北京科技大学 概率论与数理统计习题ppt课件

1 e 2
e 2
1
X1X2
EX1 X 2 EX1 EX 2 DX1 DX 2
e 2 e 1e 2 e 1e 2 (1 e 1 )(1 e 2 )
EX 1 X 2 1 1 P{ X1 1, X 2 1} e 2 ,
EX1 e 1 ,
EX 2 e 2 ,
DX1 e 1 (1 e 1 ), DX2 e 2 (1 e 2 )
2
2
u2
(u)e 2
2
2
u2
e 2 d (u)
2
0
2
u2
e2
2
1
u2
e 2 du
2
2 1 e u2 du
2 2
17
例10（续） E max(U, V )
2 1 e u2 du
2 2
2
1 2
2
u2
1
e
2
1 2
2
du
2
1 2
1
E max(X ,Y ) E max(U, V ) m m
X
~
1 1
4
0 1
2
1 1
4
Y
~
0 1
2
1 1
2
且
P{ XY 0} 1
求：（1）X ,Y 的联合分布率；（2） X 与 Y 是否独立。
解：
Y X 1
0
1 4
10
pi.
1 4
0
1
p. j
0
1
1
4
2
1 2
0
1 2
1 2
1 4
1
由 P{XY 0} 1，得 P{XY 0} 0.
所以 P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1} 0. 故 P{X 1,Y 1} 0，P{X 1,Y 1} 0. 4
例4 ( X ,Y ) 在区域D {(x, y) : 0 x 2, 0 y 1} 服从均匀分布，
令：
U
0，X 1, X
Y, Y.
V
10,,
X X
2Y , 2Y .
问 U ,V 是否独立.
解：
f (x,
y)
1 , 0 2
x
2, 0
y
1,
0, 其 它.
y 1 x y x 2y
2x
P{U 0,V 0} P{X Y , X 2Y } P{X Y } 1
P{| X Y | 6} 3
62
P{| X m | } 2 / 2
13
例9 设随机变量X 和Y 的联合分布在点(0,1),(1,0),
(1,1)为 顶 点 的 三 角 形 区 域D上 服 从 均 匀 分 布 ，
试求随机变量U X Y 的方差。 y
解：( X ,Y )的概率密度为
1
若用最大载重量为5吨的汽车承运试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0977
例1 在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为A， B，C，其中有两扇门后没有奖品，而第三扇门后有 大奖。
A
B
C
请你猜哪扇门后有奖。
若你选择了A，在门A被打开之前，主持人打开 了另外两扇门中的一扇，比如是B，发现门后什么都 没有。 问你是否改变决定（从A门到C门）？
12
例8 已知EX 2, EY 2, DX 1, DY 4,
XY 0.5, 则根据切比雪夫不等式有
1Hale Waihona Puke P{| X Y | 6} ___1_2____.
解： E( X Y ) EX EY 0,
D( X Y ) DX DY 2 XY DXDY
1 4 2 0.5 2 3
试证 E max( X ,Y ) m .
证明：
v
uv u vu
令 U X m , V Y m , 则 U，V 独立，都服从N(0,1).
且 E max( X ,Y ) E max( U m, V m )
E max(U, V ) m
E max(U, V )
max(u, v)
5n
( 5000 50n )
5n
(1000 10n )
n
0.977
则 1000 10n 2, 100n2 20000n 10002 4n,
n
解得 n 102.02或n 98.02, 由题意知n 98.
因此最多可装 98 箱，保障不超载的概率大于0.97720。
mm或大于12 mm时为不合格品，其余的情形为合格 品。又已知该零件的销售利润 Y 与 X 有如下关系：
Y 201
X 10 10 X 12
5 X 12
问零件的平均内径 m 取什么值时，销售一个零件的
平均利润最大？
解：
EY 1 P{X 10} 20 P{10 X 12} 5 P{X 12}
例9（续）
y
EX 2
dx x 2 f ( x, y)dy
1
dx
1
x 2 2dy
1
1
D
0 1 x
2 x y1
EY 2
dx
y2
f (x,
y)dy
1
dy
1
y 2 2dx
1
0 1 y
2
0
1x
DX EX 2 (EX )2 1 , DY EY 2 (EY )2 1
18
18
25
1
(12m )2
e 2 21
1
(10m )2
e2
2
2
令 (EY )'m 0,
(12m )2 (10m )2
则e 2 2
25 ,
21
即 e 222m 25 , 21
得 m 11 1 ln 25 10.913
2 21
10
例7 Y 服从参数为 1 的指数分布，
Xk
0, Y 1, Y
解：设 A、B、C 分别表示A门、B门、C门后有奖事件,
则事件A, B,C 是样本空间的划分，
1
例1（续） 且 P( A) P(B) P(C) 1 .
3
又设 D 表示主持人推开B门无奖这一事件,
欲求 P( A | D). 由贝叶斯公式有
P(A | D)
P( A)P(D | A)
P( A)P(D | A) P(B)P(D | B) P(C )P(D | C )
0
1 4
0
1 4
1
1
13
4
24
p j.
1 2
1 2
1
y 1 x y x 2y
2x
由于
P{U 0,V
1} 0 P{U 0}P{V
1} 1 1 ,
42
所以 U ,V 不独立.
6
例5 若X ~ N (m , 2 ),Y ~ N (m , 2 ),且它们独立， 求：E | X Y |, D | X Y | .
解：由于 X ,Y 独立，所以，Z X Y ~ N (0,2 2 ).
Z 的概率密度为f (z)
1
z2
e 4 2 , z .
2 2
EZ z
1
z2
e 4 2 dz 2z
2 2
0
作变换t z
2
1
z2
e 4 2 dz
2 2
E Z 2 t
1
e t2 2 dt 2 de t2 2
k k
k 1,2
求（1）（X 1 , X 2 ) 的联合分布率；（2） X1X2
解：
f
Y
(
y)
e y , 0, 其
y 它.
0,
1
P{ X1 0, X 2 0} P{Y 1,Y 2} e ydy 1 e 1
0
P{ X1 0, X 2 1} P{Y 1,Y 2} P( ) 0 2
11
1
3
1 2
32
1 3
0
1 3
1
1. 3
P(C | D) 2 . 3
所以应该改变决定，去选C门。
2
例2 填空。已知 X, Y 独立，联合分布率与边缘分 布率如下
X Y y1 y2
x1
1 24
1 8
x2
1 8
3 8
p. j
1 6
1 2
y3 pi.
1
1
12
4
1 4
3 4
1 3
1
3
例3 已知 X,Y 的分布率如下
P{ X1 1, X 2 0} P{Y 1,Y 2} e ydy e 1 e 2 11 1
例7（续）
P{ X1 1, X 2 1} P{Y 1,Y 2} e ydy e 2
X 1X2 0
2
1
pi.
0
1 e 1
0 1 e 1
1
e 1 e 2
e 2
e 1
p j.
1
u2 v2
e 2 dudv
2
u
du u
1
2
u2 v2
e 2 dv
v
dv v
1
2
u2 v2
e 2 du
16
例10（续）
u
2 du u
1
u2 v2
e 2 dv
2
2
u2
u
ue 2 du
1
v2
e 2 dv
2
2
2
2
u2
ue 2 (u)du
2
u2
(u)de 2
D
x y1
f
( x,
y)
2,( x, y) 0, 其它.
D,
0 1x
DU D( X Y ) DX DY 2COV ( X ,Y )
EX
dx xf ( x, y)dy
1
dx
1
x2dy
2
3
0 1 x
1
1
EY dx yf ( x, y)dy dy y2dx
2
0 1 y
3
14
证毕.
18
例11 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量 是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千 克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中 心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保 障不超载的概率大于0.977。
解：设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于0.977。
第 i 箱重量为X i 吨，i 1, , n.
0
0
7
例5（续）
E Z 2 z 2
1
z2
e 4 2 dz
2 2
(作变换 t z )
2
2 2 t 2
1
t2
e 2 dt 2 2
2
D Z E Z 2 (E Z )2
2
2
2
2
2 2 (1 2 )
8
例6 某工厂的自动生产线加工的某零件的内径 X （单
位：mm）服从 N (m, 1), 规定该零件的内径小于10
则 EX i 50, DX i 25, i 1, , n
n
且 P{ X i 5000} 0.977 i 1
由中心极限定理有
19
例11（续）
m 50, 5
n
X k nm
lim P{ k1
x} (x)
n
n
n
n
P{ i 1
Xi
5000}
P
i
1
Xi 5
50n n
5000 50n
(10 m ) 20[ (12 m ) (10 m )] 5[1 (12 m )]
9
例6（续）
EY (10 m) 20[(12 m) (10 m)] 5[1 (12 m )]
25(12 m) 21(10 m) 5
(EY )'m 25(12 m ) 21(10 m )
EXY
dx xyf ( x, y)dy
1
dx
1
xy2dy
5
0 1 x
12
COV ( X ,Y ) EXY EXEY 5 2 2 1
12 3 3 36
DU DX DY 2COV ( X ,Y )
1 1 2 1 18 18 36
1 18
15
例10 设 X ,Y 独立，都服从 N (m , 2 ).
4
P{U 0,V 1} P{X Y , X 2Y } P( ) 0
5
例4（续） P{U 1,V 0} P{X Y , X 2Y } P{Y X 2Y } 1 P{U 1,V 1} P{X Y , X 2Y } P{X 2Y } 1 4
2
UV 0 1
pi.