【KS5U解析】湖南省岳阳市部分省重点高中2014-2015学年高一上学期期考数学试卷 Word版含解析

湖南省岳阳市部分省重点高中2014-2015学年高一上学期期考数学试卷
一、本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）函数f（x）=+的定义域是（）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≥﹣1且x≠2} C．{x|x＞﹣1且x≠2} D．{x|x＞﹣1}
2．（3分）下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）
A．B．y=2x﹣1 C．D．y=﹣x3
3．（3分）关于循环结构的论述正确的是（）
A．①是直到型循环结构④是当型循环结构
B．①是直到型循环结构③是当型循环结构
C．②是直到型循环结构④是当型循环结构
D．④是直到型循环结构①是当型循环结构
4．（3分）下列选项中不是右图中几何体的三种视图之一的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）一条直线经过点A（2，﹣3），并且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程是（）
A．y+3=（x﹣2）B．y﹣3=（x+2）C．y+3=（x﹣2）D．y﹣3=（x+2）
6．（3分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，现沿BD将△ABD折起并使得AC=（如图所示），则二面角A﹣BD﹣C的大小为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
7．（3分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25
8．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的编号为003．这600名学生分住在3个营区，从001到300住在第1营区，从301到495住在第2营区，从496到600住在第3营区，则3个营区被抽中的人数依次为（）
A．26，16，8 B．25，16，9 C．25，17，8 D．24，17，9
9．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f（x+2）=f（x）．当x∈
B、y=2x﹣1的定义域是R，并且是增函数，且在（﹣1，1）上零点为0，故正确；
C、在（﹣1，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，故不正确；
D、y=﹣x3是减函数，故不正确．
故选B．
点评：考查基本初等函数的定义域和单调性以及函数的零点问题，属基础题．
3．（3分）关于循环结构的论述正确的是（）
A．①是直到型循环结构④是当型循环结构
B．①是直到型循环结构③是当型循环结构
C．②是直到型循环结构④是当型循环结构
D．④是直到型循环结构①是当型循环结构
考点：流程图的概念．
专题：图表型．
分析：欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环．解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后．
解答：解：观察图（1），它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图．
观察图（4），它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；
故（1）是直到型循环结构，（4）是当型循环结构．
故选：A．
点评：本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
4．（3分）下列选项中不是右图中几何体的三种视图之一的是（）
A．B．C．D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：作图题；空间位置关系与距离．
分析：由题意，A为几何体的正视图，B为几何体的侧视图，C为几何体的俯视图，即可得出结论．
故选：D．
点评：三视图的画图规则：①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等；②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
5．（3分）一条直线经过点A（2，﹣3），并且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程是（）
A．y+3=（x﹣2）B．y﹣3=（x+2）C．y+3=（x﹣2）D．y﹣3=（x+2）
考点：直线的倾斜角．
专题：直线与圆．
分析：设直线y=x的倾斜角为θ，θ∈
点评：本题主要考查二面角的求解，根据二面角平面角的定义，先找出平面角是解决本题的关键．
7．（3分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25
考点：圆的切线方程；圆的标准方程．
专题：计算题．
分析：设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．
解答：解：设圆心为，
则，
当且仅当a=1时等号成立．
当r最小时，圆的面积S=πr2最小，
此时圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；
故选A．
点评：本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．
8．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的编号为003．这600名学生分住在3个营区，从001到300住在第1营区，从301到495住在第2营区，从496到600住在第3营区，则3个营区被抽中的人数依次为（）
A．26，16，8 B．25，16，9 C．25，17，8 D．24，17，9
考点：系统抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据系统抽样的方法的要求，确定抽取间隔即可得到结论．
解答：解：由题意知，被抽中的学生的编号满足y=12n﹣9（1≤n≤50，n∈N*）．
令1≤12n﹣9≤300，得1≤n≤25，
故第1营区被抽中的人数为25；
令301≤12n﹣9≤495，得26≤n≤42，
故第2营区被抽中的人数为17；
令496≤12n﹣9≤600得43≤n≤50，
故第3营区被抽中的人数为8．
点评：本题主要考查系统抽样方法．根据系统抽样的定义确定抽取间距，利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键．
9．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f（x+2）=f（x）．当x∈
A．﹣B．﹣5 C．﹣D．﹣6
考点：函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题利用条件f（x+2）=f（x）和函数为奇函数，将自变量6转化到区间
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用对数与指数互化的运算法则化简求值即可．
解答：解：所以．
故答案为：．
点评：本题考查指数与对数的互化，表达式的值的求法，考查计算能力．
13．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中有四点O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（2，3，4），则多面体OABC的体积是3．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：多面体OABC是以△OAB为底面，2为高的三棱锥，即可求出多面体OABC的体积．
解答：解：多面体OABC是以△OAB为底面，2为高的三棱锥，
所以多面体OABC的体积是．
故答案为：3．
点评：本题考查多面体OABC的体积，考查学生的计算能力，比较基础．
14．（4分）如图所示的程序框图，输入m=98，n=63时，程序运行结束后输出的m，i值的和为11．
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的r，m，n，i的值，当r=0时，满足条件r=0，退出循环，输出m的值为7，i的值为4，即可求解．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
i=0，m=98，n=63
r=35，m=63，n=35，i=1
不满足条件r=0，r=28，m=35，n=28，i=2
不满足条件r=0，r=7，m=28，n=7，i=3
不满足条件r=0，r=0，m=7，n=0，i=4
满足条件r=0，退出循环，输出m的值为7，i的值为4．
故有：m，i值的和为7+4=11．
故答案为：11
点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的r，m，n，i的值是解题的关键，属于
15．（4分）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为③④⑤（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．
考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．
专题：函数的性质及应用．
分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解答：解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：
，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），
它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．
当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；
当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，
命题③正确；
指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为：③④⑤．
点评：本题考查几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（6分）已知集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞a}，其中a为实数．
（1）当a=1时，求（∁R A）∩B；
（2）当A∩B≠∅，求A∪B．
考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算．
专题：集合．
分析：（1）当a=1时，根据集合的基本运算即可求（∁R A）∩B；
（2）当A∩B≠∅，求出a的取值范围即可求A∪B．
解答：解：（1）当a=1时，B={x|x＞1}，又∁R A={x|x＞4或x＜2}，
所以（∁R A）∩B={x|1＜x＜2或x＞4}﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
（2）A∩B≠∅，则a＜4
当a＜2时，A∪B={x|x＞a}﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
当2≤a＜4时，A∪B={x|x≥2}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．
17．（8分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：直线与圆．
分析：（1）由垂直可得a+3（a﹣2）=0，解之即可；（2）由平行可得a=3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．
解答：解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）=0，…4分
解得；…6分
（2）当l1∥l2时，有，…8分
解得a=3，…9分
此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0即3x+3y+9=0，
故它们之间的距离为．…12分．
点评：本题考查直线的一般式方程的平行和垂直关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．
18．（8分）如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD 的交点，，M是线段B1D1的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D1AC；
（Ⅱ）求证：D1O⊥平面AB1C．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：证明题．
分析：（Ⅰ）欲证BM∥平面D1AC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BM与平面D1AC内一直线平行，连接D1O，易证四边形D1OBM是平行四边形，则D1O∥BM，D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证D1O⊥平面AB1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证D1O与平面AB1C内两相交直线垂直，连接OB1，根据勾股定理可知OB1⊥D1O，AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，满足定理所需条件．
解答：解：（Ⅰ）连接D1O，如图，
∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BDD1B1是矩形，
∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．（3分）
∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，
∴BM∥平面D1AC．（7分）
（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，
∴，OB1=2，D1O=2，
则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．（10分）
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，
∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，
∴D1O⊥平面AB1C．（14分）
点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
19．（9分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；
（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
考点：分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；应用题；分类讨论；函数的性质及应用．
分析：（1）根据y=g（t）•f（t），可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y的最大值和最小值．
解答：解：（1）依题意，可得：
，
所以；
（2）当0≤t≤10时，y=（30+t）（40﹣t）=﹣（t﹣5）2+1225，
y的取值范围是，在t=5时，y取得最大值为1225；
当10＜t≤20时，=（50﹣t）（40﹣t）=（t﹣45）2﹣25，
y的取值范围是
解答：解：（1）∵f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），
∴f（x）是定义域为R的奇函数，
∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，
∴，又∵a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1．
∵a x单调递减，a﹣x单调递增，
∴f（x）在R上单调递减．
不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），
∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．
（2）∵f（1）=，∴，即2a2﹣3a﹣2=0．
∴a=﹣（舍去）或a=2，
∴a=2，
∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．
令t=f（x）=2x﹣2﹣x，
由（1）可知t=f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=，
令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），
若m≥，
当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2
若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去
综上可知m=2．
点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，还考查了转化化归和分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．。