(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第二章7第七节对数与对数函数精练

第七节 对数与对数函数
课时作业练
1.函数f(x)=√1-lg x 的定义域为 . 答案 (0,10]
解析 要使函数f(x)=√1-lg x 有意义,则{x >0,1-lg x ≥0,即{x >0,
lg x ≤1,
解得0<x≤10,故其定义域为(0,10].
2.(2019江苏泰州模拟)函数f(x)=lo g 12
(x 2
-4)的单调增区间是 .
答案 (-∞,-2)
3.已知函数f(x)=ln 1+xx
1-3x 为奇函数,则实数a 的值为 . 答案 ±3
解析 由f(x)是奇函数可得f(-x)+ f(x)=ln (
1-xx 1+3x
·
1+xx 1-3x
)=0,解得a=±3.
4.(2017江苏扬州中学阶段性测试)函数y=2log a (x-2)+3(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点的坐标为 . 答案 (3,3)
5.已知a=log 36,b=log 510,c=log 714,则a,b,c 的大小关系为 .(用“>”连接) 答案 a>b>c
解析 a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数的性质知log 32>log 52>log 72,所以a>b>c. 6.(2018江苏无锡调研)函数f(x)=lg
1|x +1|
的大致图象为 .(填序号)
答案 ④ 解析 f(x)=lg 1
|x +1|
=-lg|x+1|的图象可由偶函数y=-lg|x|的图象向左平移1个单位得到.由y=-lg|x|的图象
可知④正确.
7.(2018江苏泰州中学月考)如图,矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y=lo g √22
x,y=x
12
,y=(√22)
x
的图象
上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为 .
答案 (1
2,1
4)
解析 由2=lo g √22
x 得A 点的横坐标是12,即A (1
2,2),由x 1
2=2得B 点的横坐标是4,即B(4,2),则点C 的横坐标是
4,纵坐标
y=(√2
2)4=14,故点
D 的坐标为(12,1
4).
8.(2018常州教育学会学业水平检测)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,若f(1)=0,则不等式f(ln x)<0的解集为 . 答案 (1
e ,e )
解析 由偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式 f(ln x)<0⇔ f(|ln x|)< f(1)⇔|ln x|<1则-1<ln x<1⇒1e <x<e,故原不等式的解集为(1
e ,e ).
9.(2019江苏宿迁模拟)已知函数y=lo g 12
(x 2
-ax+a)在区间(-∞,√2]上是单调增函数,则实数a 的取值范围
是 . 答案 [2√2,2√2+2)
解析 令t=x 2
-ax+a,由题意知t=x 2
-ax+a 在区间(-∞,√2]上是单调减函数,且t=x 2
-ax+a>0在区间(-∞,√2]上恒成立,则{x
2≥√2,
2-√2a +a >0,解得2√2≤a<2√2+2.
10.(2018盐城模拟)若∃x∈R,a 3x-4
≥2x
2-x
(a>0,且a≠1)成立,则实数a 的取值范围
是 . 答案 (0,1)∪(1,√29
]∪[2,+∞) 解析 由a
3x-4
≥2x
2-x
得log 2a
3x-4
≥log 22x
2-x
,所以(3x-4)log 2a≥x 2
-x,
当3x-4=0,即x=43时,(3x-4)log 2a≥x 2
-x 不成立,故舍去. 当3x-4>0,即x>4
3时,log 2a≥x 2-x
3x -4,令t=3x-4,t>0, 则x 2-x 3x -4=1
9(x +4
x +5)≥1(当且仅当t=2时取等号), 所以log 2a≥1,解得a≥2.
当3x-4<0,即x<43时,令t=3x-4,t<0,易得log 2a≤1
9,结合a>0,且a≠1得0<a<1或1<a≤√29
. 综上,a 的取值范围是(0,1)∪(1,√29
]∪[2,+∞).
11.(2018江苏兴化中学第一学期期中)已知实数a>0,且满足不等式33a+2
>3
4a+1
.
(1)解不等式:log a (3x+2)<log a (8-5x);
(2)若函数f(x)=log a (x+2)-log a (x-1)在区间[2,4]上有最小值-1,求实数a 的值. 解析 (1)由题意得 3a+2>4a+1,∴0<a<1,
∴{3x +2>8-5x ,
3x +2>0,8-5x >0,
解得x∈(34,8
5). (2)f(x)=log a (x+2)-log a (x-1)=log a x +2x -1=log a (1+3x -1),令t=1+3
x -1,当x∈[2,4]时,
3
x -1
∈[1,3],∴t=1+
3
x -1
∈[2,4].∵0<a<1,∴y=log a t 在定义域内递减,∴f(x)min =log a 4=-1,∴a=1
4
.
12.(2019盐城中学模拟)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x). (1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性; (2)记函数g(x)=10
f(x)
+3x,求函数g(x)的值域;
(3)若不等式f(x)>m 有解,求实数m 的取值范围. 解析 (1)∵函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x), ∴{2+x >0,2-x >0,解得-2<x<2. ∴函数f(x)的定义域为(-2,2). ∵f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x), ∴f(x)是偶函数.
(2)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x 2
). ∵g(x)=10
f(x)
+3x,
∴g(x)=-x 2
+3x+4=-(x -32)2+25
4(-2<x<2),
∴g(x)max =g (3
2)=25
4,g(x)min =g(-2)=-6.
∴函数g(x)的值域是(-6,25
4].
(3)∵不等式f(x)>m 有解,∴m<f(x)max , 令t=4-x 2
,由于-2<x<2,∴0<t≤4, ∴m<lg 4.
∴实数m 的取值范围是{m|m<lg 4}. 13.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x.
(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;
(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x 2
)·f(√x )>k·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2
+2. 因为x∈[1,4],所以log 2x∈[0,2], 故函数h(x)的值域为[0,2]. (2)由f(x 2
)·f(√x )>k·g(x)得
(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x.
令t=log2x,因为x∈[1,4],
所以t=log2x∈[0,2],
所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立.当t=0时,k∈R;
当t∈(0,2]时,k<(3-4x)(3-x)
x
恒成立,
即k<4t+9
x
-15恒成立,
因为4t+9
x
≥12,
当且仅当4t=9
x ,即t=3
2
时取等号,
所以4t+9
x
-15的最小值为-3,则k<-3.
综上,k∈(-∞,-3).
基础滚动练
(滚动循环夯实基础)
1.(2018宿迁第一学期期末)函数f(x)=lg(x-2)+√3-x的定义域为.
答案(2,3]
2.不等式2x2-x<4的解集为.
答案{x|-1<x<2}
解析不等式2x2-x<4可转化为2x2-x<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.
3. (2018江苏苏州中学第一学期月考)已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值
为.
答案0或1或-1
解析由A∪B=A得B⊆A.当m=0时,B=⌀,符合题意;当m≠0时,1
x
=1或-1,所以m=1或-1,综上,m=0或1或-1.
4.(2019江苏泰兴第一高级中学高三模拟)已知a>0且a≠1,函数y=log a(√2x-1)+2的图象恒过定点P,若P在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .
答案9
解析由题意知定点P的坐标为(√2,2),设f(x)=xα,则2=(√2)α, α=2,即f(x)=x2,∴f(3)=32=9.
5.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(-π),f(3), f(-4)由小到大的顺序
是.
答案 f(3)< f(-π)< f(-4)
解析 因为f(x)是偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(3)< f(π)< f(4),即f(3)< f(-π)< f(-4).
6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x
>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则命题:①p∧q;②(¬p)∧(¬q);③(¬p)∨q;④p∧(¬q)中为真命题的是 .(只填序号) 答案 ④
解析 由指数函数的图象可知命题p 是真命题,所以¬p 是假命题;“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,所以命题q 是假命题,所以¬q 是真命题.所以p∧q、(¬p)∧(¬q)和(¬p)∨q 都是假命题,p∧(¬q)是真命题,故真命题的序号是④.
7.(2018江苏泰兴第一高级中学期中)函数y=x 2
-3x-4的定义域为[0,m],值域是[-254
,-4],则实数m 的取值范围
是 . 答案 [3
2,3]
解析 作出二次函数的图象(图略),结合函数图象可知3
2≤m≤3. 8.计算:(1)2log 23-log 263
8+log 27-7log 72; (2)e
ln 2
+81
3+lg 20-lg 2;
(3)(lg 2)2
+(lg 5)2
+2lg 2·lg 5+log 89·log 2732+πlog π2+(338
)-2
3
.
解析 (1)原式=log 29-log 2638+log 27-2 =log 2(9×8
63×7)-2 =3-2=1. (2)原式=2+2+lg 10=5.
(3)原式=(lg 2+lg 5)2
+lg9lg8·lg32
lg27+2+(278)-2
3
=1+2lg3
3lg2·5lg2
3lg3+2+(32)-2
=3+109+49=41
9.。