考研数学二(解答题)模拟试卷49(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷49(题后含答案及解析) 题型有：1.
1．计算不定积分
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
2．设A，B是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A－1B=B－4E．证明A－2E 可逆．
正确答案：用A左乘2A－1B=B－4E两侧得2B=AB－4A．即(A－2E)B=4A．由A可逆，得A－2E可逆．涉及知识点：矩阵
3．求
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
4．若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(z)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．
正确答案：令u(n一1)(x)=φ(n一1)(x)一ψ(n一1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)=u(n)(ξ)．(x一x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)＞0，且u(n一1)(x0)=0，所以u(n一1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n一1)(x)＞ψ(n一1)(x)．同理u(n 一2)(x)=φ(n一2)(x)一ψ(n一2)(x)＞0．归纳有u(n一3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．涉及知识点：一元函数微分学
5．设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值．若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T，都是A的属于特征值6的特征向量．(1)求A的另一特征值和对应的特征向量；(2)求矩阵A．
正确答案：(1)λ＝0，k(－1，1，1)T，k≠0．(2) 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
6．曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．
正确答案：取[x，x+dx][1，2]，dv=2πx｜(x-1)(x-2)｜dx=-2πx(x-1)(x-2)dx，V=∫12dv=-2π∫12(x3-3x2+2x)dx= 涉及知识点：高等数学部分
7．
正确答案：如图8．15所示．涉及知识点：二重积分
8．变换二次积分的积分次序：。

正确答案：涉及知识点：二重积分
9．设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为ξ1=，求Anβ．
正确答案：方法一令P=方法二令ξ=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，解得x1=2，x2=2，x3=1，则Anβ=2Anξ1-2Anξ2+Anξ3= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
10．设f(x)二阶连续可导，且f’’(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：
正确答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+，其中ξ介于x与x+h之间．由已知条件得f’(x+θh)h=f’(x)h+，或f’(x+θh)-f’(x)=两边同除以h，得涉及知识点：一元函数微分学
11．设z=
正确答案：由涉及知识点：多元函数微分学
设矩阵A=
12．若A有一个特征值为3，求a；
正确答案：｜λE-A｜=(λ-1)[λ2-(a+2)λ+2a-1]，把λ=3代入上式得a=2，于是A= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
13．求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．
正确答案：由｜λE-A2｜=0得A2的特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．当λ=1时，由(E-A2)X=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，-1，1)T；当λ=9时，由(9E-A2)X=0得α=(0，0，1，1)T．将α1，α2，α3正交规范化得β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，β3=令P=(β1，β2，β3，β4)= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
14．设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．
正确答案：(1)因为A2＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0 (n－r重)，则二次型XTAX的标准形为y12＋y22＋…＋yr2．(2)令B＝E＋A＋A2＋…＋An，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故｜E＋A＋A2＋…＋An｜＝｜B｜＝(n＋1)r．涉及知识点：二次型
15．设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又f’(0)=1，求f(x)．
正确答案：取a=0，b=0得f(0)=0．通解为f(x)=[∫ex.e∫dxdx+C]e-∫-dx=(x+C)ex，由f(0)=0得C=0，故f(x)=xex．涉及知识点：常微分方程
16．设连续函数f(x)满足：[f(x)+xf(xt)]dt与x无关，求f(x)．
正确答案：即f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x．涉及知识点：常微分方程
17．设f(x)二阶可导，且=x+1，求f(x)．
正确答案：f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x．涉及知识点：常微分方程
18．如图3—4所示，设抛物线y=ax2+bx，当0≤x≤1时y≥0，若该抛物线与x轴以及直线x=1所围成的封闭图形的面积为，试求a，b的值，使此平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小．
正确答案：平面图形的面积为该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为又，该曲线与x轴以及直线x=1所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小．涉及知识点：一元函数积分学
19．求曲线y3＋y2＝2x在点(1，1)处的切线方程与法线方程．
正确答案：
20．
正确答案：涉及知识点：综合。