高考数学压轴专题《平面向量及其应用》难题汇编

一、多选题
1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b
B a
=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅<
D ．2S =
5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ）
A ．::sin :sin :sin a b c A
B
C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >
D ．
sin sin sin +=+a b c A B C
6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两
解的是（ ）
A ．10,45,70b A C ==︒=︒
B ．45,48,60b c B ===︒
C ．14,16,45a b A ===︒
D ．7,5,80a b A ===︒
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为
（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．8．下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A ．A
B MB BO OM +++ B ．AB B
C CA ++ C ．OA OC BO CO +++
D ．AB AC BD CD -+-
9．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
10．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．AB D
C =
C ．AB DC >
D ．BC AD ∥
11．下列命题中，正确的有（ ）
A ．向量A
B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、
C 、
D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2
α
为第二或第四象限角 C ．函数1
cos 2
y x =+
是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形 12．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形
13．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
14．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心
17．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ⋅的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．()()
a b a b +⊥-
18．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b
，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC
的面积为1)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．
C ．4
D ．16
20．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
21．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为
1S ，ABC 的面积为2S ，则
1
2
S S = A ．310 B ．38
C ．
25
D ．
421 22．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
- D ．34
-
23．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:5
24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角
25．已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的
取值范围是( ) A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．,6ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
26．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）
A ．
3
2
B ．
22
C ．
31
2
- D ．
212
- 27．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
28．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
29．在ABC 中，()
2
BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
30．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
31．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
32．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
33．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
35．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）
A ．33A
B A
C HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+
D ．24AB AC HM MO +=-
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ⋅=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++⋅=
+，
(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b -=
-=+-⋅=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
2．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知
解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，
可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
3．D 【分析】
在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.
故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查
解析：D 【分析】 在ABC 中，根据
cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.
【详解】
在ABC 中，因为
cos cos A b
B a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，
解得A B =或2
A B π
+=.
故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．BCD 【分析】
本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，
所以B 是的中点，P 是的
解析：BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
5．ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；
对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角
解析：ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在ABC ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；
对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错
误；
对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以
A B >，故C 正确；
对于D ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 6．BC
【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两
解析：BC 【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =
=<，且c b >，所以角C 有两解；
对于选项C 中：因为sin sin 17
b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A
B a
=
<，且b a <，所以角B 仅有一解.
故选：BC . 【点睛】
本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．AC
【分析】
利用余弦定理：即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC 【分析】
利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，
即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
8．BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：
解析：BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
9．AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
解析：AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；
对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；
对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
10．BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故
解析：BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；
AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】
本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.
11．BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误
解析：BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角
2
α
的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数
1
cos 2
y x =+
的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；
对于B 选项，2sin sin tan 0cos α
ααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨
>⎩
， 则角α为第四象限角，如下图所示：
则
2
α
为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1
cos 2
y x =+
的图象如下图所示：
由图象可知，函数1
cos 2
y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，
tan tan 1A B <，
()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B
π+--∴-=-===cos 0cos cos C
A B
=-
>，cos cos cos 0A B C ∴<，
对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.
12．BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，
对于A ，若，则或，
解析：BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ∆中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2
A B π
+=
时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；
综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
13．AD 【解析】 【分析】
由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】
∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，
两边平方并化简得， ∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故
【解析】 【分析】
由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】
∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，
∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
14．ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .
故选：ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析：ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;
0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
15．ABD 【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对
解析：ABD 【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：
()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【分析】
设sin sin a B b A CH ==，则()
m
CP a b CH
=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案； 【详解】 如图，
sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =+
+，()
m
CP a b CH
=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A. 【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用. 17．D 【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算
()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则22cos sin 1a αα=+=，同理可得
1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.
对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且
()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，
()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，(
)()
2
2
220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()
a b a b +⊥-，D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 18．A 【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，
cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<< 90A ∴=︒，
则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 19．C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(2bc =,
再代入余弦定理求解即可. 【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-,
∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2
2
()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．B 【分析】
2
2
22
||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令2
22
()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a
θ
⋅==
时，222min 2
44()()14a b a b f t a
-⋅==，即222
||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】
2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，
所以当2cos b a b t a a
θ
⋅==时，222min 2
44()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2
||b ta -的最小值也为1，即222
min
2
44()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=，
所以2
2
||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ
=，故若θ确定，则||b →
唯一确定. 故选：B 【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 21．A 【解析】
∵2350OA OB OC ++=，∴()()
23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且
32
OM ON
=
， ∴3
613
225
54
10OAC
OMC
CMN
ABC ABC S
S
S
S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭
，即
12310
S S =．选A ． 22．B 【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2
AD AB AC =+ ， 51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 23．A 【解析】
分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，
由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 24．C 【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；
,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形
ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且
||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正
确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 25．B 【分析】
根据方程有实根得到2
4cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2
θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】
关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根 2
40a a b ∴∆=
-⋅≥
设a 与b 的夹角为θ，则2
4cos 0a a b θ-≥
又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤
又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢
⎥⎣⎦
本题正确选项：B
【点睛】 本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
26．C 【分析】
易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．
【详解】
45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，
在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，
解得BC =-，
在BCD 中，由正弦定理，得
sin sin BC CD BDC CBD =∠∠50sin 45=︒，
sin BDC ∴∠=
sin(90)θ+︒=
cos θ∴= 故选：C ．
【点睛】
该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 27．B
【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．
【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13
A =，所以1||||sin 302
AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯
=； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．
28．A
【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，
因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113
m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122
AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭
， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
， 解得34λ=
. 故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 29．D
【分析】
先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.
【详解】
因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.
【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用
πA B C ++=这个结论．
30．A
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.
【详解】
cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即
()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，
0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，
0B π<<，所以，2
B π=，因此，AB
C 是直角三角形. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
31．A
【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.
【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD =
==+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416
λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】
本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
32．C
【分析】 作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212
AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】
如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，
()
212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，
同理可得
2 1
2
AM AC AC
⋅=，
86cos6024
AB AC
⋅=⨯⨯=，
由
2
2
1
2
1
2
AM AB AB
AM AC AC
⎧
⋅=
⎪⎪
⎨
⎪⋅=
⎪⎩
，可得
()
()
32
18
AB AC AB
AB AC AC
λμ
λμ
⎧+⋅=
⎪
⎨
+⋅=
⎪⎩
，即
642432
243618
λμ
λμ
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
5
12
λ=，
2
9
，因此，
527
4343
1293
λμ
+=⨯+⨯=.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 33．D
【分析】
由正弦定理可得，
3
sin B=，根据b a
>，可得B角的大小.
【详解】
由正弦定理可得，
sin3
sin
2
b A
B
a
==，
又0,,
π
<<>∴>
B b a B A，60︒
∴=
B或120
B=.
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 34．B
【分析】
利用两角和与差公式化简原式，可得答案．
【详解】
因为sin2sin cos
B A C
=，
所以sin()2sin cos
A C A C
+=
所以sin cos cos sin2sin cos
A C A C A C
+=
所以sin cos cos sin 0A C A C -=
所以sin()0A C -=,
所以0A C -=,
所以A C =.
所以三角形是等腰三角形.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．
35．D
【分析】
构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．
【详解】
解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，
O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，
又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，
∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．
4224OM HM HM MO =+=-
故选：D ．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．。