2016届高考数学热点难点一网打尽专题10零点、根、交点教你如何转化(解析版)

【备战2016年高考高三数学热点、难点一网打尽】
第10讲 零点、根、交点，教您如何转化 考纲要求:
1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．
2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．
基础知识回顾:
一、方程的根与函数的零点
（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点。

函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等。

（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数
()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图
像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得f(c)=0，这个c 也就是方程的根。

函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有
0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件。

【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。

二、二分法 （1）二分法及步骤
对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似
值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）
第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。

三、二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ＞0)零点的分布
⎩
⎪⎨⎪
⎧
＞0＜0＞0
【注】y ＝ax 2
＋bx ＋c(a<0)的零点分布请自己类比。

应用举例:
类型一、函数的零点转化为函数图象的交点
【例1】函数f(x)＝2x
|log 0.5x|－1的零点个数为 ( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】若函数f(x)＝xln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：令g(x)＝xln x ，h(x)＝a ，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g ′(x)＝ln x ＋1，令g ′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<1
e ；令g ′(x)>0，即1ln ->x ，
可解得x>1e ，所以，当0<x<1e 时，函数g(x)单调递减；当x>1
e 时，函数g(x)单调递增，由此可
知当x ＝1e 时，g(x)min ＝－1
e .在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得
－1
e
<a<0.
类型二、方程的根转化为函数图象的交点
【例3】已知函数f(x)＝－x 2
＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e
2
x
(x ＞0)．试确定m 的取值范围，
使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
类型三、函数的零点转化为方程的根
【例4】设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为( )
A.
]2
,
4
9
(-
- B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.)
,
4
9
(+∞
-
方法、规律归纳:
函数零点的求解与判定
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
实战演练:
1．函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点
解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cosx的图像，如图，由于x>1时，y＝x>1，y＝cosx≤1，所以两图像只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B项．2．f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
解析：作出函数y＝2sinπx与y＝x－1的图像，如图所示．由图像可知，两个函数的图像有5个交点，即f(x)＝2sinπx－x＋1有5个零点，选B.
3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－2,2)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：函数f(x)＝x3－3x＋a的导函数f′(x)＝3x2－3，相应二次方程3x2－3＝0有两根x＝±1，函数存在一个极大值f(－1)＝2＋a>0，还有一个极小值f(1)＝－2＋a<0，由上知a
的取值范围是(－2,2)．选B
4．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=)
,1[,31)1,0[),1(log )(2
1x x x x x f ，则关于x 的
函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为( )
A ．2a
－1 B ．1－2
a
C ．2－a －1
D ．1－2
－
a
答案：B
5．设函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x 3
.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在]2
3
,21[-
上的零点个数为( ) A ．5个 B ．6个 C ．7个
D ．8个
6．函数f(x)＝xcosx 2
在区间[0,4]上的零点个数为( )
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
解析：令f(x)＝0，得x ＝0或cosx 2＝0，因为x ∈[0,4]，所以x 2
∈[0,16]．由于cos )
2
(
ππ
k +＝0(k ∈Z)，故当x 2＝π2，3π2，5π2，7π2，9π2
时，cosx 2
＝0，所以零点个数为6.答案：C
7．“函数f(x)＝ax ＋3在[－1,2]上存在零点”的充要条件是________．
8．已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a x
，x≥0，
kx ＋1，x<0，若函数g(x)＝f(x)－k 有两个零点，
则实数k 的取值范围是________．
9．是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2
＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．
综上所述，存在实数a ，其范围是a ＜－1
5
或a ＞1.
10．已知函数f(x)＝－x 2
－2x ，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋14x
，x ＞0，x ＋1，x≤0.
(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．
解析：(1)∵f(1)＝－12
－2×1＝－3，∴g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t ，则原方程化为g(t)＝a ，易知方程f(x)＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g(t)(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g(t)(t ＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a ＜4
5
时，函数y ＝g(t)(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是)4
5,1[.。