(中档)：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直【高中数学+二轮复习】

第一章空间直线、平面平行垂直
一、考纲解读
1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.
2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.
二、命题趋势探究
有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.
（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.
（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.
三、知识点精讲
(一).直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面α平行，记作l∥α
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）
表8-9
文字语言图形语言符号语言
线∥线⇒线∥面如果平面外的一条直线和
这个平面内的一条直线平
行，那么这条直线和这个平
面平行（简记为“线线平行
⇒线面平行
1
1
l l
l l
l
αα
α
⎫
⎪
⊂⇒
⎬
⎪
⊄⎭
∥
∥
面∥面⇒线∥面如果两个平面平行,那么在
一个平面内的所有直线都
平行于另一个平面
a
a
αβ
β
α
⎫
⇒
⎬
⊂⎭
∥
∥
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）
表8-10
文字语言图形语言符号语言
线∥面⇒线∥线如果一条直线和
一个平面平行,经
过这条直线的平
面和这个平面相
交,那么这条直线
就和交线平行l
l l l
l
α
β
αβ
⎫
⎪'⊂⇒
⎬
⎪'
=⎭
I
∥
∥
(二).两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面α和β,若αβφ
=
I,则α∥β
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）
表8-11
文字语言图形语言符号语言
判定定理线∥面⇒面∥面如果一个平面内有两
条相交的直线都平行
于另一个平面,那么这
两个平面平行（简记为
“线面平行⇒面面平行
,,
a b a b P
αα
⊂⊂=
I
a b
ββαβ
⇒
∥，∥∥
线⊥面⇒面∥面如果两个平面同垂直
于一条直线,那么这两
个平面平行
l
l
α
α
β
⊥⎫
⇒
⎬
⊥⎭
∥β
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）
表8-12
文字语言图形语言符号语言
面//面⇒线//面如果两个平面平
行，那么在一个平
面中的所有直线
都平行于另外一
个平面
//
//
a
a
αβ
β
α
⎫
⇒
⎬
⊂⎭
性质定理如果两个平行平
面同时和第三个
平面相交，那么他
们的交线平行（简
记为“面面平行⇒
//
//.
a a b
b
αβ
αγ
βγ
⎫
⎪
=⇒
⎬
⎪
=⎭
I
I
线面平行”）
面//面⇒线⊥面如果两个平面中
有一个垂直于一
条直线，那么另一
个平面也垂直于
这条直线
//
l
l
αβ
β
α
⎫
⇒⊥
⎬
⊥⎭
(三).线面垂直
1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.
2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）
表1
文字语言图形语言符号语言
判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则
在一个平面内垂
直于交线的直线
与另一个平面垂
直
α
β
β
α
β
α
⊥
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊥
⊂
=
⋂
⊥
b
a
b
b
a
,a b
a l
l
b l
a b P
α
α
⊂⎫
⎪
⊥⎪
⇒⊥
⎬
⊥⎪
⎪
=⎭
I
_
_a
平行与垂直的关
系1一条直线与两平
行平面中的一个
平面垂直，则该直
线与另一个平面
也垂直
β
α
β
α
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
a
a
//
平行与垂直的关
系2两平行直线中有
一条与平面垂直，
则另一条直线与
该平面也垂直
α
α
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
b
a
b
a//
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）
表2
文字语言图形语言符号语言
性质定理垂直于同一平面
的两条直线平行
b
a
b
a
a
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
文字语言图形语言符号语言
垂直与平行的关
系垂直于同一直
线的两个平面
平行
β
α
β
α
//
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
⊥
a
a
线垂直于面的性
质如果一条直线
垂直于一个平
面，则该直线与
,
l a l a
αα
⊥⊂⇒⊥
_
α
_b
_a
α
_b
_a
_
平面内所有直
线都垂直
(四).斜线在平面内的射影
1.斜线的定义
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.
2.射影的定义
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
3.直线与平面所成的角
平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；
是
在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.
0,
2
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦PAαA POαO AO PAαPAO
∠PAα
(五).平面与平面垂直 1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角
的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是
.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
2.平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的
两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，
，则）
l αβ--l O O αβl OA OB OA OB AOB ∠[]0,
πCD αβ=I CD γ⊥AB αγ=I BE βγ=I AB BE ⊥αβ⊥
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言图形语言符号语言
判定定理一个平面过另
一个平面的垂
线，则这两个平
面垂直
β
α
β
α
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
⊥
b
b
4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，
则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
α
β
β
α
β
α
⊥
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊥
⊂
=
⋂
⊥
b
a
b
b
a
_
_
_a
四、思路小结
(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.
（1） 证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2） 证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面.
（3） 证明线线平行的常用方法：○1利用直线和平面平行的判定定理；○2利用平行公理； (二).证明空间中直线、平面的垂直关系
线线线面面面 ⊥−−−−→←−−−−判定定理性质定理⊥−−−−→←−−−−判定定理
性质定理
⊥性质 性质
性质 判定
判定
判定 线∥面 线∥线
面∥面
图 0
（1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）.
,a b a b αα⊥⊂⇒⊥,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b b c P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥I ,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥I ,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥I ,a a βααβ⊥⊂⇒⊥
性质
性质
性质
性质
性质 判定
判定 判定 判定 判定
线∥面 线∥线
面∥面
线⊥面 线⊥线
面⊥面
图 3
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图3所示，由图可知，线面垂直在所有关
系中处于核心位置. 五、解答题题型总结
核心考点一：平行证明
【例1】已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示．求证：//AN MBD 平面．
原图：
连结AC 交BD 于O ，连结OM ，
∵底面ABCD 为矩形，∴O 为AC 的中点， ∵M N 、为侧棱PC 的三等分点， ∴CM MN =，∴//OM AN ，
∵OM ⊂平面MBD ，AN ⊄平面MBD ， ∴AN ∥平面MBD ．
A
B
C D M
N P
P
N M
D C
B
A
O
【例2】已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，F 为棱1BB 的中点，M 为体对角线1AC 的中点． 求证：直线MF ∥平面ABCD ．
原图：
【解析】
法一：
延长1C F 交CB 的延长线于点N ，连接AN ．
因为F 是1BB 的中点，所以F 为1C N 的中点，B 为CN 的中点． 又M 是线段1AC 的中点，故MF AN ∥． 又MF ⊄平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ． ∴MF ∥平面ABCD ．
法二：（可将图形调整一下，看得会更明显） 连结1B D ，BD ，由11AD B C ∥，11AD B C =，
∴点M 平分线段1B D ，又点F 平分线段1B B ，∴MF BD ∥． 又BD ⊂面ABCD ，MF ⊄面ABCD ， ∴直线MF ∥平面ABCD ．
【例3】长方体1111ABCD A B C D -中，点1P BB ∈（异于B 、1B ），1PA BA M =I ，1PC BC N =I ，求证：MN ∥平面ABCD ． 【解析】 法一：
D 1
A 1
B 1
C 1
M A
B C D
F
N
F
M
D 1
C 1
B 1A 1
D
C B
A
F
M
D 1C 1
B 1A 1
D C
B
A
∵1PBM AA M △∽△，∴
1
PM PB
MA AA =
． ∵1PBN CC N △∽△，∴
1
PN PB
NC CC =
又∵11CC AA =，∴
PM PN
MA NC
=
，∴AC MN ∥， 又MN ⊄面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴MN ∥面ABCD ． 法二：
可利用直线与平面的性质定理证明． 连结AC 、11A C ，长方体中AC ∥面11A C B ，
AC ⊂面ACP ，
又1A B PA M =I ，1PC BC N =I ， ∴面ACP I 面11A C B MN =， ∴AC MN ∥，
又MN ⊄面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴MN ∥面ABCD ．
核心考点二：垂直证明
【例1】如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形， 且1160A AB A AD ∠=∠=︒，求证：1CC BD ⊥．
N
M P A 1
D 1
C 1
B 1B C
D
A
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
O
Q
P C
D
M
原图：
● ∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥
连结BD ，AC 交于点O ，连结1A B ，1A D
∵1160A AB A AD ∠=∠=︒，由11A AD A AB △≌△可知， ∴1A BD △为等腰三角形，又BO OD =，
∴1AO BD ⊥．又1
AC AO O =I ， ∴BD ⊥面1A AO ，又11AA CC ∥，且1CC ⊂面1A AO ， ∴1CC BD ⊥．
【例2】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为PC 、
AB 的中点．若45PDA ∠=︒，
求证：MN ⊥面PCD ．
【追问】设2AB AD =，则PC ⊥面DMN ．
原图：
● 法一：
取PD 中点Q ，连结AQ ，MQ ，则1
2
MQ CD ∥； ∴MQ NA ∥，∴ANMQ 是平行四边形；
D
C B
A
D 1
C 1
B 1A 1N
M
D
C
B
A P
R
P
A
B
C
D M N
∵PA ⊥底面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，∴CD PA ⊥； 又由底面是矩形有CD AD ⊥，∴CD ⊥面PAD ； 又AQ ⊂面PAD ，∴AQ CD ⊥；
又∵45PDA ∠=︒，∴APD △是等腰直角三角形； 又PQ QD =，∴AQ PD ⊥； 又CD PD D =I ，AQ ⊥面PCD ； 又MN AQ ∥，∴MN ⊥面PCD ． 法二：
先完全仿照法一可证明CD ⊥面PAD ； 取CD 中点R ，连接MR 、NR 、PN 、NC ； 则MR PD ∥，NR AD ∥，∴面MRN ∥面PDA ； ∴CD ⊥面MRN ，∴MN CD ⊥； ∵45PDA ∠=︒，∴PA AD =， 又BC AD =，∴PA BC =，
又AN BN =，且90PAN CBN ∠=∠=︒， ∴根据三角形全等可知PN NC =； 又PM MC =，∴MN PC ⊥； ∵CD PC C =I ，∴MN ⊥面PCD ． 【追问】
∵45PDA ∠=︒，PA AD ⊥，∴2PD AD =
又2AB AD =，∴PD AB CD ==，即PCD △是等腰三角形．
∵M 是PC 的中点，∴DM PC ⊥．
由例题知MN PC ⊥，结合MN DM M =I ，得PC ⊥面DMN ．
【例3】(2018江苏,15)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB ,AB 1⊥B 1C 1. 求证:(1)AB ∥平面A 1B 1C ; (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC.
证明 (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1. 因为AB ⊄平面A 1B 1C ,A 1B 1⊂平面A 1B 1C , 所以AB ∥平面A 1B 1C.
(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形. 又因为AA 1=AB ,所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B.
又因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC.
又因为A 1B ∩BC=B ,A 1B ⊂平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC ,所以AB 1⊥平面A 1BC. 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC.
【例4】如图,在三棱台ABC -DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF ⊥平面ACFD ;
(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.
(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,
所以AC⊥平面BCK,
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.
(2)解因为BF⊥平面ACK,
所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.
在Rt△BFD中,BF=√3,DF=,
,
得cos∠BDF=√21
7
.
所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为√21
7
【例5】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得
到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD
的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,
又A 1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1⊂平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
【例6】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M
为PD的中点.
(1)证明:AD⊥平面P AC;
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
(1)证明∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.
∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.∵AC⊂平面P AC,PO⊂平面P AC,且AC∩PO=O,
∴AD⊥平面P AC.
(2)解取DO的中点N,连接MN,AN,
由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.
∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=√5
2
.
在Rt△ANM中,tan∠MAN=MN
AN =3
√5
2
=6√5
5
,
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为6√5
5
.
【例7】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面P AD⊥平面ABCD,P A⊥PD,P A=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;
(2)平面P AB⊥平面PCD;
(3)EF∥平面PCD.
证明(1)∵P A=PD,且E为AD的中点,
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,
∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.
∵平面P AD⊥平面ABCD,
∴AB⊥平面P AD.
∴AB⊥PD.又P A⊥PD,P A∩AB=A,
∴PD⊥平面P AB.∵PD⊂平面PCD,
∴平面P AB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.
∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.
∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,
∴ED∥BC,ED=BC,
∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,
∴EF∥GD.
又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
【例8】如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D 是BN的中点.
求证:(1)MD∥平面P AC;
(2)平面ABN⊥平面PMC.
3.证明(1)在△ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点,
所以MD∥AN.
又因为AN⊂平面P AC,MD⊄平面P AC,所以MD∥平面P AC.
(2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点,
所以AB⊥MC.
又因为AB⊥PC,PC⊂平面PMC,MC⊂平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因为AB⊂平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC.。