苏教版高中数学选修1-1第一学期第二高级中学高二数学期末模拟试卷

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
第一学期第二高级中学高二数学期末模拟试卷姓名
1. 如图，直线l 是曲线()y f x =在x a =处的切线，若()1f a '=， 则实数a 的值是 .
2．“3a =”是“直线210ax y ++=和直线3(1)20x a y +--=平行” 的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分又不必要”中选择一个填写）
3. 已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面。

命题p ：若//,,m n αβαβ⊂⊂则
//m n ；命题:q 若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ. 下面的命题中，真命题的序号是 .①“p 或q ”为真；②“p 且q ”为真；③p 真q 假；④“p ⌝”为真；
4.我们知道，在边长为a 2的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a 3，类比上述结论，在边长为a 3的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 .
5. 一个球与一个正三棱柱的五个面都相切，球的表面积为π4， 则该三棱柱的体积为 .
6.如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB, EF=2,且EF 与面AC 的距离是2,则该多面体的体积是
7．若函数2()ln f x mx x =+在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 . 8．函数2()x
f x x e =在区间(),1a a +上存在极值点，则实数a 的取值范围为 .
9．若直线l 过点(3,2)C ，且被圆H ：22(3)10x y +-=截得的弦长为2，则直线l 的方程为 ；
x
y
O
a
5
2()
y f x =
l
（第1题图）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D E
F
P
10．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦距为c 2，右顶点为A ，抛物线
)0(22
>=p py x 的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c 2，且c FA =，则双
曲线的渐近线方程为____ __
11. 已知椭圆2
2
21y x b
+=(01)b <<的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，过F 、A 、
B 作圆P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ，且0m n +>，则椭圆离心率的范围是 .
12．已知命题21:[1,2],02
x p x e x a ∀∈--≥是真命题，且命题2
:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤ 是假
命题，则实数a 的取值范围是 .
13．已知函数32()f x x ax bx =++，若()y f x =的导数'()f x 对[1,1]x ∈-都有'
()2f x ≤，
1
b a -则的范围是 . 14．已知函数()ln 1f x x x =-+，()∞+∈，
0x ，()22325g x x ax a =-+-，a ≥１若对于任意()001x ∈，，总存在()101x ∈，，使得()()01x g x f =成立，则a 的取值范围是 ； 15．已知已知m 为实常数，命题p ：函数x mx x f ln )(+=（0>x ）存在单调减区间；命题
q ：方程
22
126
x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；若命题p 或q 为真命题，且命题p 且q 为假命题，求m 的取值范围.
16．如图，在三棱锥P - ABC 中，PC ⊥平面ABC ，△ABC 为正三角形， D ，E ，F 分别是BC ，PB ，CA 的中点． （1）证明平面PBF ⊥平面P AC ；（2）判断AE 是否平行平面PFD ？并说明理由；
（3）若PC = AB = 2，求三棱锥P - DEF 的体积．
y x
O
P M Q
N
17．如图，ABCD 为直角梯形，∠C ＝∠CDA ＝90°，AD ＝2BC ＝2CD ，P 为平面ABCD 外一点，且PB ⊥BD .(1)求证：P A ⊥BD ；(2)若PC 与CD 不垂直，求证：P A ≠PD ；
(3)若直线l 过点P ，且直线l ∥直线BC ，试在直线l 上找一点E ，使得直线PC ∥平面EBD .
18、下图为函数()(01)f x x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，处的切线为l ，l 与y 轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1）.（1）试用t 表示△PQN 的面积S; （2）若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，试求b 的取值范围
19．已知21
()2ln ()m f x x m x m R x
-=--∈. （1）当m ＝1时，求函数()f x 的极值；（2）求()f x 的单调增区间；
（3）若曲线()y f x =在点33(,())22f 处的切线的斜率为4
9
-，则当0k >时，讨论方程
221()276m f x x x k x
-+=-+-在区间(0,4)上的解的个数．
20. 已知椭圆1:C 22
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ,上顶点为A ,P 为1C 上任一点,
MN 是圆2:C 22
(3)1x y +-=的一条直径.若与AF 平行且在y 轴上的截距为32-的直线
l 恰好与圆C 2相切.（1）求椭圆1C 的离心率；
（2）若PM PN ⋅的最大值为49，求椭圆1C 的
方程.（3）若过椭圆1C 的右焦点为F 的直线l 交椭圆1C 的于两点S 、T ,交y 轴于R 点，
若1RS SF λ=，2RT TF λ=，求证:12λλ+是定值.
参考答案：
1．3；2．充分不必要 ； 3、（1）（4）；4．a 6；5. 36；6．8；7. 0m ≥ ；8. (3,2)(1,0)--⋃- 9． 3x =或4360x y --=；10、x y ±=；11、2
(0,
)2
；12、(4,2)-- ；13、(,2)[1,).-∞-+∞ 14．∵()23g x x a '=-（a ≥１）∴当)1,0(∈x 时，()230g x x a '=-<，)(x g 单调递减， 此时()g x 值域为2(234,a a --225)a -． …………………………………………6分 由(1)得，当)1,0(∈x 时，)(x f 值域为(),0-∞， ……………………………8分 由题意可得：225a -≤0，所以１≤a ≤10
2
. ………………………………10分 15．解：由题意得：x
a x f 1)(+
='， 若函数x ax x f ln )(+=（0>x ）存在单调减区间， 则01)(<+
='x m x f 在),0(+∞上有解，即x
m 1
>-在),0(+∞上有解，---2分 则0>-m ，即0<m ------------------------------------------------------------------5分
16．解：（1）∵PC ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BF ．
∵△ABC 为正三角形，F 是CA 的中点 ∴BF ⊥AC ．又∵PC ∩AC = C ． ∴BF ⊥平面P AC ． ∵BF ⊂平面PBF ，∴平面PBF ⊥平面P AC ． （2）AE 不平行平面PFD ． 反证法：假设AE ∥平面PFD ．∵AB ∥FD ，FD ⊂平面PFD ，AB ⊄平面PFD ∴AB ∥平面PFD ．∵AE 、AB 是平面ABE 内两条相交直线，
∴平面ABE ∥平面PFD ． 而∵P ∈平面ABE ，P ∈平面PFD ，矛盾． 则假设不成立．即AE 不平行平面PFD ．
（3）∵D ，E ，F 分别是BC ，PB ，CA 的中点，PC ⊥平面ABC ，∴V P - DEF = V B - DEF ．
则V P - DEF = 12V P - BDF ＝12×13×14S △ABC ×PC ＝12×13×1
4
×3424⨯⨯=
312．
17．解：(1)证明：∵ABCD 为直角梯形，AD ＝2AB ＝2BD ， ∴AB ⊥BD ，PB ⊥BD ，AB ∩PB ＝B ， AB ，PB ⊂平面PAB ，BD ⊥平面PAB ， PA ⊂平面PAB ，∴PA ⊥BD .
(2)证明：假设PA ＝PD ，取AD 中点N ，连结PN ，BN ，则PN ⊥AD ，BN ⊥AD ，
AD ⊥平面PNB ，得PB ⊥AD ， 又PB ⊥BD ，得PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥CD .
又∵BC ⊥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，
∴CD ⊥PC ，与已知条件PC 与CD 不垂直矛盾． ∴PA ≠PD .
(3)在l 上取一点E ，使PE ＝BC ，连结BE ，DE ， ∵PE ∥BC ，∴四边形BCPE 是平行四边形， ∴PC ∥BE ，PC ⊄平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，
∴PC ∥平面EBD . 18、（1）)10(4<<+-=
t t t t t s （2）)27
8
,41(∈b . 19．（1）有极小值22ln 2-，无极大值
（2）1,(0,1),(1,)
m m m >-++∞时增区间，
11,(1,)
m m -<++∞≤时增区间，
1,(0,)m +∞≤-时增区间
（3）503ln 22k <<
-，有三解，53ln 22k =-，有两解，5
3ln 26ln 262
k -<<+，有一解，6ln 26k +≥，无解
20.解：（1）直线l 的方程是:(32)0bx cy c +--=
因为直线l 与圆2C :2
2
(3)1x y +-=相切,所以2
2
|3(32)|
1c c d b c
--==+
化简得222c a =,所以2
2
e =
---------4分； （2）由（1）知该椭圆中,22c b a ==即设椭圆方程为2
2222b y x =+
设(,)P x y 为椭圆上一点，则2222()()PM PN PC C M PC C N =++
22
222222(3)1(3)217()PC C N x y y b b y b =-=+--=-+++-≤≤---
若2
3,3,217b y PM PN b ≥=-+当时有最大值，即221749b +=
由16501822
2
==+b b 得∴所求椭圆方程为
116
322
2=+y x ； 若30<<b ，则,y b PM PN =-时有最大值268b b ++，
由2
6849352b b b ++==-±得（舍去）
综合得椭圆的方程是：
116
322
2=+y x ---------------10分； （3）设直线l ：()y k x b =-与椭圆2C ：22
2212x y b b
+=相交于不同的两点11(,)S x y 、
22(,)T x y ，
交y 轴于0(0,)R y ,且(,0)F b .
由已知1RS SF λ=得110111(,)(,)x y y b x y λ-=--,
整理得:11
1
1b x λλ=
+,0111y y λ=+,
将S 点的坐标代入椭圆1C :2
2
2
22b y x =+得2222
0122
1122(1)(1)
y b b λλλ+=++, 去分母得:22222
10122(1)b y b λλ+=+
22222
1104220b b b y λλ++-=--------①
同理可得: 22222
2204220b b b y λλ++-=--------② 所以1λ、2λ是方程22222
04220b b b y λλ++-=的两根,
故有：1λ2λ+4=-.----18分.
另:若把（2）中得到的椭圆方程代入(3)中处理,也视作正确.
设直线l ：(4)y k x =-与椭圆2C ：
116
322
2=+y x 相交于不同的两点11(,)S x y 、22(,)T x y ，
交y 轴于0(0,)R y ,且(4,0)F .
由已知1RS SF λ=得110111(,)(4,)x y y x y λ-=--,
整理得:1141
1x λλ=+,0111y y λ=+,将S 点的坐标代入椭圆1C :
116
3222=+y x 得 220122
1112(1)16(1)
y λλλ+=++,去公母得:22
210
1816(1)y λλ+=+ 22
110832160y λλ++-=--------①
同理可得: 22
220832160y λλ++-=--------②
所以1λ、2λ是方程22
0832160y λλ++-=的两根，故有：
1λ2λ+4=-.----18分.
上述答案仅供参考,如有其它不同解法,请参照给分.。