《解析》湖北省襄阳市枣阳七中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析

2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳七中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）
A．[1，2） B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]
2．已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜
C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜
3．满足条件M∪{1}={1，2}的集合M的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数f（x）=1﹣xlog2x的零点所在区间是（）
A． B． C．（1，2） D．（2，3）
5．已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）
A．φB．{0，2}C．{1，5}D．{2，0，1，5}
6．已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁U A）∩B=（）
A．{x|﹣1≤x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞3}
7．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合（∁U A）∩B=（）
A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}
8．已知f（x）的定义域为x∈R且x≠1，已知f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f （x）=2x2﹣x+1，那么，当x＞1时，f（x）的递减区间是（）
A． B． C． D．
9．函数y=lg|x|（）
A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增
B．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减
C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增
D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减
10．若[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2，[﹣4.1]=﹣5，已知f（x）=x
﹣[x]（x∈R），g（x）=log2015x，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013
11．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）
A．[，）B．（0，）C．（0，）D．[，）
12．若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x 的解的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．若x1，x2是函数f（x）=x2+mx﹣2（m∈R）的两个零点，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值是．
14．若函数f（x）=log2|ax﹣1|的图象的对称轴为x=2，则非零实数a的值是．15．已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．
16．如果对于函数f（x）的定义域内任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）且存在两个不相等的自变量m1，m2，使得f（m1）=f（m2），则称f（x）为定义域上的不严格的增函数．已知函数g（x）的定义域、值域分别为A，B，A={1，2，3}，B⊆A且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的函数g（x）共有个．
三、解答题（本大题共6个小题，满分58分）
17．计算下列各式：
（Ⅰ）lg5•lg20+（lg2）2
（Ⅱ）0.027﹣﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣+（）0．
18．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R 均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19．设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），≤x≤9．
（Ⅰ）若m=log3x，求m取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．
20．f（x）=log a x，g（x）=2log a（2x+t﹣2），（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当时，F（x）=g（x）﹣f（x）的最小值是﹣2，求a的值；
（2）当时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
21．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m
（1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．
2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳七中高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）
A．[1，2） B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]
【考点】交集及其运算．
【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．
【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），
N={x|1≤x≤3}=[1，3]，
∴M∩N=[1，2）
故选A
2．已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜
C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜
【考点】并集及其运算．
【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，
则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}．
故选A
3．满足条件M∪{1}={1，2}的集合M的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】并集及其运算．
【分析】由题意M∪{1}={1，2}，得到集合M与{1，2}的关系，通过它们的包
含关系得到M的个数．
【解答】解：由M∪{1}={1，2}易知：
集合M是集合{1，2}包含元素2的子集，
而集合{1，2}的包含元素2子集有{2}，{1，2}两个．
故选B．
4．函数f（x）=1﹣xlog2x的零点所在区间是（）
A． B． C．（1，2） D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由函数的解析式可得f（1）＞0，f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=1﹣xlog2x的零点所在区间．
【解答】解：∵函数f（x）=1﹣xlog2x，f（1）=1﹣0=1＞0，f（2）=1﹣2=﹣1＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=1﹣xlog2x的零点所在区间是（1，2），故选C．
5．已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）
A．φB．{0，2}C．{1，5}D．{2，0，1，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据集合的补集的定义求出A的补集即可．
【解答】解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，
∴∁U A={1，5}，
故选：C．
6．已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁U A）∩B=（）
A．{x|﹣1≤x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞3}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先对两个集合进行化简，再根据集合运算的性质求集合（C U A）∩B 【解答】解：A={x|x+1＜0}=（﹣∞，﹣1），B={x|x﹣3＜0}=（﹣∞，3），
∴C U A=[﹣1，+∞）
∴（C U A）∩B=[﹣1，3）
故选A
7．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合（∁U A）∩B=（）
A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，
则∁U A={x|﹣1≤x≤3}，
又B={x|2＜x＜4}，
则B∩（∁U A）={x|2＜x≤3}，
故选：B．
8．已知f（x）的定义域为x∈R且x≠1，已知f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f （x）=2x2﹣x+1，那么，当x＞1时，f（x）的递减区间是（）
A． B． C． D．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】由f（x+1）为奇函数，利用换元法得f（x）=﹣f（2﹣x），再设x＞1，则2﹣x＜1，代入解析式求出f（2﹣x），由关系式求出f（x），根据二次函数的单调性求出它的减区间．
【解答】解：由题意知，f（x+1）为奇函数，则f（﹣x+1）=﹣f（x+1），
令t=﹣x+1，则x=1﹣t，故f（t）=﹣f（2﹣t），即f（x）=﹣f（2﹣x），
设x＞1，则2﹣x＜1，
∵当x＜1时，f（x）=2x2﹣x+1，
∴f（2﹣x）=2（2﹣x）2﹣（2﹣x）+1=2x2﹣7x+7，
∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣2x2+7x﹣7，
∴函数的对称轴x=
故所求的减区间是．
故选C．
9．函数y=lg|x|（）
A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增
B．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减
C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增
D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减
【考点】对数函数的单调区间；函数奇偶性的判断．
【分析】先求出函数的定义域，然后根据奇偶性的定义进行判定，最后根据复合函数单调性的判定方法进行判定即可．
【解答】解：函数y=lg|x|定义域为{x|x≠0}，
而lg|﹣x|=lg|x|，所以该函数为偶函数，
|x|在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴函数y=lg|x|在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
故选B
10．若[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2，[﹣4.1]=﹣5，已知f（x）=x ﹣[x]（x∈R），g（x）=log2015x，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】作函数f（x）=x﹣[x]（x∈R）与g（x）=log2015x的图象，从而化函数h （x）=f（x）﹣g（x）的零点个数为图象的交点的个数．
【解答】解：作函数f（x）=x﹣[x]（x∈R）与g（x）=log2015x的图象如下，
，
由图象可知，
函数f（x）与g（x）的图象在每个区间[n，n+1]（1≤n＜2014）都有一个交点，故函数f（x）与g（x）的图象共有2014﹣1=2013，
故选D．
11．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）
A．[，）B．（0，）C．（0，）D．[，）
【考点】函数的图象；分段函数的应用．
【分析】将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．
【解答】解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，
故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．
由于函数f（x）=，则其图象如图所示，
从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，
因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，
∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，
设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，
又（t，s）满足：，解得t=e，
∴斜率k=a==，
故选：A．
12．若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x 的解的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．【解答】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，
∴a，b分别为函数y=4﹣x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标
由于y=x与y=4﹣x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称
∴a+b=4
∴函数f（x）=
当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，
∴x=﹣2或x=﹣1，满足题意
当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意
∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3
故选C．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．若x1，x2是函数f（x）=x2+mx﹣2（m∈R）的两个零点，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值是2．
【考点】函数的零点．
【分析】x1，x2是函数f（x）=x2+mx﹣2（m∈R）的两个零点即x1，x2是x2+mx ﹣2=0的两个零点，从而求最值．
【解答】解：∵x1，x2是函数f（x）=x2+mx﹣2（m∈R）的两个零点，
∴x1，x2是x2+mx﹣2=0的两个零点，
∴x1+x2=﹣m；x1x2=﹣2；
故x2﹣x1==≥2；
故答案为：2．
14．若函数f（x）=log2|ax﹣1|的图象的对称轴为x=2，则非零实数a的值是．【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】先求出函数y=log2|ax﹣1|图象的对称轴方程，再列出关于a的方程解之，从而求出a值即可．
【解答】解：∵函数f（x）=log2|ax﹣1|=log2|a（x﹣）|
∴函数的对称轴为x=
∵函数f（x）=log2|ax﹣1|的图象的对称轴为x=2，
∴=2
∴a=
故答案为：
15．已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．
【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围
【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数
由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数
所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1
故答案为（﹣∞，1]
16．如果对于函数f（x）的定义域内任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）且存在两个不相等的自变量m1，m2，使得f（m1）=f（m2），则称f（x）为定义域上的不严格的增函数．已知函数g（x）的定义域、值域分别为A，B，A={1，2，3}，B⊆A且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的函数g（x）共有9个．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据本题所给的定义，以及函数的定义对所给的函数进行讨论，解决此题要分三类，三对一的对应，二对一的对应，一对一的对应三种来研究，进而得到答案．
【解答】解：由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种．
若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；{1，2}对1，3对3，共有两种；
1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，共有一种．
若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种．
综上，这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种，
故答案为9．
三、解答题（本大题共6个小题，满分58分）
17．计算下列各式：
（Ⅰ）lg5•lg20+（lg2）2
（Ⅱ）0.027﹣﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣+（）0．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出；
（2）利用指数幂的运算法则即可得出．
【解答】解（Ⅰ）原式=（1﹣lg2）（1+lg2）+lg22
=1﹣lg22+lg22
=1．
（Ⅱ）原式=﹣+﹣+1
=﹣+64﹣+1
=67．
18．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R 均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；
（2）若g（a）﹣m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求阳其最值可得答案．
【解答】解：（1）对称轴x=﹣a
①当﹣a≤0⇒a≥0时，
f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=﹣a﹣1…
②当﹣a≥2⇒a≤﹣2时，
f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…
③当0＜﹣a＜2⇒﹣2＜a＜0时，
f（x）在[0，2]上是不单调，x=﹣a时有最小值f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1…
∴…
（2）存在，
由题知g（a）在是增函数，在是减函数
∴时，，…
g（a）﹣m≤0恒成立
⇒g（a）max≤m，
∴…，
∵m为整数，
∴m的最小值为0…
19．设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），≤x≤9．
（Ⅰ）若m=log3x，求m取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．
【考点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．
【分析】（Ⅰ）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求m得取值范围；
（Ⅱ）把f（x）=log3（9x）•log3（3x）利用对数式的运算性质化为含有m的二次函数，然后利用配方法求函数f（x）的最值，并由此求出最值时对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，m=log3x为增函数，
∴﹣2≤log3x≤2，即m取值范围是[﹣2，2]；
（Ⅱ）由m=log3x得：f（x）=log3（9x）•log3（3x）
=（2+log3x）•（1+log3x）
=，
又﹣2≤m≤2，∴当，即时f（x）取得最小值，
当m=log3x=2，即x=9时f（x）取得最大值12．
20．f（x）=log a x，g（x）=2log a（2x+t﹣2），（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当时，F（x）=g（x）﹣f（x）的最小值是﹣2，求a的值；
（2）当时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）将t=4代入函数解析式，对F（x）化简，得，利用对勾函数在相应区间上的单调性求得其最值，需要对a进行讨论；
（2）将不等式转化，利用单调性，将不等式转化为x≤（2x+t﹣2）2，，转化为最值来处理即可求得结果．
【解答】解：（1）∵当t=4，时，
F（x）=g（x）﹣f（x）==，
又h（x）=在上为减函数，在[1，2]上为增函数，且，
∴
∴当a＞1时，F（x）min=log a16，由log a16=﹣2，解得（舍去）；
当0＜a＜1时，F（x）min=log a25，由log a25=﹣2解得，
所以
（2）f（x）≥g（x），即log a x≥2log a（2x+t﹣2），
∴log a x≥log a（2x+t﹣2）2，
∵，
∴x≤（2x+t﹣2）2，
∴，
∴，
∴，依题意有
而函数
因为，y max=2，
所以t≥2．
21．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m
（1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的零点．
【分析】（1）直接把a=﹣3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；
（2）求出函数f（x）的对称轴，得到f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，由函数在区间[﹣1，1]上存在零点得不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围；（3）把对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立转化为函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．
【解答】解：（1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0化为x2﹣4x﹣5=0，解得：x=﹣1或x=5；
（2）∵函数f（x）=x2﹣4x+a+3的对称轴是x=2，
∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，
∵函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：
，即，解得﹣8≤a≤0．
故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]；
（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，
只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，
下面求g（x）=mx+5﹣2m的值域．
①当m=0时，g（x）=5﹣2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]⊆[5﹣m，5+2m]，需，解得m≥6；
③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]⊆[5+2m，5﹣m]，需，解得m≤﹣3．
综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．
2017年1月15日。