中考专题黄金分割
九年级比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项. 4．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 5．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：nn b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶d 2 B. a ∶d=c ∶bC. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
中考数学专题复习：黄金分割比例
中考数学专题复习：黄金分割比例1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB＝2，则CD的长为（）A．﹣1B．3﹣C．+1D．3+2．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．则下列各式中不正确的是（）A．AC＝AB B．BC＝ABC．AB＝AC D．AB：AC＝AC：BC3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB 的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（）A．B．C．D．4．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（）A．B．C．+1D．﹣15．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，那么线段AP的长度等于（）A．B．C．D．6．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（）A．AB：BC B．BC：AC C．BC：AB D．AC：BC7．已知点C是AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则AC等于（）A．B．C．D．8．古希腊人认为，最美人体是肚脐至足底的长度之比与人体身高之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm，则此人身高大约为（）A．160cm B．170cm C．180cm D．190cm9．舞台纵深为8米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（）A．2.5米B．2.9米C．3.0米D．3.1米10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）若在图2中画2条线段，图中有个等腰三角形，分别是（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．11．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．12．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是．13．已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝cm．14．已知点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝4，则AC＝．15．点P是线段AB上的一点，如果AP2＝BP•AB，那么的值是．16．如图，C是靠近点B的黄金分割点，若AB＝10cm，则AC＝cm．（结果保留根号）17．一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为8米，那么，主持人到较近的一侧应为米．18．已知在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，D是BC上一点，满足AD＝CD，则＝．19．点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝20cm，则BC＝cm．20．在基础数学领域，我们把含有36°角的等腰三角形称为“黄金三角形”，如图，△ABC 是顶角为36°的等腰三角形．BD是∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E．（1）写出图中所有“黄金三角形”，并写出你的依据；（2）求出（1）中写出的所有“黄金三角形”的腰与底边的比值；21．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．22．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．23．我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠B＝36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．24．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕C，G．试说明：G是AB的黄金分割点．25．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b ≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．26．如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．参考答案1．解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，由题意得：BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴AD＝BD＝BC，△BCD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴点D是AC的黄金分割点，AD＞CD，∴AD＝AC＝﹣1，∴CD＝AC﹣AD＝3﹣，故选：B．2．解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，AB：AC＝AC：BC，∴AB＝AC，BC＝AB﹣AC＝AB，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；故选：A．3．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，故选：D．4．解：∵点B把线段AC分成两部分，＝＝k，∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，∴k＝，故选：B．5．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，∴AP＝AB＝﹣1，故选：B．6．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴若AC为较长线段，则AC：AB＝BC：AC＝；若BC为较长线段，则BC：AB＝AC：BC＝；故选：A．7．解：∵线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故选：C．8．解：设此人身高为xcm，∵某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm，∴≈0.618，解得：x≈170，即此人身高大约为170cm，故选：B．9．解：∵主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，∴离舞台前沿较近的距离为：×8＝12﹣4≈3.1（米），故选：D．10．解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形．故答案为2n，n11．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．12．解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．13．解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，∴BP＝2×＝（﹣1）cm．故答案为：（﹣1）．14．解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，∴AC＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：∵点P是线段AB上的一点，AP2＝BP•AB，∴＝，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴AP＝AB，∴＝，故答案为：．16．解：∵C是靠近点B的黄金分割点，AB＝10cm，∴AC＞BC，AC＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）．17．解：由黄金分割的定义得：当主持人站在黄金分割点处时，舞台的长度为8米，主持人到较近的一侧应为×8＝（12﹣4）米，故答案为：（12﹣4）．18．解：∵∠B＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠BAC＝180°﹣2×36°＝108°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，△ABC∽△DCA，∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，＝，∴AB＝BD，∴＝，∴D是线段BC的黄金分割点，∴＝＝，故答案为：．19．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AB＝20cm，∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）cm，故答案为：（10﹣10）．20．解：（1）图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个，理由如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠BDE＝36°，∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠ACB，∴∠A＝∠ABD，∠BDE＝∠ABD＝72°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AD＝BD，BE＝ED，AE＝AD，∴△ABD，△BDE，△AED是等腰三角形；∵∠BDC＝2∠A＝72°，∴∠BDC＝∠BCD，∴△BCD是等腰三角形，∴图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个；（2）设BC＝a，CD＝b，则BD＝AD＝AE＝a，ED＝EB＝b，∵∠ABC＝∠C，∠A＝∠CBD，∴△ABC∽△BCD，∴AB：BC＝BC：CD，即（a+b）：a＝a：b，解得：，（舍去），∴，，∴黄金三角形△ABC，△AED，△BCD的腰与底边的比值为，∴黄金三角形△ABD，△BDE的腰与底边的比值为，21．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，∴AB＝×AC＝﹣1，∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．22．解：（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BDC是黄金三角形．23．解：①在线段BC上截取BD＝BA，连接AD，如图1所示：则△ABD即为所求，理由如下：∵BD＝BA，∠B＝36°，∴△ABD为黄金三角形；②在∠BAC的内部作∠CAD＝∠C，交BC于点D，如图2所示：则△ABD即为所求，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠CAD＝∠C＝36°，∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝72°，∴∠ADB＝∠BAD，∴BA＝BD，又∵∠B＝36°，∴△ABD是黄金三角形．24．（1）解：∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．故答案为：（10﹣10）；（2）证明：延长EA，CG交于点M，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴DM∥BC，CD＝20cm，∴∠EMC＝∠BCG，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，∴∠EMC＝∠ECM，∴EM＝EC，由折叠的性质得：DE＝10cm，∴EC＝＝＝10（cm），∴EM＝10（cm），∴DM＝（10+10）cm，＝，∵AB＝BC，∴＝，∴G是AB的黄金分割点．25．解：（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a＝，b＝﹣2．∴y＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴y有最小值为6．答：y的最小值为6．（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），∴x0＝﹣1﹣．∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．OA2＝（3+）2＝14+6．OB•AB＝（1+）（4+2）＝14+6．∴OA2＝OB•AB．答：原点是线段AB的黄金分割点．26．解：∵四边形AEFD是正方形，∴AE＝AD＝2，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴AD＝AB，即2＝AB，解得：AB＝+1，∴BE＝AB﹣AE＝+1﹣2＝﹣1．。
中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
初中数学例题：黄金分割
第1 页共3 页初中数学例题：黄金分割5. 5. 如图所示，矩形如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.6180.618）），如果在其内作正方形CDEF CDEF，，得到一个小矩形ABFE ABFE，，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明＝即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为＝＝所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法择判断方法. .举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ABCD，取，取AB 的中点P ，连接PD PD，，在BA 的延长线上取点F ，使PF PF＝＝PD PD，，以AF 为边作正方形AMEF AMEF，，点M 在AD 上，如图所示，BC AB215-215-AB AE 215-AB AE ABED AB AD AB ED AD -=-21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=--（1）求AM AM，，DM 的长，的长，（2）试说明AM 2=AD =AD··DM（3）根据（）根据（22）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，中点，∴AD AD＝＝AB AB＝＝2，AP AP＝＝1，∠，∠BAD BAD BAD＝＝9090°，°，°，∴PD PD＝＝。
∵PF PF＝＝PD PD，，∴AF AF＝＝ ，在正方形ABCD 中，中，AM AM AM＝＝AF AF＝＝，MD MD＝＝AD AD－－AM AM＝＝3－（2）由（）由（11）得AD AD××DM DM＝＝2（3－）＝）＝66－2，∴AM 2=AD =AD··DM DM．．（3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点．的黄金分割点．6.6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感时，越给人一种美感..某女士身高165cm 165cm，下半身长，下半身长与身高的比值是0.600.60，，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（为（ ））.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【答案】【答案】C. C.522=+AD AP 15-15-555526)15(22-=-=AM x l【解析】利用=0.618=0.618，列方程求解。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
2024年九年级中考数学复习——黄金分割及其应用含参考答案
2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm5人们把5-12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5-12，b=5+12得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，⋯，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+⋯+S10=．6黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．7两千多年前，古希数学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400年一公元前347年)发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即PBAP=APAB，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD< CD，AB=CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)若BC=4cm，求BD的长．8以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．【答案】(805-160)cm【解析】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5-12，由此即可求解．【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80-x，∴80-x80=5-12，解方程得，x=120-405，点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80-y，∴80-y80=5-12，解方程得，y=120-405，∴C,D之间的距离为80-x-y=80-120+405-120+405=805-160，故答案为：(805-160)cm．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．【答案】(5-1)或者-1+5【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得AEBE=BEAB=5-12，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴AE BE =BEAB=5-12．∵AB=2米，∴BE=(5-1)米．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m 【答案】B 【解析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得x 2=5-12,求解即可．设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2-x )m ，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴x 2=5-12, ∴x =5-1≈1.24，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则26x≈0.618，解得x ≈42.072，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则26+42.072y≈0.618，解得y ≈110.149，∴其身高可能是110.149÷0.618≈178(cm)。
九年级数学 黄金分割
耐人寻味的0.618
Hale Waihona Puke ACB解：由AC BC 得：AC2 AB • BC AB AC
设AB 1，AC x,则BC 1 x,
x2 1 (1 x)
x2 x 1 0
解得：x1
1 2
5
1
,x2 2
5（不合题意，舍去）
所以：黄金比为 5 -1 2
0.618
能力源于运用
人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比，越接近 0.618越给人美感，难怪芭蕾舞演员在翩翩起舞时掂起脚尖 ， 而身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋。
九年级上册第四章图形的相似
探索黄金分割
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC = BC AB AC
那么称线段AB被点C 黄金分割(golden section)
点C叫做线段AB的 黄金分割点
AC与AB的比叫做 黄金比
一条线段有2个黄金分割点
计算黄金比
如图：点 C是线段 AB 的黄金分割点，求黄金比。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大 小各异。但这些金字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也 是按黄金比0.618来建立，他们认为这样 的长方形看来是较美观；其大理石柱廓 ，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.
耐人寻味的0.618
著名画家达•芬奇的旷世名 作《蒙娜丽莎》的构图完美的体 现了黄金分割在油画艺术上的应 用．
如果某女士身高1.68米，下半身与身高的比为0.6，她应 该 选择多高的高跟鞋看起来会更美呢（结果精确到1cm)？
解：设要选择高xcm的高跟鞋
依题意得：1.680.6 x 0.618 1.68 x
专题27.13 黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．12-B．9-C．4D．42．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA B1C．3D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．3B1C．1D．34．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A1B C35D．325．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么AC AB =D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯” 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．18．已知线段4AB=，点P是线段AB的黄金分割点（AP BP>），那么线段AP=______.（结果保留根号）19．已知线段AB长为2cm，P是AB的黄金分割点，则较长线段PA＝___；PB＝______．200.61803398=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是．21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．三、解答题23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(√5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：△P为AB的黄金分割点（AP＞PB），△AP AB，△AB的长度为8cm，△AP×8=4（cm），△BP=AB-AP=8-（4）=12-故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．2．C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.【详解】由黄金分割比的定义可知BC AB===21△21)3=-=-=AC AB BC故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3．A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2⨯(1=2故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值是解题的关键.4．A【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP=，代入数据即可得出AP的长度．>得出AP AB【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则21==．ABAP=故选：A．35，2．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC AB =D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则11AP ==2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．12 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，，．是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，△AC:AB≈0.618，△AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分叫做黄金比．【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯米.是解的关键．15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解： 2.236≈，≈2.23612-≈0.62，故答案为：0.62．【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．161【解析】21AC==17．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．18．2【分析】计算即可.【详解】解：△点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）△AP2AB==故答案为：2.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)1cm (3cm【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段AB，则PB=AB-352AB，然后把AB=2cm代入计算即可．【详解】解：△P是AB的黄金分割点，△较长线段AB，△PB=AB-352AB，而AB=2cm，△PA=)1cm，PB=(3cm．故答案为：)1cm；(3cm．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分倍．20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．5【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC AB，代入数据即可得出AC的值．【详解】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝＝5．故答案为：5．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．22．5【解析】△P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB，△AB=10cm，△AP=105=.故答案为5．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
黄金分割及比例线段
（1）操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。
④ 3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）．
此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸．她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1．由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则．）亦有多组比例符合黄金分割比．如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割．
5、美妙的黄金分割和黄金数
任取一条线段AB,在AB上找一点C,使得 ，点C就叫做线段AB的黄金分割点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C把线段AB分成AC，BC，如果 ，则点C是线段AB的黄金分割点，同样，若点D把线段AB分成AD，BD，如果 ，则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算一算.
在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现，当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样的普遍规律呢？但愿你能有所发现！
最新中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练(有答案)
最最中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D. 0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割第 2 页 共 15 页C. 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°，AD 、AE 将∠BAC 三等分交边BC 于点D ，点E ，则下列结论中错误的是( )A. 点D 是线段BC 的黄金分割点B. 点E 是线段BC 的黄金分割点C. 点E 是线段CD 的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9. 据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10. 如果线段AB =10cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，那么线段BP =________cm ． 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC).已知AB =4 cm ，则BC 的长约为________cm.(结果精确到0.1)12. 在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62 cm ，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm ，则宽约为 ________ (精确到1 cm)．15. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若P 点为线段AB 上的任意一点，则P 点出现在线段AC 上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
初中数学《6、2黄金分割》知识点+教案课件+习题
知识点：数学定义把一条线段分成两段，使其中较长的一段是原线段与较小一段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
如图，C为线段AB上一点，如果有则点C叫做线段AB的黄金分割点。
设AB=1, AC=x，则解得，称之为黄金比，也叫中末比、中外比、黄金率。
我国古代称为弦分割。
黄金比的数值后人还称为黄金数。
视频教学：练习：1．(1)如图，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则AC≈_______，BC≈_______．(2)－条线段的黄金分割点有_______个．2．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为_______℃（精确到1℃）．3．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽约等于_______．（精确到0.1）4．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<pb，则 </pb，则( )A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PBC．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB25．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为 ( ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm课件：教案：一、教学目标1．了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点；2．进一步理解线段的比，增强知识的综合运用能力．二、教学过程1.自主先学，温故知新蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感．请你量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB 的比值．上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽，现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值．通过计算，你有何发现？观察习题6.1第5题“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学喜欢哪一个矩形？你能说明喜欢的理由吗？2.组织互学，巩固提高例1.如图，点B在线段AC上，且．设AC＝1，求AB的长．说一说像上图那样，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割（golden section），点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC（或BC 与AB）的比值称为黄金比．在计算中，通常取它的近似值0.618．3.提升研学，适度强化议一议(1)．如图：点B是线段AC的黄金分割点，线段AC还有黄金分割点吗？若有，你能找出它吗？这两个黄金分割点有何特点？注：一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的．(2)．如果把化为乘积式是怎么样的？结合图形你怎么理解它？(3)．你对多数同学选择喜欢这个矩形找到原因了吗？长与宽的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，这种矩形给人以美感．你能举例说一说生活中有哪些黄金矩形吗？做一做1．如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝100cm，则BC＝_______________cm.2．如图，点B在线段AC上（AB＞BC）若AB＝2，BC＝a－1，则当a为何值时，点B是线段AC的黄金分割点？4.迁移再学，拓展延申例2. (1) 如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D，再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证：＝ (比值叫做AE与AB的黄金比).(2) 如果一个等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图②中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC(不写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注).5.当堂训练，及时反馈(1). 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则()A. AP2＝AB·PBB. AB2＝AP·PBC. PB2＝AP·ABD. AP2＋BP2＝AB2(2). 如图，C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB＝AE.若矩形EACD的面积为8，则正方形GCBF的周长为()A. 8B. 2C. 4D. 8(3). ①一条线段的黄金分割点有个；②如图，若B是线段AC的黄金分割点(AB＞BC)，AC＝20 cm，则AB的长为cm.(4). 据有关实验测定，当气温与人体正常体温(37 ℃)的比为黄金比时，人体感到最舒适，这个气温约为℃(精确到1 ℃).(5). 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士的身高为165 cm，下半身长x cm与身高l cm的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为cm(精确到1 cm).(6).如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D、E是边BC的两个黄金分割点，求△ADE的面积.6.归纳小结，颗粒归仓（1）知识层面：（2）方法层面：。
2020年中考复习--黄金分割专题训练(一)(有答案)
2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
初三黄金分割技巧口诀
初三黄金分割技巧口诀
初三黄金分割技巧的口诀是："一分长，二分短，三分大，四
分小，五分稳，六分灵，七分清，八分愉。
"
这个口诀是指在初三黄金分割中，一分长指的是长线趋势的确认，二分短指的是短线趋势的确认，三分大指的是大盘的判断，四分小指的是个股的判断，五分稳指的是回调到黄金分割位时的行情走势，六分灵指的是机会的捕捉，七分清指的是清仓离场，八分愉指的是欢乐交易。
这些口诀是初三黄金分割技巧的基本原则和步骤。
九年级数学黄金分割
D
BC = BE
F
C
黄金比吗？
BC = AB BE BC AE = AB BE AE
AB BC BC AB
点E是AB的黄金分割点
AE
AB
（即
）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也成为黄金矩形
想一想
（1）如果设AB=1，那么 BD= ？ 2
1
2 3-√5 √ 5–1 BC= ？ 2 AC= ？ 2 （2）点C是线段AB的黄金分割点吗？
√ 5 AD= ？
异 曲 同 工
如下方法也可以得到黄金 分割点？ 如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
人体肚脐不但是黄金点美化 身型，有时还是医疗效果黄金点， 人与黄金分割 许多民间名医在肚脐上贴药治好 了某些疾病。人体最感舒适的温 度是23℃(体温)，也是正常人体 温 （ 3 7 ℃ ） 的 黄 金 点 （23=37×0.618）。这说明医学 与0.618有千丝万缕联系,尚待开 拓研究。人体还有几个黄金点： 肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚 脐以下部分的黄金点在膝盖，上 肢的黄金点在肘关节。上肢与下 肢长度之比均近似0.618.
AB = 1 = √5 - 1 2 AC
√5 + 3 ≈2.6 18 即 AB= 2
归纳小结：
1.通过建筑、雕塑、音乐等领域的实例 了解黄金分割，感受了黄金分割的美。 2.进一步理解线段的比、成比例线段等相 关内容。 3.通过作图找到一条线段的黄金分割点， 并利用已学知识给予了说明。
作业
见《初中数学作业本》
黄金分割及答案
黄金分割（一）、主要知识点： 1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-＝AB AC ≈0.618. ABC推导黄金比过程。
设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以xxx -=11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 . 注意：（1）一条线段有2个黄金分割点。
（2）较长线段较短线段原线段较长线段黄金比==（3）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形 （4）黄金分割点把线段分成一长一短，则较长线段较短线段原线段较长线段=，即：点C 是线段AB 的黄金分割点：①若AC>BC,则ACBCAB AC = ；②若AC<BC,则BCACAB BC = . 2．如何作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.作图原理：可设AB=1,，则BD=21,则由勾股定理可知25=AD .可进一步求出AE, AC.从而解决问题。
3.比例的基本性质：如果a b cd =,那么ad=bc ，逆命题也成立。
4.合比性质：如果a b c d =，那么a b b c d d +=+；如果a b c d =，那么a b b c dd -=-。
5.等比性质：如果a b c d ==……=mn（b ＋d ＋……＋n ≠0）；那么，a c m b d n ab ++++++=（二）、典型习题： 一、选择题1．等边三角形的一边与这边上的高的比是_________． A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶3 D ．1∶32．下列各组中的四条线段成比例的是_________． A ．a =2，b =3，c =2，d =3 B ．a =4，b =6，c =5，d =10 C ．a =2，b =5，c =23，d =15 D ．a =2，b =3，c =4，d =13．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是_________． A ．a ∶d =c ∶b B ．a ∶b =c ∶dC ．d ∶a =b ∶cD ．a ∶c =d ∶b4．若ac =bd ，则下列各式一定成立的是_________．A ．d c b a =B ．c c b d d a +=+C ．c d b a =22D ．dacd ab =5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是_________．A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB 二、填空题6．在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________．7．正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________． 8．若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________． 9．若53=-b b a ，则b a=________． 10．若AE ACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________． 三、解答题 11．已知342=+x y x ，求y x ．12．在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1．5 m 的测杆的影长为2．5 m ，那么古塔的高是多少?13．在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C ．14．如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．分式（一）、主要知识点： 1.分式的定义分母中含有字母的式子叫做分式，成立的条件：分母不为0 。
九年级数学黄金分割
3、在AB上截取 AC=AE.
点C即为线段AB的黄金分割点.
想一想
1如果设AB=1,那么
1
BD=
2
AC= √5 – 1
2
AD= √5 3-2√5
BC= 2
2点C是线段AB的黄金分割点吗
维纳斯的标准体型
芭蕾演员虽然 身材修长,但其 腰长与身高之比 平均约为0．58, 只有在翩翩起舞 时、踮起脚尖, 方能展现 0．618的魅力.
CB
●
●●
●
A
DC
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段
AC 和 BC ,
如果
AC AB
=
BC AC
(长
全
短)
长
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割golden
section,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割
点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
A:C A B521:10.61:18
黄金分割的计算
如何在线段上确定一点C,使 AC BC?
AB AC
C
A CB
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
AB AC
AC = AB
BC
AC
∙ AC2=AB BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割golden section,
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
黄金分割
查阅 & 欣赏
探索身边的 黄金分割
为什么翩翩起舞的 芭蕾舞演员要掂起脚 为什么身材苗条的时装 模特还要穿高跟鞋 为 什么她们会给人和谐、 平衡、舒适与美的感觉
黄金身材比例
2020年中考复习—黄金分割专题训练(二)
2020中考复习——黄金分割专题训练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ，F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( )A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.82. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A. 12.36 cmB. 13.6 cmC. 32.36 cmD. 7.64 cm3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( )A. √5−12B. 3−√52C. √5−12或3−√52D. 以上都不对4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( )A. BC 2=AC ⋅ABB. AC 2=2AB ⋅BCC. AB 2=AC ⋅BCD. AC 2=BC ⋅AB5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5−12的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AEAD 等于( )A. √22B. √5−12C. 3−√52D. √5+126.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A. a=4，b=√5+2B. a=4，b=√5−2C. a=2，b=√5+1D. a=2，b=√5−17.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，BC=12AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是()A. BCAB =√55B. AEAC=√5−12C. ECAC=3+√52D.AC AB =2√558.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为()A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm二、填空题9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为______cm．10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP长为______厘米．11.已知a−ba =13，则ab的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB=2，则PB=.12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米)14.如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若AB=10cm，则AC≈_____cm.(结果精确到0.1)15.如图示，在五角星形中，AD=BC，C、D两点都是AB的黄金分割点，且AB=3，则CD=________．三、解答题16.(1)已知ab =35，求a+bb的值；(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，求PA、PB的长．17.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：黄金分割比例(三)
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：黄金分割比例（三）1．阅读理解：如图1，点C将线段AB分成两部分，若＝，则点C为线段AB的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．问题解决：如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．2．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE 的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）3．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．4．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．5．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．6．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．7．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；（2）请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线．8．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．9．“黄金分割”在人类历史上有着重要的作用和影响，世界上许多著名的建筑和艺术品中都蕴涵着“黄金分割”．下面我们就用黄金分割来设计一把富有美感的纸扇：假设纸扇张开到最大时，扇形的面积与扇形所在圆的剩余部分的比值等于黄金比，请你来求一求纸扇张开的角度．（黄金比取0.6）10．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．参考答案1．解：（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下： ∵点D 是AB 的黄金分割点，∴＝，∵＝，＝，∴＝，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线；（2）∵三角形的中线把AB 分成相等的两条线段，即AD ＝BD ， ∴＝，＝＝1，∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；（3）∵DF ∥CE ，∴S △FDE ＝S △FDC ，S △DEC ＝S △FEC ，∴S △AEF ＝S △ADC ，S 四边形BEFC ＝S △BDC ，∵＝，∴＝，∴直线EF 是△ABC 的黄金分割线．2．证明：如图，连接GF ，设正方形ABCD 的边长为1，则DF ＝． 在Rt △BCF 中，BF ＝＝，则A ′F ＝BF ﹣BA ′＝﹣1． 设AG ＝A ′G ＝x ，则GD ＝1﹣x ，在Rt △A ′GF 和Rt △DGF 中，有A 'F 2+A 'G 2＝DF 2+DG 2， 即，解得x＝，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．3．解：（1）如图：以A为圆心，在AB上截取AE＝AD，以D为圆心，在DC上截取DF＝DA，连接EF，所以四边形AEFD为所求作的正方形；（2）答：四边形EBCF是黄金矩形．证明：∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°，∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．设CD＝a，AD＝b，则有，∴，∴矩形EBCF是黄金矩形．4．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠ABD＝∠DBC＝36°．又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC＝x，AC＝y，由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2＝0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝72°，∴∠ACE＝180°﹣72°＝108°，∴∠ACE＝∠B1A1C1．∵A1B1＝AB，∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE＝B1C1．由（3）知，∴，，∴．5．证明：在AB上截取AE＝BC，DF＝BC，连接EF．∵AE＝BC，DF＝BC，∴AE＝DF＝BC＝AD，又∵∠ADF＝90°，∴四边形AEFD是正方形．BE＝，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．6．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．7．解：∵，，又∵D是AB的黄金分割点，∴，，∴CD是△ABC的黄金分割线；（2）不是．∵CD是△ABC的中线，∴AD＝DB，∴＝，而＝1，∴≠，∴中线不是黄金分割线．8．解：（1）（3分）（2）CM＝AB（4分）9．解：设扇形的半径为R，圆心角为n，则剩余扇形的圆心角为（360°﹣n），由题意得，：＝0.6，即n：（360°﹣n）＝0.6，解得：n＝135，答：纸扇张开的角度为135°．10．解：（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，∴＝，而BC＝2，∴AC＝﹣1，∴CD＝CA＝﹣1，∴BD＝CD＝﹣1，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣．。
九年级数学黄金分割
C
B
度量C到点A、B的距离,
AC
AB
与
BC AC
相等吗？
A
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
D
BC = BE
F
C
黄金比吗？
BC = AB BE BC AE = AB BE AE
AB BC BC AB
点E是AB的黄金分割点
AE
AB
（即
）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也成为黄金矩形
想一想
（1）如果设AB=1，那么 BD= ？ 2
1
2 3-√5 √ 5–1 BC= ？ 2 AC= ？ 2 （2）点C是线段AB的黄金分割点吗？
AC AB
section),
=
BC = AC
√5 – 1
2
:
1 ≈ 0.618 : 1
A
D
C
B
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点 A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点。试确定支撑点C到端点B的距离以及 支撑点D到端点A的距离。
A
D
C
B
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
√ 5 AD= ？
异 曲 同 工
如下方法也可以得到黄金 分割点？ 如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
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中考中的黄金分割问
题
一、黄金分割点
例1（湖北十堰）如图1，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有
AC BC
AB AC
，则AC AB
的数值为______；若AB 的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．
2.（2005?太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC= cm ，DC= cm ．
3.（2009?浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（2009?孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时， 越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是， 为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ． 4cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm
二、黄金三角形 例1.（2010?本溪）如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为
的三角
形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，
已知AB=4，则DE= _________ ．
2．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 .
3.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC 中，AB=AC ，
BD 是∠ABC 的角平分线，交AC 于D ，若AC=4cm ，则BC= cm ．
4．（2007·太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形.为此，请你解答问题(1).
已知：如图(1)，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：△ABD 与△DBC
都是等腰三角形
图 (1)
归纳提升：本题综合考查等腰三角形的性质与判别，还可这样反思：条件改为“在△ABC 中，AB=AC ，AD=BD=BC ”，求△ABC 中各内角的度数.
(2)在证明了
角形. 三、黄金矩形
例1 （扬州市）
这样的矩形叫做
（1）操作：请你
一边作正方形A
（2）探究：在（
（3）归纳：通过
1．宽与长的比是
第三步：以N 为
第四步：过B 作
请你根据以上作
2.（2010 嵊州市
一、选择题
1、若3a=4b ，则
A 、
2、（2002?太原
A D
E F
A B
C
D E
F
M N
A、B、C、D、
3、已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，且MP=（﹣1）cm，则MN等于（）
A、2cm
B、4cm
C、6cm
D、无法计算
4、如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，则AM的长为（）
A、﹣1
B、
C、3﹣
D、6﹣2
二、填空题
5、若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则，= ．
6、在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB= ，AB：PB= ．
7、若点C是线段AB的黄金分割点，则等于．
8.（2008?枣庄）将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．。