同济六版高等数学A

有水平渐进线 y = a .
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不难证明
lim f (x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x
x
x
定义（“ - ”）lim f ( x) a 对任给定的
x x0
0（不论它有多么小），都存在 = ( ) > 0，
使得当 0 < | x-x0| < 时，恒有| f (x) - a|< 成立。
故
limsin
x0
1 x
不 存 在.
证毕.
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四、小结
1. 极限的两个要 素
2. 自变量的各种变化过程中的极限的统 一描（述共有7种自变量的变化过程） 3. 极限的性质（统一描述）
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作业
第一章 习题一 一、5，6，7； 二、2，3，10； 三、10.
取 ______
时，只要 x z，必有 y 1 0.01 .
二、用函数极限的定义证明：
1、lim 1 4x 2 2
x1
2
2x 1
2、 lim sin x 0 x x
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三、试证 :函数 f ( x) 当 x x0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 .
x
0 （不论它有多么小），都存在 X=X()>0，
使得当 x > X 时，恒有 | f (x) - a|< 成立。
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几何解释
y
a +
a
a -
y = f (x)
O
X
x
即 lim f ( x) = a x + 时，曲 x
线 y = f (x) 有水平渐进线 y = a .
x0
x0
x
lim f ( x) lim f ( x)
x0
x0
lim f ( x) 不存在. x0
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一、填空题:
练习题
1、当 x 2 时，y x 2 4，问当 取 ___时， 只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 .
2、当
x
时，y
x2 x2
1 3
1，问当 z
X
x < -X
xx0 x x 0+0
0 + )
x x 0-0 x 0)
0<| x -x 0 |<
0 < x - x 0 < (即 x 0 < x < x
- < x - x 0 < 0 (即 x 0 - < x <
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三、极限的性质
1. 唯一性
若对自变量 t 的某一变化过程，f (t) 收敛，则对此变化过程， f (t) 的极限 唯一。
1. 有界性
若对自变量 t 的某一变化过程， f (t) 收敛，则在此变化过程中的某一时刻之 后, f (t) 有界。
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3. 保号性 若对自变量 t 的某一变化过程，有lim f (t) > 0 (< 0)，则在此变化
过程中的某一时刻之后，恒有 f (t) > 0 (< 0).
(
x
x0 )(
x
x0 )
x x0
x x0
又 x x0 2 x0
x x0
x x0
2
x
x0
x0
2 x0
可取 ( ) 2 x0 ;
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例3 设
接着证
x0
0,
试证 :
lim
x x0 0
x
x0 .
2) 当 x0 0时,
对 x x0 0 , 有 | x x0 | x .
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思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5 x2 ,
x0 x 0 在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0时， f ( x)的
极限是否存在？
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思考题解答
lim f ( x) lim (5 x2 ) 5, 存在；
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0, 存在.
对任给定的 0 , 可取 X ( ) max{ 2 , 2} .
证 毕.
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例2 问证：明 ： limlimx2x2 1 1？2． x xx11 x 1 1
证 | x2 1 2 | | x 1 2 | | x 1| ( 当 x 1时 ). x 1
对任给定的 0 , 可取 ( ) .
定义（“ - ”l）im f ( x) a 对任给定的
0（不论它x有多x0么 0小），都存在 = ( ) >0， 使得当 - < x-x0 < 0( 即 x0- < x < x0 )时， 恒有 | f (x) - a|< 成立。
极限是函数的局部性质。
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lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a.
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由lim n
xn
lim
n
f
(n)
lim f ( x) a x, xZ
对任给定的 0（不论它有多么小），都存
在正整数 N = N( ) ，使得当 n>N 时，恒有
| xn - a| = | f (n) - a| < 成立。
定义（“-X ”）lim f ( x) a 对任给定的
对此变化过程有 lim f (t) > 0.
?
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4. 保序性(比较定理) 若对自变量 t 的某一变 化过程，有 lim f (t) > lim g(t)，则在此变 化过程中的某一时刻之后，恒有 f (t) > g(t).
此性质等价于
若对自变量 t 的某一变化过程， f (t)、 g(t) 收敛，并且在此变化过程中的某一时刻 之后，恒有 f (t) g(t)，则对此变化过程有 lim f (t) lim g(t).
又 x x 2 , 可取 ( ) 2 .
(当 0 x x0 时, 有| x x0 | x .
lim x x0 0
x
x0 ).
证 毕.
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例4
设
x 1, f ( x) 2x 1,
x3 x3
判断 lim f ( x) 是否存在.
x3
解 f (3 0)( lim f (x)) lim ( x 1 ) 4
x30
x3-0
f (3 0) lim (2 x 1 ) 5 x30
有 f (3 0) f (3 0)
lim f ( x) 不存在. x3
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例5 1) 证明: lim( x2 1 ) 3； x2 2) 若给定 0.001，问 可取何值？
解 由|(x2 1) 3| | x2 4| | x 2|| x 2| 5| x 2|
x x0
xx0 0
xx0 0
例1
试问证：： lliimm xx
11 xx22
xx
?0．
证
|
1 x2
x
0|
|
1 x2
x
|
|
x2
1 |
|
x
|
( | x | 1时)
|
x
|2
1 |
x |2
(当 |
x | 2时)
|
2 x |2
.
(若限定 1 ,则
2
又
2
2
| x|
2
| x |2
2 2 . 可取X ( ) 2 )
X
水平渐近线y 0）
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*函数极限与数列极限的关系
lim (函数) f ( x) A
x＊ (连续的变化过程）
(数
列)
x无n 限趋近＊于 ，都
有lim n
f
( xn )
A.
注：此处的＊可以是
、 、 、x0、x0 0、x0 0, 且当＊ x0、x0 0、x0 0时, xn x0 .
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二、极限的统一描述
设对自变量 t 的某个变化过程，有一个函
数 f (t). 若对任给定的 > 0（不论它有多么
小），总存在此变化过程中的某一“时刻”
T=T( ) ，使得此变化过程中时刻 T 之后的任
意时刻 t （记作 “ t T ”） ，恒有 | f (t) - a |
< 成立。则称对此变化过程 f (t) 有极限（为
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*例7
证 明:
lim
x0
s
in
1 x
不 存 在.
证
取
xn
1
n
( 0) 0;
y sin 1 x
取 xn 1 /(2n / 2)
( 0) 0;
而 limsin
n
lim
n
sin
1 xn
1 xn
lim sin n
n
lim sin(2n n
0,
2
)
1,
二者不相等,
(当 | x 2| 1时, 有 5 x 2 3 , 从而 | x 2| 5 )
而 5| x 2| | x 2|
对 任 给 定 的
0
,
可 取
5
( )
min{
, 1 }.
lim ( x2 1 ) 3 .
特别,
对
5 0.001,
x2
可取 0.001 0.0002.
5
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一、各种变化过程中的极限
由 xn = f (n)， nZ+，有
lim
n
xn
lim
n
f
(n)
lim x, xZ
f (x)
lim f ( x)
x, xZ
极限问题中的两个要素：
1) 自变量的变化过程， 2) 函数。
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考虑６种自变量的连续变化过程：
1. x ; 2. x -; 3. x ; 4. x x0; 5. xx0+0 (或 x0+); 6. xx0-0 (或 x0-).
有水平渐进线 y = a 。
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定义（“-X ”）lim论它有多么小）， 都存在 X=X()>0，
使得当 |x| >X 时，恒有 | f (x) - a|< 成立。
几何解释
y
a
-X
O
X
x
即 lim f ( x) = a x 时， 曲线 y = f (x) x
a）或收敛（于 a），记作lim f (t ) a
t 的变化过程
或 f (t) a (t 的变化过程)
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“T=T()”和“t T ”的含义分别为：
自变量的 变化过程
变化过程 中时刻 T
T 时刻之后的任意
时刻 t（ T）
n
N
n>N
x
X
|x| > X
x +
X
x>X
x -
四、讨论：函数(x) x 在 x 0 时的极限是否
x 存在?
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练习题答案
一、1、0.0002； 四、不存在.
2、 397 .
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谢谢您的观看！
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*例6 证问明：： limlimsinsixn x ？0.
xx x x
证 sin x 0 sin x 1 ， 0,
取X 1,
x
xx
则当 x X时，恒有
sin x 0 ,
x
故 lim sin x 0. 证毕.
x
（曲线
x
y
sin
x
有
X
x
y sin x x
此性质等价于
若对自变量 t 的某一变化过程， f (t) 收敛，并且在此变化过程中的某一时 刻之后，恒有 f (t) 0 ( 0)，则对此变化过程有 lim f (t) 0 ( 0).
注意 若对自变量 t 的某一变化过程， f (t) 收敛，并且在此变化过程中的某一时刻
之后，恒有 f (t) > 0
y
几何解释
y f (x)
a
a
a
o
x0 x0 x0
x
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定义（“ - ”）lim f ( x) a 对任给定的
0（不论它x有多x0么 0小），都存在 = ( ) > 0， 使得当 0 < x-x0 < ( 即 x0< x < x0+ )时， 恒有 | f (x) - a|< 成立。
(当 0 | x 1| 时, 恒有
| f (x) 2|| x2 1 2|| x 1| 成立,
x 1
lim x2 1 2 )．证毕.
x1 x 1
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*例3 设 x0 0, 试证
证 对任给定的 >0，
:
lim
x x0 0
x
x0 .
1) 当 x0>0 时，
| x x0 | x x0 ( x x0 时 )
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定义（“-X ”）lim f ( x) a 对任给定的
x
0（不论它有多么小）， 都存在 X=X()>0，
使得当 x < -X 时，恒有 | f (x) - a|< 成立。
几何解释
y
a
-X
O
x
即 lim f ( x) = a x - 时，曲线 y = f (x) x