2016秋数学人教B版1练习：第14课时 函数奇偶性的概念 含解析

第14课时 函数奇偶性的概念
课时目标
1。

掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．
2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．
识记强化
1．奇（偶)函数的概念．
（1)一般地,如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x )，那么函数f （x ）就叫做偶函数．
(2）一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f （－x )＝－f (x )，那么函数f （x )就叫做奇函数．
（3）如果函数f （x )是奇函数或偶函数，就说f （x ）具有奇偶性．
2．奇（偶）函数的图象特点．
（1）奇函数的图象关于原点对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．
（2)偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
（3）若当x ＝0时奇函数f （x ）有意义,则f (0）＝0。

课时作业
(时间:45分钟，满分：90分)
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列说法错误的个数为（ ）
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y 轴对称的函数是偶函数;
③奇函数的图象一定过坐标原点;
④偶函数的图象一定与y 轴相交．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
答案：C
解析:由奇、偶函数的性质,知①②说法正确；对于③，如f (x )＝1x
，x ∈（－∞,0）∪（0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f （x ）＝错误!,x ∈（－∞，0）∪(0,＋∞），它是偶函数，但它的图象不与y 轴相交，所以④说法错误．故选
C.
2．函数f （x ）＝错误!－x 的图象关于( ）
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
答案：C
解析：∵f （x ）＝错误!－x 是奇函数，∴f （x )的图象关于原点对称，故选C.
3．奇函数f (x ）的定义域为R ,则有（ ）
A ．f （x ）＜f (－x )
B ．f (x ）≤f (－x ）
C．f(x）·f（－x)≤0 D．f（x)·f（－x）＞0
答案：C
解析：f（x）为奇函数，f（x)f（－x）＝f（x）[－f（x）]＝－[f(x）］2≤0.
4．下列函数不具备奇偶性的是（）
A．y＝－x B．y＝－错误!
C．y＝错误!D．y＝x2＋2
答案:C
解析：y＝－x与y＝－错误!都是奇函数,y＝x2＋2是偶函数,y＝错误!的定义域为｛x∈R｜x≠－1}，不关于原点对称，故选C.
5．函数f(x）＝ax2＋bx＋2a－b是定义在[a－1,2a］上的偶函数，则a＋b＝（）A．－错误! B.错误!
C．0 D．1
答案：B
解析:由偶函数的定义，知［a－1，2a]关于原点对称，所以2a＝1－a，解得a＝错误!。

又f（x)为偶函数，则b＝0。

所以a＋b＝错误!.
6．已知函数f(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）是偶函数,那么g（x)＝ax3＋bx2＋cx是（）A．奇函数B．偶函数
C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
答案：A
解析：由f（x）为偶函数,得b＝0，则g（x)＝ax3＋cx（a≠0)为奇函数．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
7．函数f（x)＝ax2＋bx＋3x＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a］，则2a＋3b＝________.
答案：－错误!
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以(a－1）＋2a＝0，所以a＝错误!。

因为偶函数的图象关于y轴对称，
所以－错误!＝0，所以b＝－3.
故2a＋3b＝－错误!.
8．设奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5］时，f（x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案：（－2,0）∪（2,5]
解析:由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x）在［－5,0）的图象,由图象可以看出，不等式f（x）＜0的解集是（－2，0）∪（2，5]，如图所示．本题主要考查函数的奇偶性及数形结合的思想方法．
9．已知f(x)、g（x）是R上的奇函数，若F（x)＝af(x）＋bg（x）＋2在区间（0,＋∞)上的最大值为5，则F（x）在(－∞，0）上的最小值为________．
答案：－1
解析：奇偶性的应用，由图象特征知在某一区间存在最值，则其关于原点对称的区间也存在最值．
设x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞）．
∵f(x)、g(x)是R上的奇函数，
∴F（－x）＝af(－x）＋bg(－x)＋2＝－af（x)－bg(x)＋2＝
－[af(x）＋bg（x)]＋2.
又∵F（x)＝af（x）＋bg(x）＋2在区间（0，＋∞）上的最大值为5，
∴F（－x）＝af（－x)＋bg(－x)＋2＝－［af(x）＋bg（x）]＋2≤5.
∴af(x）＋bg（x)≥－3。

∴af（x）＋bg（x）＋2≥－1.
则F(x）在(－∞,0)上的最小值为－1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．（12分)判断下列函数的奇偶性:
（1)f(x)＝｜x－1｜－｜x＋1｜；
（2）f（x)＝错误!.
解：（1）函数f（x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
因为f（－x）＝|－x－1｜－｜－x＋1｜＝｜x＋1|－|x－1｜＝－f（x）,所以f(x）为奇函数．
(2)函数f（x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
当x＜－1时，－x＞1，f（－x）＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x）；
当|x|≤1时，|－x｜≤1,f(－x)＝0＝f(x）；
当x＞1时，－x＜－1，f(－x)＝（－x）＋2＝－x＋2＝f(x)．
所以对一切x∈R，都有f（－x)＝f(x），即函数f（x)是偶函数．
11．(13分）已知函数f(x）＝(a－b）2x3－（a2－b2）x2＋（a－b)x－(a＋b)2.试问：当a、b满足什么条件时，f（x)是奇函数或偶函数．
解:①当f（x)是奇函数时，有f（－x)＝－f(x），即
－(a－b）2x3－（a2－b2)x2－（a－b）x－（a＋b）2＝－（a－b）2x3＋（a2－b2)x2－（a －b）x＋（a＋b)2，也就是(a2－b2）x2＋(a＋b）2＝0对一切实数x恒成立．错误!解得a＋b＝0。

②当f(x)是偶函数时，类似可求得a－b＝0.
能力提升
12．（5分)已知函数f（x)为奇函数，g（x)＝f(x）＋3，g(－7）＝10,则g（7)＝() A．4 B．－4
C．7 D．－7
答案：B
解析：g（－7)＝f(－7）＋3＝10，∴f(－7)＝7,f（x）为奇函数，f(7）＝－f（－7）＝－7，∴g(7)＝f（7)＋3＝（－7）＋3＝－4.
13．（15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x）＝x2－2x.求满足f（x－1）<3的x取值范围．
解:∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数
x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去）即f(3)＝3。

∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f(｜x|）结合图象f（x－1）<3，f（｜x－1|)〈f（3）∴|x－1|<3，－2<x<4。