第16章 动床水力学基础

第16章 动床水力学基础
16.1知识要点
16.1.1泥沙和浑水的主要特性
1.重度
泥沙颗粒实体单位体积的重量称为泥沙的重度，以s γ表示。

一般取标准沙的重度s γ= 26500 N/m 3。

淤积泥沙的干重度γ'变化的幅度较大，可由3000 N/m 3至17000 N/m 3。

泥沙在水中的相对重度为65.11/1/=-=-ρργγs s 。

γ和ρ为水的重度和密度；s ρ为泥沙的密度。

2.粒径 1）等容粒径
等容粒径是指理论上定义为与具有同样体积的球体直径。

其表达式为
3/1)/6(πV d =
式中，V 为某一泥沙的体积；d 为等容粒径。

2）筛孔粒径
用筛子来测量粒径时，以泥沙颗粒刚能通过的筛孔边长作为粒径，这种粒径叫筛孔粒径。

一般用于大于0.05mm 的泥沙。

3）沉速粒径
小于0.05mm 的泥沙粒径要用沉降速度的方法来确定。

所谓沉降速度，指与泥沙比重相同，在相同液体中沉降时，具有相同沉速的圆球直径，故称沉降粒径。

3）中值粒径
在泥沙级配曲线上与纵坐标50%相应的粒径，它表示大于和小于该粒径的泥沙重量各占沙样总重量的二分之一。

4）平均粒径
（1）算术平均粒径 或
3
/)(2
/)(min max min max min max d d d d d d d d i i ⋅++=+= （16.1）
再用加权平均法求出整个沙样的平均粒径平均d 100/)(
n
1
∑==i i
i
d
P d 平均 （16.2）
式中，n 为分组数目；i P 为第i 分组泥沙的重量占总沙样重量的百分数；i d 为第i 分组泥沙的平均粒径。

3.浑水的含沙量和粘滞性
1）浑水的含沙量
含沙量有三种表示方法，即体积比含沙量
浑水的体积
泥沙所占的体积
=
V S
重量比含沙量 浑水的重量
泥沙所占的重量
=
G S
混合比含沙量 浑水的体积
泥沙所占的重量
=
S
三种不同表达式之间的关系为 V s S S γ= （16.3）
S
S
S S S V V G )/1()(s s s γγγγγγγ-+=
-+=
（16.4） 浑水的重度m γ与含沙量的关系为
S S s V s m )/1()(γγγγγγγ-+=-+= （16.5）
2）浑水的粘滞性
含沙量较小的浑水流变特性仍然符合牛顿内摩擦定律
dy du dy du m m m //υρμτ== （16.6）
式中，τ为切应力；m m m υρμ、、分别为浑水的动力粘滞系数、密度和运动粘滞系数。

高含沙浑水的流变特性可近似按宾汉流体描述，其流变方程为
dy du B /ηττ+= （16.7）
式中，B τ为极限切应力；η为刚度系数，即高含沙浑水的粘滞系数m μ。

m μ、B τ可用下式计算
5.2)/1(--=Vm V m S kS μμ （1
6.8） )/(lg 2.092.0∑-=i i m V d P S （16.9） 43.0)/1()/(21Vm V Vm V S S S S k -+= （16.10）
)5.1(098.0+=ετB B e （16.11）
式中，μ为清水的动力粘滞系数；V S 、m V S 分别为体积比含沙量和极限含沙量；i d 、i P 分别为某一粒径组的平均粒径及相应的重量百分比；k 为系数；45.8=B ；Vm Vc V S S S /)(-=ε，Vc S 为牛顿体转变为非牛顿体的临界含沙量，建议以2N/m 5.0=B τ时的含沙量作为Vc S ，即
2
.326.1Vm
Vc S S = （16.12） 4.沉降速度 1）球体的沉降速度 （1）层流沉降
2
2181181d d g s s μ
γγρρρνω-=-=
（16.13）
（2）紊流沉降
ρρρω/)(761.1gd s -= （16.14）
（3）过渡区沉降
沙玉清通过分析得出了过渡区的沉速判数和粒径判数为 沉速判数 ])(
/[3
/13/13
/1ρ
ρρνω-=s a g
S (16-15) 粒径判数
3/23
/13/1/)(
νρ
ρρϕd g s -= （16.16）
在过渡区，沙玉清求得a S 与ϕ之间的关系为
00.39)777.5(lg )665.3(lg 22=-++ϕa S （16.17）
用上式，无论从ϕ求a S ，即从粒径d 求沉速ω，或从a S 求ϕ，即从ω求d 都是很方便的。

粒径判数、沉速判数的计算结果见表16-1。

表16-1 各流区的粒径判数、沉速判数和粒径雷诺数
2）泥沙的沉降
张瑞瑾根据阻力叠加原理和大量的实测资料，得到天然泥沙颗粒在静水中的沉速公式如下：
层流区（5.0<d Re ，mm 1.0<d ，常温
25~15=T ）
2
039
.0d g s ν
ρρρω-= （16.18）
过渡区)10005.0(<<d Re
d
gd d s ν
ρρρνω95.1309.1)95.13(2--+= （16.19）
紊流区（1000(>d Re ，mm 4>d ，常温
25~15=T ）
gd s ρ
ρ
ρω-=044
.1 （16.20）
值得指出，式（16.19）虽是过渡区的沉速公式，但经实测资料验证，它可同时满足层流区、紊流区以及过渡区的要求，也就是说，它是表示泥沙沉速的通用公式。

工程上一般按含沙量3N/m 1960
=S 作为高低含沙量的分界值，当3
N/m 1960>S ，应考虑含沙量对沉速的影响。

为了便于计算沉速，可以制成图表备查，如图16-1所示曲线，从粒径和水温就可以直接查出沉速。

3）泥沙的形状对沉速的影响
对砾石、卵石和块石来说，由于其形状较易测量，而且由于泥沙形状对沉速影响较大，罗曼诺夫斯基（B •BPomaHoBcK ИЙ）根据紊流区的实测资料，求得沉降速度为
gd ab
c s γ
γ
γω-=3
/2)(
72.1 （16.21） 式中，a 、b 、c 为泥沙三个方向的边长。

16.1.2推移质运动
1.泥沙起动的条件
作用在泥沙颗粒上的力主要有水流的水平推力、垂直上举力和泥沙在水中的有效重力、颗粒间的反力和摩擦力、颗粒间的粘结力等。

对非粘性颗粒或粗颗粒主要受前三种力的影响。

由颗粒平衡条件得出两种类型的泥沙起动公式，即临界推移力公式和起动流速公式。

1）临界推移力 （1）希尔兹公式
沉(c m /s )
粒径d (mm)
泥沙粒径与沉降沉速关系曲线（比重2.65）
0.220C o
25C o
15C 10C o o 0.0010.0010.0020.0030.0040.0050.010.020.030.040.050.10.002
0.003
0.0040.0050.01
0.02
0.030.040.050.1
0.2
0.30.40.5 1.0
2.0
3.04.05.010.0
斯托
克斯定律区30C o
o 0.30.40.51.02.03.04.05.01020304050100
过
渡区紊流
区
5C 0C
o
10.0
5.04.03.02.0
1.0
0.50.40.30.2
0.1
0.050.040.030.02
0.01
0.0050.0040.003
0.002
0.001
图16-1泥沙粒径与沉降速度关系曲线（比重2.65）
)(
)(ν
γγτd
u f d
c s c
*=- （16.22）
以])/[(d s c γγτ-为纵坐标，ν/d u *为横坐标，则得有名的希尔兹起动曲线如图16-2所示。

式中，c τ为临界推移力；ν/d u *为阻力流速雷诺数；ρτ/0=*u 为摩阻流速；0τ为边界上的切
应力。

希尔兹的起动曲线是当前最通用的起动关
系，但必须进行逐步试算才能正确的求得*u 值。

*ud 0.1c d
*
gd
s 1)
)s
ud 0.1(d 4001000
2001004020106420.2
1.01042
62040601002004001000
0.020.040.060.10.2
0.40.81.0(
图16-2
（2）意罗（ILO,C.G ）公式
意罗将希尔兹曲线分为四段用下列的关系式分段拟合，结果如下：
当0.2/50<*νd u 时
0.45050)(11.0)(-*=-νγγτd
u d s c （16.23a ）
当10~0.2/50=*νd u 时
337.05050)(0715.0)(-*=-νγγτd
u d s c （16.23b ）
当500~10/50=*νd u 时
176.05050)(02.0)(ν
γγτd
u d s c *=- （16.23c ）
当500/50>*νd u 时 06.0)(50
=-d s c
γγτ （16.23d ）
（3）岩垣公式
岩垣从理论和实验上验证了希尔兹公式，并提出当比重65.2/=γγs ，粘滞系数/s m 100.12
6
-⨯=ν（20.3℃）时，临界推移力可用五段拟合公式表示：
cm 303.0>d 时 d c 9.80/=ρτ （16.24a ）
cm 303.0118.0≤≤d 时 22/316.134/d c =ρτ （16.24b ） cm 118.00565.0≤≤d 时 d c 0.55/=ρτ （16.24c ） cm 0565.00065.0≤≤d 时 32/1141.8/d c =ρτ （16.24d ）
cm 0065.0≤d 时 d c 226/=ρτ （16.24e ）
岩垣的公式中，长度单位用cm ，质量单位用克（g ），时间用s 。

（4）混合泥沙的临界推移力
耶格阿扎罗夫（Egiazaroff ）根据河渠中流速分布的对数律，推出了混合泥沙的临界推移力公式为
2
2)]
/19[lg(1.0)1/(m i i s ci
d d gd u =-*ρρ (16.25) 式中，i c u *为临界推移力，当m i d d =时
06.0)1/(2=-*m
s cm
gd u ρρ (16.26)
由式(16.25)和式(16.26)可得
)(])/19(lg lg19[22
2m i m i cm
ci cm ci
d d d d u u ==**ττ (16.27) 式(16.27)表示混合泥沙中每个粒径的临界推移力与平均粒径m d 的临界推移力之比。

试验表明，当
4.0/>m i d d 时，上式与实验资料非常吻合，然而当4.0/<m i d d 时，上式与实测值相差较大，为此，
平野、芦田、道上对4.0/<m i d d 提出的计算式为
85.02
2
==**cm
ci cm ci
u u ττ (16.28) 式(16.27)和式(16.28)中，对于平均粒径m d 的临界推移力cm τ可按希尔兹曲线查算或按式(16.23)或式(16-24)计算。

2）起动流速0v （1）沙莫夫公式
n s d
h
gd C
v /10)(ρρρ-= (16.29) 根据沙莫夫的试验，14.1=C ，6=n ，以65.1/)(=-ρρρs 代入得
6/13/106.4h d v = (16.30)
上式适应于mm 2.0>d 的粗沙。

式中，h 为明槽水深；d 、h 的单位为m ，0v 的单位为m/s 。

（2）冈恰洛夫公式
gd d h v s ρ
ρ
ρ-=8.8lg
07.10 (16.31)
上式的实验范围为mm 55.1~08.0=d ，水深cm 1.30~2.4=h 。

对于非均质沙，式(16.31)中的d 应采用95d 。

（3）张瑞瑾公式
张瑞瑾得出适用于粘性均匀沙也适用于散粒体泥沙的起动流速公式为
2/172.014.00)10000000605.06.17()(d
h
d d h v s ++-=ρρρ (16.32)
（4）窦国仁公式
2/10])740111()6.4125.6([
d
h h h g h h gd v a a a s δ
ρρρ+++-= (16.33) 式中，a h 为以水柱高表示的大气压强；cm 1038
-⨯=δ，表示一个水分子厚度。

3）止动流速和扬动流速
泥沙由运动转入静止的临界状态所对应的流速称为止动流速。

目前确定止动流速主要是根据试验资料求出止动流速与起动流速之间的关系，其表达式为
0kv v H = (16.34)
式中，系数k 对于较粗的泥沙一般取0.71。

对于很细的泥沙或含泥土的泥沙，上式并不适用。

当沙粒跃起混入水中成不着底的悬移运动的临界平均流速称为扬动流速。

沙玉清的扬动流速公式为
5/15/15/2)(
73.16h gd v s s ωγ
γ
γ-= (16-35) 武汉水利水电学院给出的扬动流速公式为
ω6
/1)(1.15d
h z v s =
(16-36) 式中，)/(*=ku z ω，称为悬浮指标；k 为卡门常数。

式(16.36)中的单位取m 、s 。

2.河床床面形态 1）动床阻力的分类
动床阻力通常是指冲积河流河床上的沙粒阻力和床面形态阻力（如沙纹、沙浪等）、还有河岸及滩面阻力、河槽形态阻力以及水工建筑物阻力等。

动床河流上的总阻力可概括为
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧⎩⎨
⎧岸、桥墩等）人工建筑物阻力（如护
河槽形态阻力力）沙波阻力（床面形态阻沙粒阻力床面阻力（动床阻力）滩面阻力岸壁阻力
河流总阻力 2）沙粒阻力的计算
由沙粒组成的平整床面对水流产生的表面阻力或摩擦阻力称为沙粒阻力，用粗糙系数n 表示床面的粗糙系数，则有
斯特利克勒（Strickler ）公式
24/6
/165d n = (16.37)
式中，65d 为床沙组成中按重量计有65%比它小的粒径，以m 为单位。

类似的公式还有
梅叶彼德（Meyer-Peter ）及摩勒（M Üller ）公式
26/6/190d n = (16.38)
莱萸（Lane ）公式
1.21/6/175d n = (16.39)
钱宁分析了黄河下游资料，建议
19/6/165d n = (16.40)
3）床面阻力和岸壁阻力的计算
爱因斯坦（H •A •Einstein ）提出水体分割法。

这种方法把水体分成几部分，每一部分的水体承担一部分边界上的阻力所需的能量。

如图16-3所示。

按图，通过ACE 的水体负担克服岸壁AC 阻
图16-3
力所必需的能量，通过BDF 的水体负担岸壁BD 的阻力所必需的能量，通过CDEF 的水体承担克服床面CD 的阻力所必需的能量。

设图中各分割水体的面积为1ωA 、2ωA 和b A ，湿周分别为1ωχ、2ωχ和b χ，则可写出如下关系式
b A A A A ++=21ωω (16.41)
111/ωωωχA R =，222/ωωωχA R =，b b b A R χ/= (16.42)
每一部分的流速都是断面平均流速v ，由谢才公式
⎪
⎭
⎪⎬⎫===b b n J R v n J R v n J
R v ///2/13/222
/13/2212
/13/21ωωωω (16.43)
上式中，岸壁粗糙系数1ωn 、2ωn 可按定床办法确定。

有了各部分水力半径以后，则各部分的切应力τ可写成
⎪⎭
⎪
⎬⎫
===J R J R J R b b τγτγτωωωω2211 (16.44) 这个方法假定各部分水体的流速和水力坡度都是一样的，则从曼宁公式可得
2
/3222/3112/32/3////ωωωωn R n R n R n R b b === (16.45)
根据阻力叠加原理，有 b b χτχτχτχτωωωω++=22110 (16.46) 将式(16.44)代入上式得 b b R R R R χχχχωωωω++=2211 (16.47) 把式(16.45)代入上式得 b b n n n n
χχχχωωωω2
/322/312/312
/32
++= (16.48)
如果不假定各部分流速相等，而是假定
3
/123/12223/11213/12////b b R v R v R v R v ===ωωωω
并把RJ γτ=代入式(16-46)，再用曼宁公式代入其中的J ，则从式(14.46)可得
b b n n n n χχχχωωωω2
2221212++= (16.49)
上式为姜国干公式。

该式表明，各部分边界上的粗糙系数是以2次方按边界长度分配的。

4）床面有沙波时床面阻力的计算
设床面的沙粒阻力为b
τ'，床面形态阻力为b τ''，按阻力叠加原理，有 b b
b τττ''+'= (16.50) 式中，b τ为床面综合切应力。

根据上面处理岸壁阻力和床面阻力的方法有
⎭⎬⎫''='''='J R J R b b
b b
γτγτ (16.51)
式中，b
R '和b R ''分别为相应于床面沙粒阻力和床面形态阻力的水力半径。

因为这两个阻力都在同一个边界上，所以可以写成
b b
b R R R ''+'= (16.52) （1）从流速分布求b
R ' 爱因斯坦根据流速分布的对数律，把光滑床面和粗糙床面写成一个公式
)27.12lg(75.5∆
=*b xR u v
(16.53) 式中，x 为随0/δ∆而变化的系数，如图16-4所示，其中0δ为粘性底层厚度，*=u /6.110νδ。

在应用上述公式于有效沙波阻力的动床时，把b R 改为b
R '，把*u 改为J R g u b b
'='='*ρτ/。

应用式(16.53)时，在已知平均流速v 的情况
下，可以反算出b
R '值。

但需用试算法。

计算步骤为：先假设一个b
R '值，从式(16.51)求出一个b τ'，从而求得*
'u ；再从式(16.53)求出v ，如计算的流速v 与已知的流速v 一致，则假定的b
R '值即为所求的b
R '值，否则需重新假设b R '值，再进行计算，直到要求的精度为准。

修正
系数
x 0
1.1.1.1.0.0.
图16-4
（2）从曼宁公式求b
R '值 此方法按斯特利克勒公式(16.37) ~(16.40)中的一个求出床面粗糙系数b n '，然后按曼宁公式求出b
R '。

由于曼宁公式只适用于粗糙区流动，对有些情况不一定适用。

5）床面形态阻力的单独计算方法 （1）爱因斯坦方法
爱因斯坦用ρτ/b
u ''=''*表示床面形态阻力，用无量纲形式表示的床面形态阻力可写成*''u v /，爱因斯坦认为，*
''u v /是水流强度参数ψ'的函数，ψ'为 J R d b
s '-=
'35
γγγψ (16.54)
爱因斯坦分析了美国十几条河流的资料，点
绘了*
''u v /与ψ'的关系如图16-5所示。

因为平均流速是已知的，b
R '可用上面的方法计算，由式(16.54)求得ψ'，即可由图16-5查得*
''u v /，从而求出b
τ''。

（2）英格隆（Engelund ）方法 英格隆也把床面阻力分成两部分，即
b b
b τττ''+'= '
70503020
10753v /u
"
图16-5
把上式无量纲化，以35)(d s γγ-除之得
35
3535)()()(d d d s b
s b s b γγτγγτγγτ-''+
-'=- (16.55) 令])/[(35d s b γγττ-=*，])/[(35d s b γγττ-'='*
，])/[(35d s b γγττ-''=''*，则 **
*''+'=τττ (16.56) 英格隆认为，J R J R b b b
'=''='γγτ，所以 35
)(d J R s b
γγγτ-'='*
(16.57)
英格隆利用水槽实验资料得出，对于1<Fr 的沙垄阶段，可用下列公式确定*τ和*
'τ的关系 15.0>'*
τ（约数），2
4.0**='ττ (16.58) 1
5.0<'*
τ（约数），2
4.006.0**+='ττ (16.59) 采用下式计算沙粒阻力
)2053.11lg(75.52lg 75.5665
65d R d R u v
b b '='+='* (16.60) 英格隆方法曾受到实测资料的验证，结果还是比较满意的。

3.推移质输沙率
单位时间内通过河流某过水断面中单位河床宽度的推移质数量称为推移质输沙率。

在国际单位制中，推移质的单位为牛顿/（秒•米）[N/（s •m ）]
1）梅叶-彼得（Meyer-Peter,E ）公式
2/12
/32/3)
/(])(047.0)[(8g d hJ n n q s s s b γγγγγγγ--'
-= (16.61) 式中，b q 为单宽推移质输沙率，以重量计；n 为曼宁粗糙系数，v J R
n /2/13
/2=；n '为河床平整情况
下的沙粒粗糙系数，梅叶-彼得取26/6/190d n ='，有人建议24/6
/150d n ='。

式(16.61)的单位取N 、m 、s 。

2）列维（ЛeB и）公式
4/130)())(
(2h
d
gd v
v v d q b -= (16.62)
式中，v 为断面平均流速；0v 为泥沙的起动流速。

资料范围：mm 23~25.0=d ，500~5/=d h ，
5.3~0.1/0=v v ，式(1
6.62)的单位取N 、m 、s 。

3）沙莫夫公式
均匀沙 4
/136
/13/16/13/12
/1)()83.3)(
83.3(31.9h d h
d v h d v d
q b -= (16.63) 非均匀沙 4
/136
/13/16/13/13/2)()83.3)(83.3(h d h
d v h d v D q b -=η (16.64) 式中，D 为非均匀沙中最粗的一种平均粒径；如果这一组泥沙占总沙样的40~70%，公式中的系数
4.29=η；如占20~40%或70~80%，
5.24=η，如占10~20%或80~90%，7.14=η。

沙莫夫公式的资料范围为：mm 73.0~2.0=d ，mm 65~13，m 94.3~02.1=h ， m 16.2~8.0，m/s 02.1~4.0=v ，m/s 95.2~8.0。

上式不宜用于平均粒径小于0.2mm 的泥沙。

4）爱因斯坦公式
2
/132/1)1(
)(
gd
q s s b
γ
γγ
γϕ-=
(16.65) 因输沙率与水流条件有关，水流条件可用水流强度ψ'表示，即
J R d
b
s '-=
'γγγψ (16.66) ψ'与ϕ的关系见图16-6，可供查算。

曲线图
推移质输沙率公式爱因斯坦的0.100.200.300.500.07
1235102030400.07
'
40
30201053210.500.300.200.10100
50
20
10
5
2
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
0.0002
0.0001
图16-6
16.1.3悬移质运动
1.含沙量沿垂线分布的劳斯公式
*--=ku a a h y h S S
ω
)1
/1/( (16.67)
式中，S 为含沙量；a S 为距渠底高度为a 处的含沙量；h 为水深；y 为距渠底的距离；ω为沉降速度；4.0=k 为卡门常数；gRJ u =*；)/(*ku ω为悬浮指标。

图16-7表示相对含沙量a S S /与相对水深
h y /的关系，试验证明，当06.0=z 时，含沙量
的垂线分布已相当均匀；当5.1≥z 以后，颗粒的悬浮高度基本达不到水面；5≥z 时，以悬浮形式运动的泥沙含量甚微。

所以5=z 可以作为泥沙是否进入悬浮状态的临界值。

0.031
0.063
0.125
0.25
1.0
2.0
4.0
1.00.90.80.70.60.50.40.3
0.20.1
1.0
0.90.80.70.60.5z ♦/ ◆0.050.5
0.40.3
0.20.10河底
(y /h )
相
对水深相对含沙量 / ♋
图16-7
2悬移质输沙率
1）爱因斯坦公式
])2.30lg(
303.2[6.1121I I xh
a S u q a s +∆
=* (16.68) 其中 ηη
ηd A A I A z
z z ⎰--=-111)1([)1(216.0
ηηηηd A A I A
z z z ln )1([)
1(216.011
2⎰--=- 式中，)/(*=ku z ω；x 为校正系数，可由图16-4查算；h y /=η ； h a A /=； 1I 与2I 是A 和
z 的函数，见图16-8。

取d a 2=，推移质的单宽输沙率b q 与a y =处的时均含沙量a S 有下列关系
*
=
du q S b
a 2.231 (16.69)
z =0
0.2
z =00.40.60.81.01.21.52.03.04.05.00.2
0.40.60.81.01.21.52.03.04.05.0
10
-5
-4
10
10
-3
-2
10
10
-1
-2
1010
-1
1
10
102
103
104
-1
10
10
-2
-3
10
10
-4
-5
10
10-2
10
-1
1
10
10
2
1010
4
3
A
A
I 1
2
-I 悬移质输沙率积分中I 与A 和z 的关系
12悬移质输沙率积分中I 与A 和z 的关系
图16-8
2）武汉水利水电学院公式
张瑞瑾等在分析、整理长江、黄河以及若干水库、渠道和室内水槽试验资料时，发现代表水流挟沙力的悬移质中属于床沙质部分的临界含沙量*S 与代表水流条件和河底组成条件的综合因素)
/(3ωgR v
有较好的关系，从而得到如下公式
m
gR v K S )(3ω
=* (16.70)
式中，*S 为断面平均含沙浓度；v 为断面平均流速；R 为水力半径；ω为河床质的平均沉速；系数K 和指数m 不是常数，随)/(3ωgR v 而变，其值可查图16-9。

K 的单位为kgf/ m 3或N/m 3。

3）根据黄河干流及无定河、渭河、伊洛河的实测资料的公式
77
.074.026.25
.10ωR v S =* (16.71)
式中，沉速ω的单位为cm/s ，水力半径R 的单位为m ，平均流速v 的单位为m 。

*S 的单位为N/m 3。

公式的适应范围为/s m 3860~3.293
=Q ，水面坡降00115.0~000036.0=J ，m/s 03.3~49.0=v ，
cm/s 0.1~054.0=ω，水深m 84.7~45.0=h ，
3
N/m 331~25.2=*S 。

4）扎马林公式
当m/s 008.0002.0<<ω时
2
/12
/3)
()/(216.0RJ v S ω=*（N/m 3
） (16.72) K
K
1
10100
1000
10000
1
2
3
4
v 3gR
m 、K ()
k g f m 3淤积过程的平均情况
平衡情况冲刷过程的平均情况
m
K
图16-9 当m/s 002.00004.0<<ω时
2/3)/(8.107ωvRJ v S =*（N/m 3） (16.73)
5）黄河水利委员会公式
2/14/33)()(7.686B
R gR v S ω=*（N/m 3）
(16.74)
16.2习题解析
16.1
解：
将上表分组，各组的平均粒径为i d 用下式计算
)(2
1
m i n m a x d d d i +=
i d 和i P 如下表所示
1916.0100
16
.19100
n
1
==
=
∑=i i
i
d
P d 平均mm
3）求中值粒径
点绘粒径d 和粒径小于某粒径沙重的累计百分数如图所示，由图可得中值粒径为184.050=d mm
P (%)
d (mm)
1.0
0.80.6
0.4
0.5
0.3
0.2
0.1
0.080.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.07
0.70.70.07
80
100
90
70
6050
40
30
20
10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.080.1
0.2
0.3
0.5
0.4
0.6
0.81.0
习题16.1图
16.2一立方米的浑水中泥沙的重量为2646N ，若泥沙的重度为26.46kN/m 3，试分别以体积比含沙量、重量比含沙量、混合比含沙量表示浑水的含沙量，并求浑水的重度。

解：
浑水的混合比含沙量为
3
3m
646kN
.2m 2646N ===
浑水的体积泥沙所占的重量S 体积比含沙量 1.026.46kN/m
646kN/m
.23
3
===s V S
S γ 重量比含沙量 231.0646
.2)46.26/8.91(8.9646
.2)/1(s =⨯-+=-+=S S S G γγγ
浑水的重度m γ为
466.11646.2)46.26/8.91(8.9)/1(=⨯-+=-+=S s m γγγγkN/m 3
16.3某河流水文站实测的洪水平均含沙量3
kN/m 94.6=S ，平均泥沙级配如下表，测量时水温为20℃，
求该粒径组泥沙的平均沉速。

解：
1）根据泥沙级配求
)/(∑i
i
d P ，列表计算如下
2）求m V S 和Vc S
611.022.35lg 2.092.0)(
lg 2.092.0=-=-=∑i
i
m V d P S 26.0611.026.126.12
.32.3=⨯==Vm Vc S S
267.026
6.94
==
=
s
V S
S γ 因为体积比含沙量V S 大于极限含沙量Vc S ，计算极限切应力
01146.0611.0/)26.0267.0(/)(=-=-=Vm Vc V S S S ε 2)5.101146.045.8()5.1(N/m 484.0098.0098.0=⨯==+⨯+e e B B ετ
157.1)611
.0267.01()611.0267.0(21)1()(
214
3.043.0=-⨯+=-+=Vm V Vm V S S S S k 当水温为20℃时，动力粘滞系数2
s/m N 001.0⋅=μ
25
.25.2s/m N 00582.0)611
.0267.0157.11(001.0)1(⋅=⨯-⨯=-=--Vm V m S S k
μμ 15.141246940)26000/98001(9800)/1(=⨯-+=-+=S s m γγγγN/m 3
3）求分组沉速
当泥沙直径mm 1.0<d 为层流区沉速，计算公式为
2
m
m 181d
s μγγω-=
当mm 005.0=d 时，沉速为
s /m 10834.2)1000
005.0(00582.015.141242600018118162
2-⨯=⨯-=-=
d m m s μγγω
当时，粒径已大于0.1mm ，沉降有可能处于层流区，也可能处于过渡区，需用粒径判数判别，计算公式为
3
/23
/13/1)(
m
m
m s d g νρρρϕ-=
s /m 10038.415.14124/00582.08.9//26-⨯=⨯===m m m m m g γμρμν
841.015
.1412415
.1412426000m m s =-=-=-γγγρρρm m s 554.1394.11000175
.081.796581.7965)10038.(4841.08.9)(
3
/263
/13/13/23
/13/1<=⨯==⨯⨯=-=
-d d d g m
m m s νρρρϕ沉降仍在层流区。

s /m 1047.3)1000
517.0(00582.015.141242600018118132
2-⨯=⨯-=-=
d m m s μγγω
当mm 375.0=d ，沉降属于过渡区，求粒径判数
99.21000
375
.081.796581.7965=⨯
==d ϕ 求沉速判数
364.0665.3)777.599.2(lg 39665.3)777.5(lg 39lg 22-=---=---=ϕa S
4324.010364.0==-a S
m/s 014.04324.00323.00323.0841.0)10038.48.9()(
3/13/163
/13/13/1=⨯==⨯⨯⨯=-=-a a a m
m s m S S S g ρρρνω 当mm 75.0=d ，沉降将属于过渡区
974.51000
75
.081.796581.7965=⨯
==d ϕ 0757.0665.3)777.5974.5(lg 39665.3)777.5(lg 39lg 22=---=---=ϕa S
19.1100757.0==a S
s /m 03845.019.10323.00323.0=⨯==a S ω
4）求泥沙的平均沉速，计算公式为
i i P ω∑=
列表计算如下
由表中得平均沉速为s /m 10367.93
-⨯=ω
16.4含沙量为3
m /kN 88.5=S 的浑水，泥沙的粒径级配如下表所示，试求浑水的粘滞系数、浑水的重度和极限切应力。

1）根据泥沙级配求
∑)/(i
i
d P ，列表计算如下
5079.0983.114lg 2.092.0)(
lg 2.092.0=-=-=∑i
i
m V d P S 144.05079.026.126.12.32
.3=⨯==Vm Vc S S
226.026
5.88
==
=
s
V S
S γ 1489.1)5079
.0226.01()5079.0226.0(21)1()(
214
3.043.0=-⨯+=-+=Vm V Vm V S S S S k 2）求浑水的粘滞系数和重度
设水温为20℃，动力粘滞系数为2
s/m N 001.0⋅=μ
2
5.25.2s /m
N 006.0)5079
.0226.01489.11(001.0)1(⋅=⨯-⨯=-=--Vm V m S S k
μμ
3m /N 7.134635880)26000/98001(9800)/1(=⨯-+=-+=S s m γγγγ
因为体积比含沙量V S 大于极限含沙量Vc S 。

计算极限切应力
3）求浑水的极限切应力
1614.05079.0/)144.0226.0(/)(=-=-=Vm Vc V S S S ε 2)5.11614.045.8()5.1(N/m 718.1098.0098.0===+⨯+e e B B ετ
16.5计算下面三种标准粒径泥沙在20℃的静水中的沉降速度。

mm 05.01=d ，mm 5.02=d ，
mm 53=d 。

解：
用张瑞瑾公式。

当水温为20℃时，运动粘滞系数为s /m 10007.12
6
-⨯=ν。

653.19800
9800
26000=-=-=-γγγρρρs s 当0.1mm mm 05.01<=d ，为层流区
m/s 10568.1)100005.0(10
007.18.9653.1039.0039
.032
6
2--⨯=⨯⨯⨯⨯=-=d g s νρρρω 当mm 5.02=d 时，属于过渡区
m/s
07.01000
/5.010
007.195.1310005.08.9653.109.1)1000/5.010007.195.13(95
.1309.1)95.13(6
26
2=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯
=--+=--d
gd d s ν
ρρρνω
当4mm mm 53>=d ，属紊流区
m/s 297.01000/58.9653.1044.1044
.1=⨯⨯⨯=-=gd s ρ
ρ
ρω 16.6 有一分析粒径用的粒径计，如图所示。

颗粒的沉降距离为120cm ，水温为15℃，为了取得粒
径
mm 1.0>d ，0.05mm ~.10，0.025mm ~.050的三组沙样，问在上游引入泥沙后，要隔多长时间在下端取样。

解：
当水温为15℃时，由沉降粒径与沉降速度关
系曲线图16-1查得
习题16.6图
当0.1mm >d 时，cm/s 75.0=ω，160s 75.0/120/===ωL t 当0.05mm =d 时，2cm/s .0=ω，600s 2.0/120==t
当0.025mm =d 时，05cm/s .0=ω，2400s 05.0/120==t
16.7为了测量比重为1.65的标准沙的颗粒直径，将该沙撒在量筒的水面上，观察到经过30s 钟后沙粒沉到量筒底部，已知水温为20℃，量筒高为cm 24=h ，试求沙粒的直径。

解：
沙粒的沉降速度为
cm/s 8.030/24/===t h ω
当水温为20℃时，由沉降粒径与沉降速度关系曲线16-1查得0.095mm =d
也可以用公式计算，这里用张瑞瑾的公式计算。

先假定在层流区
2
26
228.62624610
007.18.965.1039.0039
.0d d d g s =⨯⨯⨯⨯=-=-νρρρω s /0113cm .0s /m 1013.128
.626246100
/8.028
.6262464=⨯==
=
-ω
d
因为mm 1.0>d ，在过渡区，说明假定不正确，用张瑞瑾过渡区的公式重新计算
m/s 008.0100/8.010048.146253.17)10048.14(10007.195.138.965.109.1)10007.195.13(95
.1309.1)95.13(6
2
266
262==⨯-+⨯=
⨯⨯
-⨯⨯+⨯⨯=--+=----d d d
d d d d
gd d s ν
ρρρνω
由上式求得0.1148mm cm 01148.0==d 。

因为mm 41.0<<d ，假定正确。

沙粒直径0.1148mm =d 。

16.8有一直径为5cm 的玻璃竖管，管内静水柱高为50cm ，水温C 20
=T ，在时间0=t 时，水面放入
沙样重0.05N ，此后相隔一定时间，从管底取出少量水沙样，取样时间及取出水沙样中的沙重列于下表，最后在水柱中剩下的沙重为0.0025N ，试根据上述资料，绘出反应粒径分配情况的级配曲线，并求出这种泥沙的平均粒径和中值粒径。

解：
已知沙粒的降落距离cm 50=L ，沉速
i i t L /=ω （1）
求出相应于取样时间的沉速后，可用张瑞瑾的沉速公式计算粒径，估计沉速在过渡区和层流区，计算公式为
过渡区
d
gd d s ν
ρρρνω95.1309.1)95.13(2--+=
层流区
2
039
.0d g s ν
ρρρω-=
当温度
20=T 时，清水的粘滞系数s /m 10007.12
6
-⨯=ν，又65.1/)(/)(=-=-γγγρρρs s ，代入以上二式得
过渡区（mm 1.0>d ）
d d d d d d 6
2
2
66
2610048.146253.17)10048.14(10007.195.138.965.109.1)10007.195.13(----⨯-
+⨯=
⨯⨯
-⨯⨯+⨯⨯=ω （2）
层流区（mm)1.0<d
2626
1062625.010
007.18
.965.1039.0d d ⨯=⨯⨯⨯=ω （3）
设表中时间s ，,设为过渡区。

将代入式(2)得
0.1mm mm 122.0>=d ，假定在过渡区正确。

当106=t s 时，s /cm 472.0=ω，设为过渡区，由式（2）计算得0.1mm mm 087.0<=d ，说
明不在过渡区，而是在层流区。

以后的粒径也均在层流区。

用式（3）计算粒径，变形为
ωω
36
1026365.110
62625.0-⨯=⨯=
d
绘上表中的粒径d 和小于某粒径的累计百分数关系曲线如图所示，由图中可得中值粒径293
..050=d mm 。

0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.008
0.01
0.02
0.03
0.05
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2
0.15
d (mm)
0.15
0.2
0.1
0.08
0.06
0.04
0.05
0.03
0.02
0.01
0.008
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
10
20
30
40
50
60
70
90
100
80
P (%)
求平均粒径，计算公式为
)(2
1
min max d d d i +=
列表计算平均粒径
平均粒径为 mm 0384.0100
84
.3100
n
1
==
=
∑=i i
i
d
P d 平均 16.9一天然河道，已知泥沙粒径mm 2=d ，水深m 2=H ，底宽m 50=b ，水力坡度0005.0=J ，试用希尔兹曲线和岩垣公式检查该河道泥沙是否能够移动。

水温
15=T C 。

解：
1）用希尔兹曲线求解
水力半径为 m 852.12
2502
502=⨯+⨯=+=
=
h b bh A
R χ
2230s /m 10075.90005.0852.18.9/-⨯=⨯⨯===gRi gRJ ρτ
s /0.0953m 10075.9/30=⨯==-*ρτu
水温为
15=T 时，运动粘滞系数为/s m 1014.12
6
-⨯=ν，则
167.21014.10.002
0.09536
=⨯⨯=
=
-**ν
d
u Re
查希尔兹曲线图16-2，当2.671=*Re 时，05.0)/(=-d s c γγτ，则有
23kN/m 1062.1002.0)8.926(05.0)(05.0-⨯=⨯-⨯=-=d s c γγτ
2233/s m 1062.11/1062.1/--⨯=⨯=ρτc
由于ρτρτ//0c >，所以床沙能够移动。

2）用岩垣公式判断
由于粒径mm 2=d ，cm 303.0118.0≤≤d ，所以岩垣公式为
2232222/3122/31s /m 10394.1s /cm 94.132.06.1346.134/-⨯==⨯==d c ρτ
由于ρτρτ//0c >，所以床沙能够移动。

16.10有一河流，河床泥沙级配如表所示，试求河床泥沙的平均粒径m d 和临界推移力。

解：
做粒径和累积沙重百分数的关系曲线如图所示，确定0=P 和%100=P 时的粒径。

10.08.06.0
4.0
5.0
3.0
2.0
1.0
0.80.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.110
20
30
40
50
6070
90
100
80
0.7
7.00.70.07
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.080.1
0.2
0.3
0.5
0.4
0.6
0.81.0
d (mm)
P
(%)
由图中可得，0=P 时，mm 38.0=d ，%100=P 时，mm 9.1=d 。

2）求床沙的平均粒径 列表计算如下
0114.1100/14.101100/)(n
1
===∑=i i i m d P d mm
3）求各粒径组的临界推移力
因为是混合粒径，需用混合泥沙的临界推移力公式，计算公式为
4.0/>m i d d 时 )(])/19(lg lg19
[222m i m i cm
ci cm ci d d d d u u ==**ττ
4.0/<m i d d 时 8
5.0//2
2==**cm ci cm ci u u ττ
根据0114.1=m d mm=0.10114cm ，118.00565.0≤≤m d cm ，用岩垣公式计算总体平均粒径的摩阻流速cm u *，计算公式为
359.210114.05555/0
=⨯===*m cm d u ρτcm/s
各粒径组的临界推移力列表计算如下
16.11有比降为1/800，床面上的平均泥沙粒径为4.2mm 的渠道，试求在渠道上泥沙开始运动时的临界水深。

解：
2.4=m d mm=0.42cm>0.303cm
由岩垣公式 978.3342.09.809.80/2=⨯===*d u c c ρτcm 2/s 2
222
s /cm 978
.33800/1098=⨯===*h ghi ghJ u c 74cm .27980/800978.33=⨯=h
16.12河宽m 120=b ，流量/s m 6003=Q ，水面坡降800/1=J 的河流，河床泥沙的平均粒径
cm 8.1=m d ，试判别河床上的泥沙是否运动，已知当量粗糙度m d 35.3=∆。

解：
用流速分布的对数律公式 gRJ R
v )0.6ln
5.2(+∆= 河道的平均流速为 h
h bh Q v 5120600===
对于宽浅河道，取水力半径h R ≈，则由以上二式得
ghJ
d
h
gRJ
R
h )0.635.3ln 5.2(5
)0.6ln 5.2(5
+=
+∆
=
将有关已知数据代入得 h
h
h
h
ghJ d
h
h 1107.0)0.60603
.0ln
5.2(5
800/18.9)0.6100
/8.135.3ln
5.2(5
)0.635.3ln
5.2(5
⨯+=⨯+⨯=
+=
由上式解得m 097.2=h
水流的拖曳力为
2202/s m 0257.0800/097.28.9/=⨯===*ghJ u ρτ
泥沙的粒径为0.303cm cm 8.1>=m d ，由岩垣公式得临界拖曳力为
22222
/s m 014562.0/s cm 62.145
8.19.809.80/==⨯===*d u c c ρτ 因为ρτρτ//0c >，所以河床上的泥沙起动。

16.13有一宽浅河槽，水深m 0.1=h ，床沙粒径mm 0.1=d ，粗糙系数015.0=n ，如水的运动粘滞系数s /m 102
6
-=ν，3m /N 27000=s γ，求床沙开始发生冲刷时的单宽流量。

解：
先求临界推移力，再求单宽流量 计算希尔兹曲线的辅助尺子
5.41001.08.9)98009800
27000(1.010
001.0)(
1.06=⨯⨯-=--gd d
s γγγν
查希尔兹曲线图得
033.0)(=-d
s c
γγτ
5675.0001.0)980027000(033.0)(033.0=⨯-=-=d s c γγτN/m 2
2242/s m 10675.51000/5675.0/-*⨯===ρτc c u
因为ghJ u c =
*，所以临界水力坡度为
5-42
105.7911
8.910675.5⨯=⨯⨯==-*gh u J c
由曼宁公式，对于宽浅河道，h R ≈，则
J bh n
hJ h n bh RJ AC Q 6/106/11
1===
由上式得 m)s /(m 5073.010791.5015
.011356
/106/10⋅=⨯⨯==-J h
n q 16.14有一宽浅河槽，水深m 5.1=h ，床沙粒径mm 2.1=d ，3m /N 27000=s γ，试用冈恰洛夫公式求床沙开始发生冲刷时的单宽流量。

解：
m/s 6207.00012
.05
.18.8lg 0012.08.9980098002700075.128.8lg 75.120=⨯⨯⨯-=-=
d h gd v s γγγ
m)s /(m 931.05.16207.030⋅=⨯==h v q
16.15有一宽浅河槽，底坡0009.0=i ，粗糙系数02.0=n ，单宽流量m)s /(m 23⋅=q ，
3m /N 26000=s γ，为了防止冲刷，渠底须铺多大的砾石。

解：
根据曼宁公式 i h n
hi h n h RJ hC q 6/106/11
1=== 由上式求得 m 1884.1)0009
.02
02.0(
)(
10/610/6=⨯==i
nq h m/s 683.11884
.12===
h q v 用冈恰洛夫公式计算起动流速
d
d d d d h gd v s 458
.10lg
303.41884.18.8lg 8.9980098002600075.128.8lg 75.120=⨯⨯⨯-=-=
γγγ 当0v v =时，泥沙刚刚开始起动，即
683.1458
.10lg
303.4=d
d 由上式解得021.0=d m 。

为了防止冲刷，渠底须铺的砾石粒径021.0>砾石d m 。

16.16某水库下泄流量s /m 6003
=Q ，下游河道宽m 300=b ，过水断面面积2
m 550=A ，床沙平均粒径mm 5=d ，试判断河床是否冲刷，如冲刷，求冲刷深度。

解：
1）判断河床是否发生冲刷
下游河道水流的平均流速为 m/s 091.1550600===A Q v 下游河道的水深为 m 833.1091
.1300600=⨯==
bv Q H 起动流速用沙莫夫公式计算
m/s 87.0833.1)1000/5(6.46.46
/13/16/13/10=⨯⨯==H d v
因为0v v >，河床发生冲刷。

2）求河床的冲刷深度
设冲刷后的河床水深为H H ∆+，则
m 3.287
.03006000=⨯==
∆+bv Q H H 冲刷深度为 m 465.0833.13.23.2=-=-=∆H H
16.17河心滩把河流分成左右两条支河。

左支的平均河宽260m ，水深2.6m ；右支的平均河宽为130m ，水深1.6m ；两支河长度相等。

干流和两支流的粗糙系数n 均为0.03，河床泥沙的平均粒径为0.25mm 。

如果干流流量为1200m 3/s ，河宽为300m ，水深为3m ，问：1）左右两支河的流量各为多少？2）干流与两支流的比降各为多少？3）两支流是否会发生冲刷或淤积？
习题16.17图
解：
已知：/s m 12003=Q ，m 300=B ，m 30=h ，m 2601=b ，m 6.21=h ，m 1302=b ，m 6.12=h 。

03
/200J R n A Q =
13/2111J R n
A
Q =
23
/2222J R n A Q =
200m 9003300=⨯==Bh A ； 2.941m 3
2300900
2000=⨯+=+=h B A R
2111m 6766.2260=⨯==h b A ； 2.549m 6
.22260676
21111=⨯+=+=h b A R
2222m 2086.1130=⨯==h b A ；m 562.16
.12130208
22222=⨯+=+=
h b A R
003/203/200643.61581941.203
.0900J J J R n A Q =⨯==
4
2
2220108.3643
.615811200643.61581-⨯===Q J
113/213/2111353.42047549.203.0676J J J R n A Q =⨯==
223/223/2222892.9333562.103.0208J J J R n A Q =⨯==
21Q Q Q +=
当水流从分叉点流出到下游汇集点时，水头损失相同。

设左支河的水头损失为1
f h ，右支河的水头
损失为2
f h ，则
211
21211211
248v R C L
g v R L C g h f == 2
2
2222
22
222
248v R C L g v R L C g h f == 令以上二式相等得 22
1
211v R R C C v =
959.38549.203.0116/16/111=⨯==
R n C ；905.35562.103
.0116/16/122=⨯==R n C 2222121
1386.1562
.1549.2905.35959.38v v v R R C C v =⨯==
1200936.1144)208386.1676(22221121==+⨯=+=+=v v v A v A Q Q Q
求得m/s 048.12=v ；m/s 453.1048.1386.1386.121=⨯==v v 。

/s m 982453.16763111=⨯==v A Q ，/s m 218048.12083222=⨯==v A Q
4
222211104544.5353.42047982353.42047-⨯===Q J ；42
222
2210455.5892
.9333218892.9333-⨯===Q J 判断两支流是否会发生冲刷或淤积
因为泥沙粒径0.2mm mm 25.0>=d ，用沙莫夫公式计算起动流速
m/s 453.1m/s 34.02.6)1000/25.0(6.46.411/63/16/13/110=<=⨯⨯==v h d v
m/s 048.1m/s 313.01.6)1000/25.0(6.46.421/63/16
/12
3/120=<=⨯⨯==v h d v
所以两支河的河床均发生冲刷。

16.18有一峡谷河段，其平均断面可简化为宽120m ，深
50m 的矩形断面，流量
s /m 150003
=Q ，测得水面坡降0002.0=J 。

河床组成中的mm 20065=d ，无沙波，可按平整床面考虑。

试估算岸坡段的岸壁粗糙系数。

习题16.18图
解：
河段的断面平均流速为
m/s 5.250
12015000
=⨯==
A Q v 全断面的总粗糙系数计算如下
m 273.2750
212050
1202=⨯+⨯=+=
=h b bh A
R χ
051254.00.0002273.275
.2111/23/22/13/2=⨯⨯==
J R v n 对于无沙波的平整床面，粗糙系数031864.024/2.024/6/16
/165===d n b
用爱因斯坦法求岸壁阻力。

把过水断面分成1ωA 、2ωA 、b A ，其中21ωωA A =，21ωωn n =，可写出下列方程
b A A A A ++=21ωω （1） b b b R A χ= （2） 111ωωωχR A = （3） 222ωωωχR A = （4）
2
/13/211
1J R n v ωω=
（5）
2
/13/222
1J R n v ωω=
（6）
2
/13/21J R n v b b
= （7）
由式（7）得 m 369.13)0002
.05
.2031864.0(
)(
2/32/3=⨯==J
v n R b b
2m 24.1604120369.13=⨯==b b b R A χ
221m 76.439524.160450120=-⨯=-=+b A A A A ωω
因为21ωωA A =，所以88.21972/76.439521===ωωA A
m 958.4350/88.2197/111===ωωωχA R
.435
.2112/13/21
2
11⨯===J R v n n ωωω16.19有一规划中的库址河段，已知其综合粗糙系
数05.0=n ，河床由卵石组成，mm 15065=d ，可按平整床面考虑，当s /m 30003
=Q 时，水深
m 1.7=h ，河宽m 197=b ，试分别用姜国干和
爱因斯坦公式确定河床和岸壁的粗糙系数。

习题16.19图
解：
流量公式为
2/13/26/111J R n
bh RJ R n bh
RJ AC Q === 623.61
.721971.71972=⨯+⨯=+=
=
h b bh A
R χ
m
由此得
000925.0)623
.61.719705
.03000()(
23
/223/2=⨯⨯⨯==bhR Qn J 对于平整河床，河床床面的粗糙系数为
0304.024/15.024/6/16
/165===d n b
1）用姜国干公式计算岸壁粗糙系数
b b n n n n χχχχωωωω2
2221212++=
因为ωωωA A A ==21，ωωωn n n ==21，ωωωχχχ==21，所以上式可写成
b b n n n χχχωω2
222+=
0244.01.721970304.0)1.72197(05.02222
22
=⨯⨯-⨯+⨯=-=ωωχχχb b n n n
1561.00244.0==ωn
2）用爱因斯坦公式计算
b A A A A ++=21ωω （1） b b b R A χ= （2） 111ωωωχR A = （3） 222ωωωχR A = （4）
2
/13/211
1J R n v ωω=
（5）
2
/13/222
1J R n v ωω=
（6）
2
/13/21J R n v b b
= （7）
m/s 145.21
.71973000=⨯===
bh Q A Q v 由式（7）得 m 1394.3)000925
.0145.20304.0(
)(
2
/32/3=⨯==J
v n R b b
2m 46.6181971394.3=⨯==b b b R A χ
因为ωωωA A A ==21，所以
2m 12.390)46.6181.7197(2
1
)(21=-⨯=-=
b A A A ω m 946.541
.712
.390==
=
ω
ω
ωχA R 205.0000925.0946.54145
.2112/13/22/13/2=⨯⨯==
J R v n ωω 16.20当16.19题中的水库建成以后，库区将发生淤积，现有的卵石床面将被上游来沙所覆盖。

从来沙
资料可估计将来的床面粗糙系数017.0=b n ，岸
壁阻力系数仍如前所得。

试估算水库淤积后库区的综合粗糙系数n ，当s /m 30003
=Q 时，水深
m 5=h ，河宽m 300=b 。

解：
已知310523002=⨯+=+=h b χm ，
习题16.20图
205.0=ωn ，521===ωωωχχχm ， 017.0=b n ，300=b χm ，由爱因斯坦公式
b b b b n n n n n n χχχχχχωωωωωω2
/32/32/322/312/312/322+=++= 0298.0)310
300017.05205.02()
2(
3
/22/32/33
/22
/32/3=⨯+⨯⨯=+=χ
χχωωb
b n n n
16.21实验水槽宽1.0m ，在槽底铺沙进行实验。

当槽中水深为0.2m 时，实测流量s /m 2.03=Q ，水力坡降004.0=J ，水槽玻璃的粗糙系数
009.0=ωn ，水槽床面泥沙的 mm 75.065=d ，
试求床面沙粒阻力的水力半径b R '和床面形态阻力的水力半径b R ''。

习题16.21图
解：
水槽断面的平均流速为 m/s 0.12
.00.12.0=⨯===bh Q A Q v 总的水力半径为 m 1429.02
.020.12
.00.12=⨯⨯⨯=+=
=
h b A A
R χ
综合粗糙系数为 0173.0004.01429.00
.1112/13/22/13/2=⨯⨯==
J R v n 把过水断面分成b A 、1ωA 和2ωA ，且21ωωA A =， 21ωωn n =，21ωωχχ=，可以写出以下方程
b A A A A ++=21ωω （1） b b b R A χ= （2） 111ωωωχR A = （3） 222ωωωχR A = （4）
2
/13/211
1J R n v ωω=
（5） 2
/13/222
1J R n v ωω=
（6） 2
/13/21J R n v b b
=
（7）。