市宜兴职业高级中学2021年高三数学理测试题含解析

江苏省无锡市宜兴职业高级中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是()
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
2. 若，则“＝3”是“2＝9”的（）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
参考答案：
A
3. 阅读右面的程序框图，则输出的S=
A 14
B 20
C 30
D 55
参考答案：
C
解析：当时， S=1;当i=2时， S=5;循环下去，当i=3时， S=14；当i=4
时,S=30；
4. 已知函数对任意，有，且当时，
，则函数的大致图象为（）
参考答案：5. 给出下列四个结论：
①“”是“”的充要条件;
②命题“若m >0，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；
③函数只有1个零点。

其中正确结论的个数为( )
A．1 B.2 C．3 D．4
参考答案：
C
6. 设，则 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。

那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
参考答案：
A
本题考查了轨迹的识别，体现了动态数学的特点。

立意清新，难度较大。

根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。

8. 已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）
A．（，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，）
参考答案：
A
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组
求的结果．
【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），
所以：f（﹣x）=﹣f（x）
设f（x）的导函数为f′（x），
当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），
则：xf′（x）+f（x）＜0
即：′＜0
所以：函数F（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数．
由于f（x）为奇函数，
令F（x）=xf（x），
则：F（x）为偶函数．
所以函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
则：满足F（3）＞F（2x﹣1）满足的条件是：
解得：
所以x的范围是：（）
故选：A
9. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（）
A. B. C. D.参考答案：
A
10. 某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是,则（）
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{a n}满足对，都有成立，，函数
，记，则数列{y n}的前13项和为______．
参考答案：
26
【分析】
由题意可得，为常数，可得数列为等差数列，求得的图象关于点对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和．
【详解】解：对，都有成立，
可令即有，为常数，
可得数列为等差数列，
函数，
由，
可得的图象关于点对称，
，
，
可得数列的前项和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=4a3，a9=﹣6，则a7= ．
参考答案：
﹣2
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．
分析：通过S8=4a3、a9=﹣6，计算即得结论．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
则由S8=4a3，可得：8a1+=4（a1+2d），
化简得：a1+5d=0，
又∵a9=﹣6，∴a1+8d=﹣6，
∴a1=10，d=﹣2，
∴a7=a1+6d=10﹣12=﹣2，
故答案为：﹣2．
点评：本题考查求等差数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．
13. 在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，F在边BC上，若?=2，则?= ．参考答案：
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：以AB 所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立直角坐标系，可得A、B、C、D、E点的坐标，设 F （2，b），由?=2，故b的值，可得F的坐标，从而求得?的值．
解答：解：如图所示：以AB 所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
则由题意可得A （0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2）、E（1，2），
设 F （2，b）．
由于?=（0，2）?（2，b）=2b=2，故b=1，故F（2，1），=（﹣1，2），
则
?
=（2，1）?（﹣1，2）=﹣2+2=0，
故答案为：0．
点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．
14. 若
，则的值为
________________________.
参考答案：
15. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）
为D ，点P(x ，y)为D 内的一个动点，则目标函数z=x-2y 的最小值为______．
参考答案：
16. 已知函数，若方程f （x ）=t 恰有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围
是
．
参考答案：
（0，2）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意，画出已知函数的图象，结合图象找出满足与y=t 有三个交点的t 的范围．
【解答】解：已知函数的图象如图：方程f （x ）=t 恰有3个不同的实数根， 则圆锥函数图象与y=t 有三个交点，由图象可知，当t ∈（0，2）满足题意；
故答案为：（0，2）
17. 给出下列四个命题:
①函数在区间上存在零点;
②或
是
的必要不充分条件
③在中,
,则
④已知函数
的定义域为
,存在
,使得对于任意的
都有
成
立.其中正确命题的序号是 .
参考答案：
①②③
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知双曲线
的焦点是椭圆C ：
（
）的顶点，F 1为椭圆C 的左焦点
且椭圆C 经过点
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右顶点A作斜率为k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1并延长BF1交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．
参考答案：
解：（1）由已知得
所以的方程为．
（2）由已知结合（1）得，，，
所以设直线：，联立：，得，得，
（），
当且仅当，即时，的面积取得最大值，
所以，此时，
所以直线：，联立，解得，
所以，点到直线：的距离为，
所以．
19. （本小题满分12分）在中，三个内角的对边分别为，
.
（1）求的值；
（2）设，求的面积.
参考答案：
见解析
【知识点】正弦定理
解：（1），．
．
又是的内角，．
，
又是的内角，，
．．
（2），．
的面积
20. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若，求函数f（x）的值域．
参考答案：
(1) (2) [﹣1，2]．
【分析】
（1）由图象求出函数的振幅A，周期，确定ω，利用图象经过确定φ，得到函数的解析式；
（2）根据，得到，可得函数的值域．
【详解】（1）由图可知A＝2，
，由∴f（x）＝2sin（2x+），又点在图象上，
∴，∴，∴
∴
（2）∵，∴
∴函数f（x）的值域为[﹣1，2]．
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的解析式的求法，考查计算能力，常考题型．
21. 某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD 上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；
（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．
参考答案：
【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；
（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，
所以，…（2分）
取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，
即=，
解得，…（6分）
所以（km）．
故灌溉水管EF的长度为km．…（8分）
（2）设DE=a，DF=b，在△ABC中，，
所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，
所以∠ADC=60°，
所以△DEF的面积为，
又，所以，即ab=3．…（12分）
在△ADC中，由余弦定理，得，
当且仅当时，取“=”．
故灌溉水管EF的最短长度为km．…（16分）
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．
22. 已知函数，其图象过点；
（1）求的值；
（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值。

参考答案：
解（1）
4分
（2）
6分
8分。