数学同步优化指导(湘教选修23)练习：8.2.4 第2课时 离散型随机变量的概率分布 活页作业13 Word含解析

活页作业(十三) 离散型随机变量的概率分布
一、选择题
1．某射手射击所得环数X 的概率分布如下：
A ．0.28
B ．0.88
C ．0.79
D ．0.51
解析：P (射击一次命中环数大于7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案：C
2．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n
2
的值为( )
A ．－0.2 C ． 0.1
D ．－0.1
解析：由离散型随机变量概率分布的性质可得m ＋n ＋0.2＝1；又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4.
∴m －n
2＝0.2.
答案：B
3．若P (X ≤n )＝1－a ，P (X ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤X ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )
D ．1－b (1－a )
解析：∵P (X ≥m )＝1－b ， ∴P (X ＜m )＝1－(1－b )＝b .
∴P (m ≤X ≤n )＝P (X ≤n )－P (X ＜m )＝1－a －b ＝1－(a ＋b ). 答案：C
4．抛掷两枚骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A ．1
6
B ．1
3
C ．1
2
D ．23
解析：根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两枚骰子，按所得的点数共有36个基本事件，而“X ＝2”对应(1,1)，“X ＝3”对应(1,2)，(2,1)，“X ＝4”对应
(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝1
18
，
P (X ＝4)＝336＝112.所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝1
6.
答案：A 二、填空题
5．随机变量Y 的概率分布如下：
则：(1)x (3)P (1＜Y ≤4)＝________. 解析：(1)由∑i ＝16
p i ＝1，得x ＝0.1.
(2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.55
6．随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝C
k (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5＜X ＜2.5)
＝____________.
解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1.解得C ＝4
3.
∴分布列为
∴P (0.5＜X ＜2.5)＝P (X ＝1)＝23＋29＝89. 答案：89
三、解答题
7．若离散型随机变量X 的概率分布为
求常数a 解：由离散型随机变量的性质得
⎩⎪⎨⎪
⎧
9a 2
－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，
解得a ＝13，或a ＝2
3
(舍)．
所以随机变量X 的概率分布为
8．著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分．记一名选手该题得分为X .
(1)求该选手得分不少于6分的概率； (2)求X 的概率分布．
解：(1)P (X ＝6)＝C 24
A 44＝14，P (X ＝12)＝1A 44＝124，
该选手得分不少于6分的概率为 P ＝P (X ＝6)＋P (X ＝12)＝7
24.
(2)X 的可能取值是0,3,6,12. P (X ＝3)＝C 14×2A 44＝1
3，
P (X ＝0)＝1－724－13＝924＝3
8.
所以X 的概率分布为
一、选择题
1．设离散型随机变量X 的分布列为
则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或1
2
C ．12
D ．1 解析：由题意知，a 2＋a 2
2＝1，a ＞0，
∴a ＝1.
∴E (X )＝0×12＋1×12＝1
2.故选C ．
答案：C
2．已知随机变量X 的概率分布为
若P (X 2＜x )＝11
12，则实数x 的取值范围是( )
A ．4≤x ≤9
B ．4＜x ≤9
C ．4≤x ＜9
D ．4＜x ＜9
解析：若P (X 2＜x )＝11
12，则X 要取遍0，±1，±2各个值．
当x ≤4时，X 2≤3，X 取不到±2； 当x ＞9时，X 2≤9，X 取到3. 均与已知矛盾． ∴4＜x ≤9. 答案：B 二、填空题
3．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________________．
解析：设X 取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13
.
由⎩⎨⎧
1
3
－d ≥0，1
3＋d ≥0，
得－13≤d ≤13
.
答案：⎣⎡⎦
⎤－13，1
3 4．随机变量X 的概率分布如下：
其中a ，b ，c 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝1
3.
∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝2
3
.
答案：23
三、解答题
5．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .
(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设X ＝m 2，求X 的概率分布． 解：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．
由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S ，且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝26＝1
3，
P (X ＝4)＝26＝13，P (X ＝9)＝1
6.
故X 的概率分布为
6．有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记ξ＝|x －2|＋|y －x |.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的概率分布． 解：(1)∵x ，y 可能的取值为1,2,3， ∴|x －2|≤1，|y －x |≤2.
∴ξ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，ξ＝3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3＝9种， ∴P (ξ＝3)＝2
9
.
故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为2
9.
(2)ξ的所有取值为0, 1,2,3.
∵ξ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况；
ξ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况； ξ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况； ξ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况．
∴P (ξ＝0)＝19，P (ξ＝1)＝49，P (ξ＝2)＝2
9，
P (ξ＝3)＝2
9
.
则随机变量ξ的概率分布为。