U612-线性代数-1.3 行列式的性质

00 0 00 0
1 an1 an 1 1 an
1 a1 0 1 1 a1 a2 例 7 计算行列式 0 1 1 a2
00 00 0 0
0 0
1 a1 0 1 1 a1 a2 解 0 1 1 a2
00 00
00 00 00
1 an1 an 1 1 an
00 0 00 0
1 a1 0 0 1 a2 0 1 1 a2
k（a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32）
kD
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
倍数 k，等于用数 k乘以此行列式.
备注：第 i行（列）乘以 ，k 记作 ri k (.ci k )
1 2
0 1
2 0
2 1 10
xaa axa 例 6 计算 n 阶行列式 a a x
aaa aaa
aa aa aa
xa ax
xaa axa 例 6 计算 n 阶行列式 a a x
aa aa aa
aaa xa aaa ax
x a a a a x (n 1)a a a a a a x a a a x (n 1)a x a a a 解 a a x a a x (n 1)a a x a a
a a a x a x (n 1)a a a x a a a a a x x (n 1)a a a a x
bn c1 c2
cn
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann

注意：一次只能拆分一行或一列
a11 a12 a13
a11
D a21 a22 a23 c2kc3 a21
a31 a32 a33
则
a11 a12 ka13 a13
a31 a11 a12
D1 a21 a22 ka23 a23 a21 a22
00 33aa 66aa3b 10a 6b3c
a b acb c d d a b acb c d d
0 0
a0
a0ab 0a0
a2aabbac2abb00c
a0
a0ab 0a0
a2aabbbac2abab4c4
a4
0 0 03a0 73aa3b7a 3b0 0 000 0 a a
xaa axa 例 6 计算 n 阶行列式 a a x
0 1 1 2
例4
计算行列式D
1 1
1 2
0 1
2 0
2 1 10
0 1 102 1 1 2
D
解11
D21011120
1 2
0 1
2 0
2 1 120 1 1 0
1 1 0 121 0 2
0 1
21 110102
1 2
1 1
2 0
2 1 120 1 1 0
11 11 001 202 2
0000110011
abcd 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3bc 10a 6b3c d
ab
c
d
解
a ab abc abcd a 2a b 3a 2bc 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3bc 10a 6b3c d
aa bb c
d
00 00
aa 22aa
aa b 33aa 2b
abc 4a 3b 2c
a31 a32 a33
3a31 a32 5a33
6a11 2a12 10a13
3a11 a12 5a13
解 3a21 a22 5a23 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32 5a33
3a31 a32 5a33
a11 a12 a13 2(3)5 a21 a22 a23 2(3)5130
a31 a32 a33
备注：以数 k乘第 行j （列）加到第 行i （列）上，记作 ri krj ( ci kc j ).
2 4 1 例 1 计算行列式 D 3 6 3
5 10 4
2 4 1 D 3 6 3 0
5 10 4
例3
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
设 a21 a22 a23 1 求 3a21 a22 5a23
x (n 1)a a a
0 xa 0
0
0 xa
aa 00 0 0 [x(n1)a](xa)n1
0
00
xa 0
0
00
0 xa
1 a1 0 1 1 a1 a2 例 7 计算行列式 0 1 1 a2
00 00 0 0
0 0
1 a1 0 1 1 a1 a2 解 0 1 1 a2
00 00
00 00 00
1 an1 an 1 1 an
11 11
221 221
2 2
00 303 131 441 4
1 11 01 200 22
00 0100
1 20
211 422
22 44
0 00 20 222 22
1 1 0 2
0 0
1 0
1 2
2 4
1(1)(2)(2)4
0 0 0 2
ab
c
d
例5
计算行列式
a a
ab 2a b
abc 3a 2bc
175 3 5 8 196 662
175 175 于是 6 6 2 3 5 8
358 662
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. (互换两行，改变符号）
备注：交换第i行（列）和第 行j （列）记作 ri rj (.ci c j )
两行相同，其值为零 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面．
a11 a12
a13
a11 a12 ka13
a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 a21 a22 ka23 k a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 ka33
a31 a32 a33
ka11 ka12 ka13
aa aa aa
aaa xa aaa ax
x a a a a x (n 1)a a a a a a x a a a x (n 1)a x a a a 解 a a x a a x (n 1)a a x a a
a a a x a x (n 1)a a a x a a a a a x x (n 1)a a a a x
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
ka11 ka12 ka13 ka14
a11 a12 a13 a14
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 可以拆分成两个行列式的和。
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
b1 c1 b2 c2
bn cn b1 b2
bij a ji
7 2
D
1
DT 7
3 1
3 1
2 1
100
1 2 3
D 2 6 0 42 DT 0 6 5 42
3 5 7
0 0 7
性质1 行列式与它的转置行列式相等. (行列互换，其值不变）
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对 行成立的对列也同样成立.
175 6 6 2 196 358
1 an1 an 1 1 an
00 00 0 0
1 a1 0 0 1 a2 0 0 1
00 0 00 0
1 an1 an 1 1 an
00 0 00 0
00 00 0 0 1
1 an 01
作业 1.3：
2 4 1 例 1 计算行列式 D 3 6 3
5 10 4
0 1 1 2
例4
计算行列式D
1 1
a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 k 3 a21 a22 a23
ka31 ka32 ka33
a31 a32 a33
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列
式为零． 以4阶行列式为例.
两行相同，其值为零
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 k a21 a22 a23 a24 k 0 0
§1.3 行列式的性质
一、行列式的性质 ( Properties of Determinant )
a11 a12
a1n
a11 a21
an1
记 D a21 a22
a2n , DT a12 a22
an2
an1 an2
ann
a1n a2n
ann
行列式 D称T 为行列式 的D 转置行列式.
若记 D det(aij ), D T，则det(bij ).
证明: 互换相同的两行，有 D ，D所以 . D 0
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
D1 a11(ka22 )a33 a12 (ka23 )a31 a13 (ka21 )a32 a13 (ka22 )a31 a12 (ka21 )a33 a11(ka23 )a32
a31 a32 ka33 a33 a31 a32
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
a13 a11 a23 a21 a33 a31
a13 a23 = D1 , a33
ka13 ka23 ka33
a13 a23 D a33
性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式值不变．