六年级奥林匹克数学十一 不定方程(一)

十一、不定方程（一）
1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .
2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答.
是自然数,••=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是 .
4.不定方程172112=+y x 的整数解是 .
5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .
6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是12
7,那么a+b 的最小值等于 .
只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.
8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.
9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了
页.
10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的5
1必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.
11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只
12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电
13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.
14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少并在这种情况下求出第二堆的石头块数.
十一、不定方程（一）(答案）
第[1]道题答案：
1998.
提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.
第[2]道题答案：
1.
设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:
10047=-y x ①
所以 74100y x +=≥7
2147100=. 又 x +y ≤20 ②
所以 x ≤20-y ≤20,
故 7
214≤x ≤20. 又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20.
当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.
因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.
第[3]道题答案：
750.
根据题意,
999
25100810+=a x ,整理得, 37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除,
推知a=9,因此7502530=⨯=x .
第[4]道题答案：
没有整数解.
4若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.
第[5]道题答案：
1975. 设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997
整理得:87211=+b a
所以 11
287b a -=
由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b - ≤111071187=,即1136≤a ≤11107. 故a =7,从而b =5,他出生于1975年.
第[6]道题答案：
24.
依题意,有12
74328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )
即 12a +35=7b ①
显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .
由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17.
所以, a +b 的最小值是7+17=24.
第[7]道题答案：
14.
设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:
⎩⎨⎧=+=+2984026
3ny x y x ①×40-②,得()742120=-y n ,即
5372)120(⨯⨯=-y n ③
由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n ,
所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.
第[8]道题答案：
32.
设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到
13 x -7=10 y -5.
因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.
为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).
第[9]道题答案：
84.
设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为:
a ,
b , a+b , a+2b , 2a+3b .
上面各个数的和是200,得到
5a +7b =200.
因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解: b =20, a =12; b =25, a =5.
将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.
第[10]道题答案：
15.
以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有
338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x ,
①
②
891115=+y x .
易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).
第[11]道题答案：
设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100
1003135z y x z y x
3×①-②整理得 10047=+y x .
又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x .
又74100y x -=≤7
2147100=. 所以x=4,8或12.
x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.
即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.
第[12]道题答案：
因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33. 容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.
第[13]道题答案：
设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了y ×100分.由共花钱数可列方程
()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x
整理得 54)5(=-y x
因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:
因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.
第[14]道题答案：
设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:
⎩⎨⎧-=++=-)
(6100)100(2z y z x y x 由①得 1002-=x y .
① ② ① ②
代入②整理得 1800711=-z x .
所以 11
)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,
当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.。