演示版函数单调性ppt.ppt

结论
定号
30
返回
思考题：已知函数 y x2 2(a 2)x 5 在区间
(4,)上是增函数，求 a 的取值范围。
分析：此函数图象是开口向上的抛物线，所以
在对称轴的右侧图象随自变量增大而上升。
即 x [2 a,), 函数是增函数。
y
(4,) [2 a,)
0
4 x 2a
x
2 a 4 a 2
在区间 0, 上是单调增函数。
.精品课件.
17
D
(A) y 2x 1
(C) y 2 x
(B) y 3x2 1
(D) y 2x2 x 1
x 1, x 0
x
1,
x
0
________
单调增区间为：[0,)
单调减区间为：(,0)
.精品课件.
18
增区间 [-2，2] 减区间 [-5，-2]
[3，5] [2，3]
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
2
1
y x2 +2的单调减区间是_[_0_,____).
-2 -1
12 x
-1
-2
变式1：讨论 y ax2 (a 0) 的单调性
变式2：讨论 y ax2 bx c(a 0) 的单调性
成果交流
的取值范围。
2.已知函数y x2 2ax a2 1在[1,)
上是增函数，求a的取值范围。
3.已知函数y f (x)在(0,)上为增函数，且
f (x) 0(x 0)，试F (x) 1 在（0,＋） f (x)
判断在上的单调性，.精品并课件加. 以证明。
36
.精品课件.
31
成果运用
若二次函数f (x) x2 ax 4在区间[1,) 上单调递
a 2 减，求a的取值范围。
变式1
若二次函数 f (x) x2 ax 4 的单调增区间
是,1 ， 则a的取值情况是 （ C ）
A. a 2 B. a 2 C. a 2 D. a 2
变式2
请你说出一个单调减区间是 , 1 的二次函数
变式3
y=x2+2x+3
请你说出一个在 , 1上单调递减的函数
.精品课件.
32
成果运用
若二次函数f (x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f (x) x2 ax 4的对称轴为 x a ,
2
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
2
变式
.精品课件.
33
利用函数的单调性解不等式
例1.已知函数y f (x)满足f (x) f (x)， 且在（－2,2）上单调递增，且f (2 a) f (1 2a) 0，求a的取值范围。
.精品课件.
34
解： f (2 a) f (1 2a) 0
f (2 a) f (1 2a)
永切隔数形数焉数
远莫离形少无能与
,
,
——
联忘分结数形分形
华 罗 庚
系 莫 分 离
几 何 代 数
家 万 事 休
合 百 般 好
时 难 入 微
时 少 直 觉
作 两 边 飞
本 是 相 倚
统
依
一
体
.精品课件.
1
辰溪县第一中学 米仁思
.精品课件.
2
(1) y x 1
(2) y x 1
y y=x+1
1
-1 o
.精品课件.
25
（5）y =
1，x∈Q -1， x∈CRQ
函数在Q上无单调性，在CRQ 上 也无单调性
因此，函数在R内无单调性
.精品课件.
26
三. 课堂小结：
1. 函数的单调性的找法—作图，根据图象找函数 的单调区间。
2. 函数的增减性的证明方法—定义法。
四. 作业布置:
1.书本习题1.3 1.2
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
.精品单课调件.区间
11
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
又 f (x) f (x)
f (2 a) f (2a 1)
f (x)在（－2,2）上单调递增，
－2 2＋a 2
2 2a 1 2 1 a 0
2 a 2a 1
2
.精品课件.
35
作业：1.设函数f (x)在(0,)上是减函数，
且有f (a 1) f (1 2a)，求实数a
22
1 o
2
3
2
2
但，函数在定义域[0,2 ] x 上并无单调性
-1
.精品课件.
23
（3）y = 1
y 函数在定义域（－∞， ＋∞） 上无单调性
1
o
x
.精品课件.
24
（4）y = x + 1（ x≠0）
y 1
-1 o x
在（－∞，0）和（0，＋∞） 上都单调递增， 因此函数在定义域 （－∞，0）∪（0，＋∞） 上单调递增
.精品课件.
27
练习：填表 返回
函数
y kx+b（k 0）
y k (k 0) x
k >0 k <0 k >0 k <0
单调区间 (, ) (, ) (,0),(0, ) (,0),(0, )
单调性
增函数 减函数 减函数
.精品课件.
增函数
28
y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c
单调增区间
单调减区间
a>0 a<0
b 2a
,
,
b 2a
,
b 2a
b 2a
,
.精品课件.
返回29
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
取值
则
f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
1) x1
(x2
1 x2
)
作差
( x1
x2
)
(
1 x1
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
.精品课件.
19
增区间 （-2，0） （0，2] 减区间 [-5，-2） [2，3]
y
[3，5）
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
.精品课件.
20
（1）y =|x|
（2）y = sinx,x∈[0,2 ] （3）y = 1 （4）y = x + 1（ x≠0）
（5）y =
1，x∈Q x -1， ∈C QR .精品课件.
21
（1）y = |x|
在（－∞，0]上单调递减，
y
在 [0，＋∞）上单调递增
但，
函数在定义域
o
x
（－∞， ＋∞）上并无单调性
.精品课件.
22
（2）y = sinx，x∈[0，2 ] 在[0，2] ,[ ，32]上2单 调递增，
y
在 [ ， ]3上 单调递减
y
y1
x
x
x
？ y
1)__, _(0_,___)
讨论1：根据函数单调性的定义，
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x
是单调减函数?
2试讨论 f (x) k (k 0) 在 ,0和0, 上的单调性？
x
成果交流
.精品课件.
14
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
1 x2
)
( x1
x2
)
(
x2 x1
x1 x2
)
变 形
(
x1
x2
)(
x1 x2 x1 x2
1)
x1, x2 1, ，且 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y x 1 在区间上 1, 是增函数. x .精品课件.
x
y
1
o
1
x
y=-x+1
.精品课件.
3
(1) y x 1
y y=x+1
1
(2) y x 1
yy = - x + 1
1
-1 o
x
o
1
x
y 随 x 的增大而减小
y 随 x 的增大而增大
.精品课件.
4
(4) y 随 x 的增大而增大
y y = x2
y y = x3
y x o
(3)
x
o
（-∞，0]上 随 的增大而减小
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
.精品课件.
9
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
x
y [0，+∞）上 随 x 的增大而增大
.精品课件.
5
y
y f (x)
y y f (x)
om
nx
在[m，n]上，函数
y 随 x 的增大而增大
om
nx
[m，n]上，函数
y 随 x 的增大而减小
——单调递增性.精品课件. ——单调递减性6
y
10
8
6
4
2
I
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
.精品课件.
15
例2.证明函数 y x 在 定1 义域 x
上1是, 增函数.
给出证明
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5. 下结论
.精品课件.
16
1. 试用定义法证明函数 f (x) 1 1 x
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
.精品课件.
O 1 2x
13
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数； y
y x2
o
x
.精品课件.
12
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (x)的单调
增区间.
.精品课件.
10
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
-2
.精品课件.
7
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
.精品课件.
8
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O