2023年人教版高中数学第三章函数的概念与性质易错知识点总结

(名师选题)2023年人教版高中数学第三章函数的概念与性质易错知识点总结
单选题
1、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（ ） A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2x C ．f (x )=−x 2−x +1D ．f (x )=2−3
x 答案：D
分析：根据各个函数的性质逐个判断即可
对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对． 对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．
对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−1
2，在(−∞,−1
2)是增函数，故C 不对． 对D ，f (x )=2−3
x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对．
故选：D
2、函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，且a 为实数，则有（ ） A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+1)<f (a )D ．f (a 2−a )<f (a ) 答案：C
分析：利用a =0可排除ABD ；根据函数单调性和a 2+1>a 恒成立可知C 正确. 当a =0时，ABD 中不等式左右两侧均为f (0)，不等式不成立，ABD 错误； ∵a 2+1−a >0对于a ∈R 恒成立，即a 2+1>a 恒成立，又f (x )为R 上的减函数，
∴f (a 2+1)<f (a )，C 正确. 故选：C.
3、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ） A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3 答案：B
分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解. 由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，
因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1
，解得k =3,b =−2，
所以f (x )=3x −2. 故选：B.
4、下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是（ ） A ．y =x +1
x
B ．y =−x 3
C ．y =2−|x |
D ．y =−1
x
2
答案：C
分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
解析：A 项y =x +1
x ，B 项y =−x 3均为定义域上的奇函数，排除； D 项y =−1
x 2为定义域上的偶函数，在(0,+∞)单调递增，排除；
C 项y =2−|x |为定义域上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减. 故选：C.
5、已知函数f(x)在定义域R 上单调，且x ∈(0,+∞)时均有f(f(x)+2x)=1，则f(−2)的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．−1 答案：A
分析：设f(x)+2x =t ，则f(x)=−2x +t ，即可由f(f(x)+2x)=1得f(t)=−2t +t =1，解出t ，从而得到f(x)=−2x −1，进而求出f(−2)的值．
根据题意，函数f(x)在定义域R上单调，且x∈(0,+∞)时均有f(f(x)+2x)=1，
则f(x)+2x为常数，设f(x)+2x=t，则f(x)=−2x+t，
则有f(t)=−2t+t=1，解可得t=−1，则f(x)=−2x−1，故f(−2)=4−1=3；
故选：A.
6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x−5)f(x−1)<0的解集为（）
A．(−2,5
2)∪(4,+∞)B．(4,+∞)C．(−∞,−2)∪[5
2
,4]D．(−∞,−2)
答案：A
分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间
符号，讨论{2x−5>0
f(x−1)<0、{2x−5<0
f(x−1)>0求解集即可. 由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，对于(2x−5)f(x−1)<0，
当{2x−5>0
f(x−1)<0，即{
x>5
2
x−1<−3
或{
x>5
2
x−1>3
，可得x>4；
当{2x−5<0
f(x−1)>0，即{
x<5
2
−3<x−1<3
，可得−2<x<5
2
；
综上，解集为(−2,5
2
)∪(4,+∞).
故选：A
7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）
A．−4B．4C．−1D．1
答案：C
分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，
所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，
因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，
所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)
=−f(1)+f(0)
=−1+0=−1，
故选：C
8、定义在R上的函数f(x)满足f(4−x)+f(x)=2.若f(x)的图象关于直线x=4对称，则下列选项中一定成立
的是（）
A．f(−2)=1B．f(0)=0C．f(4)=2D．f(6)=−1
答案：A
分析：根据f(4−x)+f(x)=2，令x=2，可求得f(2)，再根据函数的对称性可得f(6)及f(4+x)+f(x)=2，再令x=−2，可求得f(−2)，即可得出答案.
解：因为函数f(x)满足f(4−x)+f(x)=2，
所以f(4−2)+f(2)=2f(2)=2，所以f(2)=1，
又f(x)的图象关于直线x=4对称，
所以f(6)=f(2)=1，且f(4−x)=f(4+x)，
则f(4+x)+f(x)=2，
所以f(4−2)+f(−2)=2，
所以f(−2)=−1，
无法求出f(0),f(4).
故选：A.
9、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（）
A．[−3,+∞)B．[3,+∞)
C．(−∞,5]D．(−∞,−3]
答案：D
分析：先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)
−2
=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，从而可求出m的取值范围
解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)
−2
=1−m，
因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，
所以1−m≥4，解得m≤−3，
所以m的取值范围为(−∞,−3]，
故选：D
10、若函数f(x+1
x )=x2+1
x2
，且f(m)=4，则实数m的值为（）
A．√6B．√6或−√6C．−√6D．3
答案：B
分析：令x+1
x
=t，配凑可得f(t)=t2−2，再根据f(m)=4求解即可
令x+1
x =t（t≥2或t≤−2），x2+1
x2
=(x+1
x
)
2
−2=t2−2，∴f(t)=t2−2，f(m)=m2−2=4，∴
m=±√6.
故选；B
11、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8
C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6
答案：A
分析：利用配凑法（换元法）计算可得.
解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，
∴f(x)=x2+2x.
方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，
∴f(x)=x2+2x.
故选：A
12、已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则函数f(x)的图象是（）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
设幂函数的解析式为f(x)=xα，
∵幂函数y=f(x)的图象过点(9,3)，
∴3=9α，
解得α=1
2
∴y=f(x)=√x，其定义域为[0,+∞)，且是增函数，
当0<x<1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项可知C满足题意．
故选:C．
双空题
13、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )=x 2，则当x <0时，f (x )=__；若对任意的x ∈[a −1,a +1]，恒有f (x +a )>a 2f (x )，则实数a 的取值范围是__. 答案： −x 2 (
3−√52
,
1+√52
)∪(−∞,
−3−√52
)
分析：根据奇函数的性质求解解析式即可，再结合a 2f (x )＝f (|a |x )且f (x )在R 上是单调递增函数得(|a |−1)x −a <0在x ∈[a −1,a +1]恒成立，进而结合一次函数的单调性分类讨论可得不等式，即可得出答案. 解：当x ≥0时，f (x )=x 2，
∵函数是奇函数，∴当x <0时，f(x)=−x 2， ∴f (x )=x |x |，
∴f (x )在R 上是单调递增函数，且满足a 2f (x )＝f (|a |x )， ∵不等式f (x +a )>a 2f (x )=f (|a |x )在x ∈[a −1,a +1]恒成立， ∴x +a >|a |x ，即(|a |−1)x −a <0在x ∈[a −1,a +1]恒成立，
∴当|a |−1=0时，即a =±1时，−a <0在x ∈[a −1,a +1]恒成立，故a =1；
当|a |−1>0时，(|a |−1)(a +1)−a <0，即{(a −1)(a +1)−a <0a >1 或{(−a −1)(a +1)
−a <0a <−1 ，解得
(1,
1+√52
)或(−∞,
−3−√52
)，即解集为(1,
1+√52
)∪(−∞,
−3−√52
)；
当|a |−1<0时，(|a |−1)(a −1)−a <0，即{(a −1)2
−a <00≤a <1
或{(−a −1)(a −1)−a <0−1<a <0 ，解得(3−√52,1)
或∅，
综上，(3−√52
,
1+√52
)∪(−∞,
−3−√52
)
所以答案是：−x 2，(
3−√52
,
1+√52
)∪(−∞,−3−√52
).
14、已知函数f(x)是定义域为R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有f(2−x)=f(x)成立，当x ∈[−1,1]时，f(x)=a−2x
1+2x ，则a =_______.当x ∈[1,3]时，f(x)=_______. 答案： 1 2x −4
2x +4
解析：（1）根据定义在R 上的奇函数必有f(0)=0，可求出a .
（2）可根据已知条件f(x)=f(2−x)，将f(x)在[1,3]上的解析式转化到[−1,1]上求解. （1）∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，当x ∈[−1,1]时，f(x)=
a−2x 1+2x
，∴f(0)=
a−12
=0
∴a =1
（2）当x ∈[1,3]时，2−x ∈[−1,1]，f(x)= f(2−x)=1−22−x
1+22−x =2x −42x +4 所以答案是：（1）1 （2）
2x −42x +4
小提示：利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设定在哪个区间. ②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上. ③利用已知区间的解析式进行代入，解出f(x)
15、已知f (x )={1−x,x ≤1x 2−2x +a,x >1
若a =1，且f(m)=4，则m =________；若对任意的t >0，直线y =t 与
函数y =f(x)的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是________． 答案： 3或−3 (−∞,1]
分析：第一空，将a =1代入，分段讨论解方程即可求出答案； 第二空，画出函数y =f(x)的大致图象，数形结合即可求出答案． 解：当a =1时，由f(m)=4得， 当m ≤1时，1−m =4，解得m =−3；
当m >1时，m 2−2m +1=4，解得m =3，或m =−3（舍去）；
画出函数f (x )={1−x,x ≤1x 2−2x +a,x >1
={
1−x,x ≤1(x −1)2+a −1,x >1 的图象如图，
∵对任意的t >0，直线y =t 与函数y =f(x)的图像都有两个交点， ∴由图可知，a −1≤0，解得a ≤1； 所以答案是：3或−3；(−∞,1]．
小提示：本题主要考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于基础题．
16、在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y (mg/m³)随时间t (h)变化的规律可表示为y ={at,0<t <1
2
1at
, t ≥12 ， (a >0)如图所示，则a =_____;
实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入. 答案： 2 2
3
解析：根据函数图象当t =12时，y =1，即可求出a =2，从而得到y ={2t,0<t <1
212t
, t ≥
12 ， (a >0)，再根据题意解不等式即可.
由题知：当t =1
2时，y =1，即2
a =1，解得a =2. 所以y ={2t,0<t <
1
212t
, t ≥
12
， (a >0).
当0<t <1
2时，y =2t ，单调递增，当t ≥1
2时，y =1
2t ，单调递减， 令1
2t <0.75，解得t >2
3， 所以经过2
3小时后方可进入房间
.
所以答案是：2；2
3
小提示：本题主要考查函数的模型应用，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
17、已知函数f(x)是定义在[−2m,1+m]上的偶函数，且对任意x 1,x 2∈[−2m.0]，当x 1≠x 2时，f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2
>
0，则m =______；不等式f(2x −1)≤f(4x)的解集为______. 答案： 1 {x ∣−1
2
≤x ≤1
6
}
分析：根据函数是偶函数，则定义域关于原点对称即可求得参数m 的值；利用函数单调性，等价转化抽象函数不等式，即可求得不等式解集.
依题意，−2m +1+m =0，解得:m =1， 故函数f(x)在[−2,0]上单调递增，
故f(2x −1)≤f(4x)等价于{−2≤2x −1≤2
−2≤4x ≤2|2x −1|≥|4x| ，解得:−12≤x ≤1
6，
故不等式的解集为:{x ∣−1
2≤x ≤1
6} 所以答案是：1； {x ∣−1
2≤x ≤1
6}
小提示：本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求不等式，属综合基础题. 解答题
18、判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )=x 4−2x 2； (2)f (x )=x 5−x ； (3)f (x )=
3x 1−x 2
；
(4)f (x )=|x |+x ． 答案：(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数
(4)非奇非偶函数
分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；
（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.
（1）
f(x)的定义域为R，它关于原点对称.
f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数.
（2）
f(x)的定义域为R，它关于原点对称.
f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数.
（3）
f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.
=−f(x)，故f(x)为奇函数.
f(−x)=−3x
1−(−x)2
（4）
f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，
故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.
．19、函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)<0，且f(1)=1
3（1）证明f(x)是奇函数；
（2）证明f(x)在R上是单调递增函数；
（3）若f(x)+f(x−3)≥−1，求实数x的取值范围．
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[0,+∞)．
分析：（1）先用赋值法求出f(0)=0，令y=−x，即可根据定义证明f(x)是奇函数；
（2）利用定义法证明f (x )是R 上的增函数；
（3）先把f (x )+f (x −3)≥−1转化为f (2x −3)≥f (−3)，利用单调性解不等式即可．
（1）令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，解得f (0)=0，
令y =−x ，则f (0)=f (x )+f (−x )，即f (x )+f (−x )=0，即f (−x )=−f (x )， 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数；
（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，
因为当x <0时，f (x )<0，所以f (x 1−x 2)<0，
则f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)+f (−x 2)=f (x 1−x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数；
（3）由f (1)=13，得f (2)=23，f (3)=1，又由f (x )是奇函数得f (−3)=−1. 由f (x )+f (x −3)≥−1，得f (2x −3)≥f (−3)，因为函数f (x )是R 上的增函数， 所以2x −3≥−3，解得x ≥0，故实数x 的取值范围为[0,+∞)．
20、已知函数f(x)是二次函数，f(−1)=0，f(−3)=f(1)=4．
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x −1)≥4．
答案：(1)f(x)=(x +1)2
(2)(−∞,−2]∪[2,+∞)
分析：(1)根据f(−3)=f(1)得对称轴为x =−1，再结合顶点可求解;
(2)由（1）得x 2≥4，然后直接解不等式即可.
（1）由f(−3)=f(1)，知此二次函数图象的对称轴为x =−1，
又因为f(−1)=0，所以(−1,0)是f (x )的顶点，
所以设f(x)=a(x +1)2
因为f(1)=4，即a(1+1)2=4
所以得a =1
所以f(x)=(x+1)2
（2）因为f(x)=(x+1)2所以f(x−1)=x2 f(x−1)≥4化为x2≥4，即x≤−2或x≥2不等式的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞)。