最新强化训练沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题测评试卷(含答案详解)

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，正ABC 的边长为3cm ，边长为1cm 的正RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将RPQ 沿着边AB ，BC ，CA 连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为（ ）
A ．cm π
B ．2cm π
C ．3cm π
D ．6cm π
2、下列说法正确．．
的个数有（ ） ①方程210x x -+=的两个实数根的和等于1；
②半圆是弧；
③正八边形是中心对称图形；
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；
⑤如果反比例函数的图象经过点()1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3、如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中点C ，D ，E 在AB 上，点F ，N 在半圆上．若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（ ）
A ．25
B ．50
C ．30π-
D ．502π-
4、如图，BD 是⊙O 的切线，∠BCE ＝30°，则∠D ＝（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．30°
5、下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6、如图，直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1
个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A．
7
(,0)
3
-B．
17
(,0)
3
-
C．
7
(,0)
3
-或
17
(,0)
3
-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
7、在△ABC中，CA CB
=，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（）
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
8、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）
A ．50°
B ．55°
C ．65°
D ．75°
9、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若OA ＝2，∠B ＝60°，则CD 的长为（ ）
A B ．C ．D ．4
10、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（ ）
A ．3
2 B C D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，正方形ABCD 的边长为1，⊙O 经过点C ，CM 为⊙O 的直径，且CM ＝1．过点M 作⊙O 的切线分别交边AB ，AD 于点G ，H ．BD 与CG ，CH 分别交于点E ，F ，⊙O 绕点C 在平面内旋转（始终保持圆心O 在正方形ABCD 内部）．给出下列四个结论：
①HD ＝2BG ；②∠GCH ＝45°；③H ，F ，E ，G 四点在同一个圆上；④四边形CGAH 面积的最大值为2
_____（填写所有正确结论的序号）
．
2、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．
3、如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，∠C =30°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，若BC =4，则图中阴影部分面积为___________（用含π的代数式表示）．
4、如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，点A 、点B 为切点，线段OP 交⊙O 于点M ．下列结论：①PA ＝PB ；②OP ⊥AB ；③四边形OAPB 有外接圆；④点M 是△AOP 外接圆的圆心．其中正确的结论是_____（填序号）．
5、在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，4AC AB ==，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE △绕点A 逆时针旋转，得到等腰11Rt AD E ，记直线1BD 与1CE 的交点为P ，则点P 到AB 所在直线的距离的最大值为________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，O 与AC 的另一个交点为E ．
（1）求证：BO 平分ABC ∠；
（2）若30A ∠=︒，1AE =，求BO 的长．
2、已知：如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点．以BD 为直径作O ，交边AB 于点P ，连接PC ，交AD 于点E ．
（1）求证：AD 是O 的切线；
（2）若PC是O的切线，8
BC ，求PC的长．
3、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．
4、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．
圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）
（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．
求证：线段AB是⊙O的直径．
请你结合图①写出推论1的证明过程．
（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为．
（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形
ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝DE的长为．
5、如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，点E是⊙A上的一动点，点E绕点D按逆时针方向转转90°，得到点F，接AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3）AF的最大值是__________．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆
心，所以没有路程，同理在AC 和BC 上也是相同的情况，由此求解即可．
【详解】
解：从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=1201180⨯π，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，在BC 边上，第一次
1201180⨯π，第二次同样没有路程，AC 边上
也是如此，点P 运动路径的长为
1201180⨯π×3=2π． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P 点的运动轨迹．
2、B
【分析】
根据所学知识对五个命题进行判断即可．
【详解】
1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；
3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；
4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；
5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0k >,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误 综上所述，正确个数为3
故选B
【点睛】
本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．
3、A
【分析】
连接ON，OF，根据题意可得：ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，然后①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，从而得到y-DO=x，再代入②，即可求解．
【详解】
解：如图，连接ON，OF，
AB ，
∵直径10
∴ON=OF=5，
设CN=x，EF=y，
由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，
y2+(y-DO)2=25②，
①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，
因为x+y＞0，
所以x+DO-y=0，即y-DO=x，
代入②，得x2+y2=25，
即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是25．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的关键．
【分析】
连接OB ，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得60BOD ∠=︒，根据切线的性质可得90OBD ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得D ∠．
【详解】
解：连接OB
BE BE =
30BAE BCE ∴∠=∠=︒
OB OA =
30OBA OAB ∴∠=∠=︒
60BOD OBA OAB ∴∠=∠+∠=︒
BD 是⊙O 的切线
90OBD ∴∠=︒
30D ∴∠=︒
故选D
【点睛】
本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
6、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，
∴PD AP OB AB
=，
∴1
35
AP =，
∴AP= 5
3
，
∴OP= 7
3
或OP=
17
3
，
∴P
7
(,0)
3
-或P
17
(,0)
3
-，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
7、B
【分析】
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB
⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系
解：连接CO,
=，点O为AB中点．
CA CB
∴⊥
CO AB
CO为⊙C的半径，
∴是C的切线，
AB
∴⊙C与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】
本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．8、C
【分析】
首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠A ＝1
2∠BOC ＝25°，
∴∠D ＝90°﹣∠A ＝65°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9、B
【分析】
先证明OCB 是等边三角形，再证明,CE DE =求解sin 603,CE CO 从而可得答案. 【详解】
解：2,60,OA OB OC B
OCB ∴是等边三角形， 60,BOC
,AB CD ∴⊥ 3,sin 6023,2CE DE CE CO
22 3.CD CE
故选B
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明OCD 是等边三角形是解本题的关键.
10、B
【分析】
连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由
OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12
AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．
【详解】
如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，
∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，
∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，
∴2120AOB C ∠=∠=︒，
∵OA OB =，
∴AOB 是等腰三角形， ∴1602
∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，
∴12OD =，AD ==
∴2AB AD ==
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．
二、填空题
1、②③④
【分析】
根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，
∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．
【详解】
∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，
∴∠CMH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CMH=∠CDH=90°，
∵CM=CD，CH=CH，
∴△CMH≌△CDH，
∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，
同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，
∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，
故①错误；
∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，
∴2∠HCM+2∠GCM=90°，
∴∠HCM+∠GCM=45°，
即∠GCH＝45°，
故②正确；
∵△CMH ≌△CDH ，BD 是正方形的对角线，
∴∠GHF =∠DHF ，∠GCH =∠HDF =45°，
∴∠GHF +∠GEF =∠DHF +∠GCH +∠EFC
=∠DHF +∠HDF +∠HFD
=180°，
根据对角互补的四边形内接于圆，
∴H ，F ，E ，G 四点在同一个圆上，
故③正确；
∵正方形ABCD 的边长为1，
∴BCG GCHA ABCD S S S S =--△△CDH 四边形四边形 =11
()2BG DH -+
=1
12GH -，∠GAH =90°，AC 取GH 的中点P ，连接PA ，
∴GH =2PA ，
∴GCHA S 四边形=1PA -，
∴当PA 取最小值时，GCHA S 四边形有最大值，
连接PC ，AC ，
则PA +PC ≥AC ，
∴PA ≥AC - PC ，
∴当PC 最大时，PA 最小，
∵直径是圆中最大的弦，
∴PC =1时，PA 最小，
∴当A ，P ，C 三点共线时，且PC 最大时，PA 最小，
∴PA ，
∴GCHA S 四边形最大值为：1-），
∴四边形CGAH 面积的最大值为2
∴④正确；
故答案为: ②③④．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键． 2、3
π 【分析】
根据圆心角为n ︒的扇形面积是2
360
n R S π=进行解答即可得． 【详解】 解：这个扇形的面积212013603
ππ⨯==．
故答案是：
3
π． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．
3、3π
【分析】
连接OD ，根据阴影部分面积为OBD ODA S S +△扇形，根据等边三角形的面积，扇形面积公式进行计算即可
【详解】
解：如图，连接OD
,30AB AC C ⊥∠=︒，4BC =，
16022
B AB B
C ∴∠=︒==，， AB 为直径
112
OB OD AB ∴=== OBD ∴△是等边三角形
60BOD ∴∠=︒
180120AOD BOD ∴∠=︒-∠=︒
21OBD S ∴==△
∴阴影部分面积为OBD ODA S S +△扇形
212013603ππ⨯=+=
故答案为：
3π【点睛】 本题考查了求扇形面积，添加辅助线将阴影部分面积转化为OBD ODA S S +△扇形是解题的关键．
4、①②③
【分析】
根据切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③，利用反证法判断④．
【详解】 解：如图， ,PA PB 是O 的两条切线，
,,PA PB APO BPO ∴=∠=∠ 故①正确，
,,PA PB APO BPO =∠=∠
,PO AB ∴⊥ 故②正确，
,PA PB 是O 的两条切线，
90,OAP OBP ∴∠=∠=︒
取OP 的中点Q ，连接,AQ BQ ，则1,2
AQ OP BQ == ∴以Q 为圆心，QA 为半径作圆，则,,,B O P A 共圆，故③正确，
M 是AOP 外接圆的圆心，
,MO MA MP AO ∴===
60,AOM ∴∠=︒ 与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是①②③．
故填①②③．
【点睛】
本题属于圆的综合题，主要考查的是切线长定理、三角形的外接圆、四边形的外接圆等知识点，综合运用圆的相关知识是解答本题的关键．
5、1##
【分析】
首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
【详解】
解：如图，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，
当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，
此时四边形AD 1PE 1是正方形，
∵∠CAB =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，
∴AD =AE 1=AD 1=PD 1=2，
则BD 1=
故∠ABP =30°，
则PB
∴PG =1
2PB =1，
故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：PG =1
故答案为：1+
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG 的最长时P 点的位置是解题关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）连接OD ，由O 与AB 相切得90ODB ∠=︒，由HL 定理证明Rt BDO Rt BCO ≅由全等三角形的性质得DBO CBO ∠=∠，即可得证；
（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，得出关系式求出x ，可得出AC 的长，在Rt ACB 中，由正切值求出BC ，在Rt BCO △中，由勾股定理求出BO 即可．
【详解】
（1）
如图，连接OD ，
∵O 与AB 相切，
∴90ODB ∠=︒，
在Rt BDO △与Rt BCO △中，
DO CO BO BO
=⎧⎨=⎩， ∴()Rt BDO Rt BCO HL ≅，
∴DBO CBO ∠=∠，
∴BO 平分ABC ∠；
（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，
在Rt ADO 中，30A ∠=︒，1AE =，
∴21x x =+，
解得：1x =，
∴1113AC =++=，
在Rt ACB 中，tan BC A AC =，即tan 303BC AC =⋅︒==
在Rt BCO
△中，2
BO===．
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）PC=
【分析】
（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得
∠=︒，最后利用勾股定理求出PC的长．
90
OPC
【详解】
（1）证明：∵AB＝AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD＝DC＝4，
OD＝OP＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC 是⊙O 的切线，O 为圆心，
∴90OPC ∠=︒．
在R t△OPC 中，
由勾股定理，得
OC 2 ＝ OP 2 + PC 2
∴PC 2 ＝ OC 2－O P 2
＝ 62－22
32=
∴PC =
【点睛】
本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．
3、（1）见解析；（2）【分析】
（1）连接OB ，证明△AOB ≌△AOC （SSS ），可得∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即可证明AC 为⊙O 的切线；
（2）在Rt△BOD 中，勾股定理求得BD ，根据sin D ＝
OB OD ＝AC AD
，代入数值即可求得答案 【详解】
解：（1）连接OB ，
∵AB 是⊙O 的切线，
∴OB ⊥AB ，
即∠ABO ＝90°，
∵BC 是弦，OA ⊥BC ，
∴CE ＝BE ，
∴AC ＝AB ，
在△AOB 和△AOC 中，
AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），
∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，
即AC ⊥OC ，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，
BD
∵sin D ＝
OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴2
4
解得AC ＝
∴AD ＝BD +AB ＝
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4、【推论证明】见解析；【拓展应用】1+
【分析】
推论证明：根据圆周角定理求出180AOB ∠=︒，即可证明出线段AB 是⊙O 的直径；
深入探究：连接AB ，首先根据∠ACB ＝90°得出AB 是⊙O 的直径，然后求出30BCD ∠=︒，然后根据同弧所对的圆周角相等得到30BAD ∠=︒，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD 的长度，最后根据勾股定理即可求出AD 的长度；
拓展应用：连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，首先根据等边三角形三线合一的性质求出AE BC ⊥，然后证明出A ，E ，C ，D 四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出45CED CAD ∠=∠=︒，30EDC EAC ∠=∠=︒，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：推论证明：∵90C ∠=︒
∴180AOB ∠=︒，
∴A ，B ，O 三点共线，
又∵点O 是圆心，
∴AB 是⊙O 的直径；
深入探究：如图所示，连接AB ，
∵∠ACB ＝90°
∴AB 是⊙O 的直径
∴90ADB ∠=︒
∵∠ACD ＝60°
∴30BCD ACB ACD ∠=∠-∠=︒
∵DB DB =
∴30BAD BCD ∠=∠=︒
∴在Rt ABD ∆中，112
BD AB ==
∴
AD
拓展应用：如图所示，连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，
∵△ABC 是等边三角形，点E 是BC 的中点
∴AE BC ⊥，1302CAE BAC ∠=∠=︒
又∵以AC 为底边在三角形ABC 外作等腰直角三角形ACD ∴90ADC ∠=︒，45DAC ∠=︒
∴点A ，E ，C ，D 四点都在以AC 为直径的圆上， ∵DC DC =
∴45CED CAD ∠=∠=︒
∵CF ⊥DE
∴EFC ∆是等腰直角三角形
∴EF CF =，222EF CF EC +=
∴222EF EC =
∵1
122
EC BC AB ===
∴222EF =
，解得：1EF =
∴1FC = ∵EC EC =
∴30EDC EAC ∠=∠=︒
∴在Rt FCD ∆中，22CD FC ==
∴DF
∴1DE EF DF =+=
【点睛】
此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和
等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．
5、（1）1；（2
1
1；（3
）1
【分析】
（1）连接AE ，根据同角的余角相等可得：EDA FDC ∠=∠，利用全等三角形的判定定理可得：EDA FDC ∆≅∆，再由其性质即可得解；
（2）分两种情况讨论：①当点E 在正方形内部时，点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切；②当点E 在正方形外部时，点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切；两种情况分别利用勾股定理进行求解即可得；
（3）根据题意判断出AF 最大时，点C 在AF 上，根据正方形的性质求出AC ，从而得出AF 的最大值．
【详解】
解：（1）连接AE ，如图所示：
∵90EDF ADC ∠=∠=︒，
即：90EDA ADF ADF FDC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴EDA FDC ∠=∠，
在EDA ∆与FDC ∆中，
ED FD EDA FDC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴EDA FDC ∆≅∆，
∴1CF AE ==；
（2）①如图所示：当点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切，
则90AFC ∠=︒，
AC ==
1CF =，
∴AF =，
∴1EF AF AE =-=；
②如图所示：当点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切，
则1
90AFC ∠=︒，
AC=
11
CF=，
∴
1
AF=
∴
111
EF AF AE
=+；
综合可得：当点A、E、F三点共线时，EF11；
（3）如图所示，点C在线段AF上，AF取得最大值，
AF AC CF
=+，
∵AC=
∴1
AF=，
即：AF的最大值是1，
故答案为：1．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，切线及旋转的性质，勾股定理等，理解题意，画出相应辅助图形是解题关键．。