广东省惠州市芦岚中学高三数学文月考试题含解析

广东省惠州市芦岚中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为( )
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数
参考答案：
D
【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；新定义．
【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．
【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，
∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），
∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．
故选：D．
【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．
2. 若平面区域的面积为3，则实数k的值为（）
A． B．C．D．
参考答案：
B
3. 等差数列的前项和为，若，的值为（）
10 20 25
30
参考答案：
D
略
4. 已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是
A． B．
C． D．
参考答案：
D
5. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为，选C.
6. 函数y=（x≠1且x≠3）的值域为（）
A．[，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）参考答案：
D
【考点】二次函数的性质；函数的值域．
【分析】结合二次函数的图象和性质，分析出分母的取值范围，进而可得函数y=
（x≠1
且x≠3）的值域．
【解答】解：∵x2﹣4x+3≥﹣1，
当x≠1且x≠3时，x2﹣4x+3≠0，
故x2﹣4x+3∈[﹣1，0）∪（0，+∞），
故函数y=（x≠1且x≠3）的值域为（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞），
故选：D
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的值域，难度中档．
7. 若数列{a n}满足＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是()
A．10 B．100 C．200 D．400
参考答案：
B
略
8. 已知点（，）（N*）都在函数（）的图象上，则与的大小关系是（）
A．＞B．＜
C．＝D．与的大小与有关
参考答案：
A
略
9. 设的最小正周期为，且对任意实数都有
，则
(A)在上单调递减(B)在上单调递减
(C) 在上单调递增(D)在上单调递增
参考答案：B
10. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域是
参考答案：
12.
设的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若h+t=272，则二项展开式为x2项的系数为。

参考答案：
答案：1
13. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为
参考答案：
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图得该几何体是，四分之三圆柱上叠一个半圆锥，把数据代入体积公式即可求出结果．
【解答】解：由三视图得该几何体是，四分之三圆柱上叠一个半圆锥，
该几何体的体积为V==
故答案为：
14. 在△ABC中，AB=4，AC=6，且，则BC= ．
参考答案：
7
15. 已知点,为坐标原点,动点满足,则点所构成的平面区域的面积是__________．
参考答案：
4
16. 如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）
（3）所示．
给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是．
参考答案：
②③
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】阅读型；数形结合．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．
【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；故②正确；
由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确
故答案为：②③．
【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题的关键是对图形的理解．
17. 若不等式对于x∈R恒成立，则实数的取值范围是_________
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，已知点D在边BC上，且，，.
（1）若，求sin C的值；
（2）若，求BC边上的中线AE的长.
参考答案：
(1)
.
（2）∵∴
又，所以
19. （本小题10分，坐标系与参数方程选讲）
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为
.已知点在椭圆：上，求点到直线的距离的最大值.
参考答案：
直线的极坐标方程为，则
……………………………………4分
设，其中
点到直线的距离，其中
所以当时，的最大值为…………………………………………10分
20. 已知函数，．
（1）若f(x)在点处的切线与直线垂直，求函数f(x)在A点处的切线方程；（2）若对于，恒成立，求正实数m的取值范围；
（3）设函数，且函数有极大值点，求证：.
参考答案：
（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由求得实数的值，可求出切点坐标，再利用点斜式方程可得出所求切线的方程；（2）令，且有，对实数进行分类讨论，利用导数分析函数
在区间上的单调性，结合可求得实数的取值范围；
（3）由题意得出，可得出，且，代入，利用导数证明出对任意的恒成立即可. 【详解】（1），则，
直线斜率为，由题意可得，解得，
所以，，则，则点，
因此，所求切线的方程为，即；
（2），恒成立，即恒成立，
令，其中，且，则对恒成立，
.
①当时，对任意的，，此时，函数在上单调递增，此时，，不合乎题意；
②当时，则.
（i）若，则，对，，此时，函数在上单调递减，则，合乎题意；
（ii）若，则，
令，得，解得，，
由韦达定理得，则必有，
当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减.
所以，，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），所以，，
函数的定义域为，
由于函数有极大值点，则，解得或.
设方程的两根分别为、，则，
若，则且，不合乎题意；
若，则且，合乎题意.
由于函数的极大值点为，则，即，
当时，；当时，；当时，.
且，可得，
令
，
，
当时，，则，此时.
所以，函数在区间上单调递减，
因为，则，因此，.
【点睛】本题考查利用导数求切线方程，利用导数研究不等式恒成立以及证明不等式，利用导数研究函数的单调性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
21. （理）如图，在直三棱柱中，，。

M、N分别是AC 和BB1的中点。

（1）求二面角的大小。

（2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面⊥平面，并
求出的长度。

参考答案：
（理）解：方法一（向量法）
如图建立空间直角坐标系……………………1分
（1）
∴
设平面的法向量为，平面的法向量为
则有…………3分
…………5分设二面角为θ，则
∴二面角的大小为60°。

…………7分
（2）设………………9分
∵
∴，设平面的法向量为
则有：…………11分由（1）可知平面的法向量为
∵平面⊥平面
∴即，
此时。

………………14分
方法二：（1）取中点，连接
∵∴
又∵∴
∴∴
过做于H，连接
∴∴
∴为二面角的平面角………………4分
有：
∵∽，，，
∴
∴
∴…………………………7分
22. 已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．
（i）求a的取值范围；
（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；
（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构
造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1?x2＞e2．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，
则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，
∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，
则g（x）开口向上，对称轴x=1，
则a＞0，
∴a的取值范围（0，+∞）；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，
则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，
即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．
（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，
只须0＜a＜k．…6分
令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=， =，
解得，x0=1，于是k=，
∴0＜a＜
；
…8分
解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，
求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）
若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，
g（x）在（0，+∞）单调增，
此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分
若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，
从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g（）=ln﹣1，…6分
又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：
g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，
∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜
；…8分
（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，
即lnx1=ax1，lnx2=ax2，
不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，
原不等式x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，
ln＞，
令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分
设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，
∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（1）=0，
即不等式lnt＞，成立，
故所证不等式x1?x2＞e2成立．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．。