双渐开线齿轮齿面摩擦力对接触应力的影响
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* 基金项目： 山东省自然科学基金项目 （ ZＲ2014EEM003） ． 收稿日期： 2015 － 07 － 27 作者简介： 樊智敏 （ 1963 － ） ，男，博士，教授，博士研究生导 师，主要研究方向为机械传动设计理论与方法、机械系统创新 设计等． E-mail： zmfan@ 163． com．
2016 年 5 月 第 41 卷 第 5 期
润滑与密封
LUBＲICATION ENGINEEＲING
May. 2016 Vol. 41 No. 5
DOI： 10. 3969 / j. issn. 0254 － 0150. 2016. 05. 001
双渐开线齿轮齿面摩擦力对接触应力的影响*
檿檿檿檿檿檿檿 檿檿檿檿檿檿檿檿
双渐开线齿轮与渐开线齿轮的不同之处在于，双 渐开线齿 轮 端 面 齿 廓 由 两 段 分 阶 的 渐 开 线 组 成， 因 此，可以通过修改渐开线齿轮三维模型的端面齿廓， 得到双渐开线齿轮三维模型。首先，在渐开线齿廓的
2
润滑与密封
第 41 卷
d + 2lm 和 d － 2lm （ 其中 d 为齿轮直径，m 为齿轮模
图 3 无摩擦等效接触应力云图 Fig 3 The frictionless equivalent contact stress nephogram （ a） double involute gears； （ b） involute gears
3. 2 考虑摩擦力影响的接触应力分布 齿面间存在 4 种摩擦状态： 干摩擦、边界摩擦、
混合摩擦及 流 体 摩 擦［17］。齿 面 间 的 摩 擦 状 态 不 同， 则其摩擦因数不同［18］。当两齿面为流体摩擦接触时， 摩擦因数为 0. 001 ～ 0. 01； 当两齿面为混合摩擦接触 时，摩擦因数为 0. 01 ～ 0. 1； 当两齿面为边界摩擦接 触时，摩擦因数为 0. 1 ～ 0. 3； 当两齿面为干摩擦接 触时，摩擦因数为 0. 3 ～ 1. 5。摩擦因数是影响齿面
数） 处将其打断，然后分别将齿顶渐开线齿廓与齿
根渐开线齿廓进行适当的旋转变位，旋转角度计算公 式［13］如下：
α
=
y* πz
× 360°
（ 1）
最后以一段过渡曲线将两条渐开线齿廓连接，此
时需注意该过渡曲线应与齿顶渐开线齿廓相切。过渡 曲线方程［14］如下：
{x
=
rcosθ
+
（
rθ
－
Shg ）
sin（ γ + cosγ
齿轮节点以下靠近齿根处接触应力比较高，是容易发 生点蚀破坏的区域，这主要是因为双渐开线齿轮在齿 腰节线处 分 阶，齿 腰 过 渡 曲 线 附 近 齿 廓 不 接 触 的 缘 故。渐开线齿轮的最大等效接触应力为 913 MPa，双 渐开线齿轮最大等效接触应力为 919 MPa，双渐开线 齿轮与渐开线齿轮最大等效接触应力差别不大。
Keywords： double involute gears； tooth surface friction force； contact stress； involute gear
分阶式双渐开线齿轮 （ 简称双渐开线齿轮，下 同） 是综合了渐开线齿轮和双圆弧齿轮优点的一种 新型齿轮，其齿廓由两段相错的渐开线组成，两段渐 开线之间以一段过渡曲线连接，齿顶与齿根两段渐开 线成分阶式布置［1］。齿轮承载能力的分析与计算主要 是针对其不同的损伤形式开展的，近年来双渐开线齿 轮弯曲强度的计算研究已比较深入［2 －4］，但接触强度 的研究还是薄弱环节。目前双渐开线齿轮接触强度的
图 6 μ = 0. 6 时等效接触应力云图 Fig 6 The equivalent contact stress nephogram at friction coefficient μ = 0. 6 （ a） double involute gears； （ b） involute gears
润滑与密封
第 41 卷
图 5 μ = 0. 4 时等效接触应力云图 Fig 5 The equivalent contact stress nephogram at friction coefficient μ = 0. 4 （ a） double involute gears； （ b） involute gears
间摩擦力的重要因素之一，为充分考虑齿面摩擦力对 接触应力的影响，选取摩擦接触类型，摩擦因数 μ 设 置为 0. 1 ～ 0. 6［19］，对双渐开线齿轮进行有限元分析。
不同摩擦因数下的有限元分析结果如图 4—6 所 示，可以看出，相同摩擦因数下，双渐开线接触应力 分布与渐开线齿轮不同； 考虑摩擦时的接触应力分布 与不考虑摩擦时的接触应力分布差别不大，说明齿面 摩擦力对接触应力分布的影响不大。
计算仍采用渐开线齿轮接触强度计算公式［5 －9］，然而 双渐开线齿轮的轮齿形状与两个平行圆柱体或两个椭 球体差别极大。关于齿轮的接触强度，传统的渐开线 齿轮接触应力计算一般都建立在赫兹干接触分析基础 之上，忽 略 了 齿 面 摩 擦 力 对 接 触 应 力 的 影 响［10 － ， 12］ 这严重制约了双渐开线齿轮的发展应用。因此，本文 作者综合考虑齿面摩擦力的影响，对双渐开线齿轮进 行有限元分析，与渐开线齿轮进行对比，分析齿面摩 擦力对接触应力的影响。 1 双渐开线齿轮三维模型
双渐开线齿轮 渐开线齿轮
齿数 z1
23 23
齿数 z2
32 32
表 1 齿轮参数 Table 1 Gear parameters
模数 m / mm
4 4
压力角 α/（ °）
20 20
齿宽 b / mm
80 80
螺旋角 β/（ °） 31°25'26″ 31°25'26″
切向变位 系数 y*
0． 08
关键词： 双渐开线齿轮； 齿面摩擦力； 接触应力； 渐开线齿轮 中图分类号： TH132 文献标志码： A 文章编号： 0254 － 0150 （ 2016） 05 － 001 － 05
Effect of Tooth Surface Friction Force on Contact Stress of Double Involute Gears
表 2 齿轮材料属性
Table 2 Material properties of gear
弹性模量 E / GPa 210
密度 ρ / （ kg·m － 3 ） 7 800
泊松比 0． 3
图 2 齿轮有限元模型 Fig 2 The finite element model of gears （ a） double involute gears； （ b） involute gears
图 4 μ = 0. 2 时等效接触应力云图 Fig 4 The equivalent contact stress nephogram at friction coefficient μ = 0. 2 （ a） double involute gears； （ b） involute gears
4
θ）
y
=
rsinθ
－
（
rθ
－
Shg ）
coபைடு நூலகம்（ γ + cosγ
θ）
（ 2）
式中： r 为分度圆半径； θ 为渐开线摆角； Shg 为包络 点距刀具中垂线的距离； γ 为包络点的压力角。为使
齿轮首先出现点蚀破坏而非轮齿折断，选取大螺旋角
及较大的模数，齿轮参数如表 1 所示，齿轮传动三维
模型如图 1 所示。
2016 年第 5 期
樊智敏等： 双渐开线齿轮齿面摩擦力对接触应力的影响
3
3 有限元分析结果及讨论 3. 1 不考虑摩擦力影响的接触应力分布
对所建的双渐开线、渐开线齿轮有限元模型进行 分析求解，结果如图 3 所示。可以看出，无摩擦状态 下，双渐开 线 齿 轮 的 接 触 应 力 分 布 与 渐 开 线 齿 轮 不 同，渐开线齿轮节点附近接触应力比较高，双渐开线
Abstract： The finite element model of double involute gears was established，the effect of tooth surface friction force on contact stress was analyzed，and the analysis result was compared with that of involute gear． The results show that the maximum equivalent contact stress between the double involute gears and the involute gear has little difference，while the distribution of contact stress is different under the same friction condition． The high contact stress is near the node for the involute gear and near the root for the double involute gear． The tooth surface friction force has little influence on the distribution of contact stress，and large influence on the numerical value of contact stress． Therefore，the effect of tooth surface friction force must be considered in the analysis of contact stress． It is an effective method to improve the anti pitting ability and the contact fatigue life of gear by changing the lubrication condition of the tooth surface to reduce the tooth surface friction．
齿腰高度 系数 l*
0． 15
Fig 1
图 1 齿轮三维模型 The three-dimensional mode of gears （ a） double involute gears； （ b） involute gears
2 双渐开线齿轮有限元模型 将创建好的双渐开线齿轮三维模型，导入到有限
元分析软件中，进行材料属性的定义、网格的划分、 接触对的定义、边界条件的设定以及载荷的施加等， 建立双渐 开 线 齿 轮 有 限 元 模 型。齿 轮 材 料 选 择 45# 钢，其相应属性如表 2 所示。网格划分采用自由网格 法，既节省计算时间，又满足精度要求，划分网格后 的有限元模型如图 2 所示。接触类型选择无摩擦接 触，接触算 法 选 择 增 广 拉 格 朗 日 法［15］。 从 动 轮 选 取 固定约束，限制其各个方向的自由度； 主动轮选取圆 柱约束［16］，径向和轴向自由度设置为 Fixed，切向旋 转自由度设置为 Free，限制其径向和轴向自由度，使 其可以绕 齿 轮 轴 线 作 旋 转 运 动。主 动 轮 施 加 大 小 为 2 000 N·m 的转矩。
FAN Zhimin ZHOU Wanfeng WANG Ｒuixue
（ College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao Shandong 266061，China）
樊智敏 周万峰 王瑞雪
（ 青岛科技大学机电工程学院 山东青岛 266061）
摘要： 建立双渐开线齿轮有限元模型，分析齿面摩擦力对接触应力的影响，并与渐开线齿轮进行对比。结果表 明： 相同摩擦状态下，双渐开线齿轮与渐开线齿轮的最大等效接触应力的数值差别不大，但接触应力分布不同，渐开 线齿轮节点附近接触应力比较高，双渐开线齿轮节点以下靠近齿根处接触应力比较高； 齿面摩擦力对接触应力分布的 影响不大，但对接触应力数值的影响很大，因此在进行接触应力分析时，必须考虑齿面摩擦力的影响； 通过改变齿面 间的润滑条件，减小齿面摩擦力，是提高齿轮抗点蚀能力和接触疲劳寿命的有效方法。
2016 年 5 月 第 41 卷 第 5 期
润滑与密封
LUBＲICATION ENGINEEＲING
May. 2016 Vol. 41 No. 5
DOI： 10. 3969 / j. issn. 0254 － 0150. 2016. 05. 001
双渐开线齿轮齿面摩擦力对接触应力的影响*
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双渐开线齿轮与渐开线齿轮的不同之处在于，双 渐开线齿 轮 端 面 齿 廓 由 两 段 分 阶 的 渐 开 线 组 成， 因 此，可以通过修改渐开线齿轮三维模型的端面齿廓， 得到双渐开线齿轮三维模型。首先，在渐开线齿廓的
2
润滑与密封
第 41 卷
d + 2lm 和 d － 2lm （ 其中 d 为齿轮直径，m 为齿轮模
图 3 无摩擦等效接触应力云图 Fig 3 The frictionless equivalent contact stress nephogram （ a） double involute gears； （ b） involute gears
3. 2 考虑摩擦力影响的接触应力分布 齿面间存在 4 种摩擦状态： 干摩擦、边界摩擦、
混合摩擦及 流 体 摩 擦［17］。齿 面 间 的 摩 擦 状 态 不 同， 则其摩擦因数不同［18］。当两齿面为流体摩擦接触时， 摩擦因数为 0. 001 ～ 0. 01； 当两齿面为混合摩擦接触 时，摩擦因数为 0. 01 ～ 0. 1； 当两齿面为边界摩擦接 触时，摩擦因数为 0. 1 ～ 0. 3； 当两齿面为干摩擦接 触时，摩擦因数为 0. 3 ～ 1. 5。摩擦因数是影响齿面
数） 处将其打断，然后分别将齿顶渐开线齿廓与齿
根渐开线齿廓进行适当的旋转变位，旋转角度计算公 式［13］如下：
α
=
y* πz
× 360°
（ 1）
最后以一段过渡曲线将两条渐开线齿廓连接，此
时需注意该过渡曲线应与齿顶渐开线齿廓相切。过渡 曲线方程［14］如下：
{x
=
rcosθ
+
（
rθ
－
Shg ）
sin（ γ + cosγ
齿轮节点以下靠近齿根处接触应力比较高，是容易发 生点蚀破坏的区域，这主要是因为双渐开线齿轮在齿 腰节线处 分 阶，齿 腰 过 渡 曲 线 附 近 齿 廓 不 接 触 的 缘 故。渐开线齿轮的最大等效接触应力为 913 MPa，双 渐开线齿轮最大等效接触应力为 919 MPa，双渐开线 齿轮与渐开线齿轮最大等效接触应力差别不大。
Keywords： double involute gears； tooth surface friction force； contact stress； involute gear
分阶式双渐开线齿轮 （ 简称双渐开线齿轮，下 同） 是综合了渐开线齿轮和双圆弧齿轮优点的一种 新型齿轮，其齿廓由两段相错的渐开线组成，两段渐 开线之间以一段过渡曲线连接，齿顶与齿根两段渐开 线成分阶式布置［1］。齿轮承载能力的分析与计算主要 是针对其不同的损伤形式开展的，近年来双渐开线齿 轮弯曲强度的计算研究已比较深入［2 －4］，但接触强度 的研究还是薄弱环节。目前双渐开线齿轮接触强度的
图 6 μ = 0. 6 时等效接触应力云图 Fig 6 The equivalent contact stress nephogram at friction coefficient μ = 0. 6 （ a） double involute gears； （ b） involute gears
润滑与密封
第 41 卷
图 5 μ = 0. 4 时等效接触应力云图 Fig 5 The equivalent contact stress nephogram at friction coefficient μ = 0. 4 （ a） double involute gears； （ b） involute gears
间摩擦力的重要因素之一，为充分考虑齿面摩擦力对 接触应力的影响，选取摩擦接触类型，摩擦因数 μ 设 置为 0. 1 ～ 0. 6［19］，对双渐开线齿轮进行有限元分析。
不同摩擦因数下的有限元分析结果如图 4—6 所 示，可以看出，相同摩擦因数下，双渐开线接触应力 分布与渐开线齿轮不同； 考虑摩擦时的接触应力分布 与不考虑摩擦时的接触应力分布差别不大，说明齿面 摩擦力对接触应力分布的影响不大。
计算仍采用渐开线齿轮接触强度计算公式［5 －9］，然而 双渐开线齿轮的轮齿形状与两个平行圆柱体或两个椭 球体差别极大。关于齿轮的接触强度，传统的渐开线 齿轮接触应力计算一般都建立在赫兹干接触分析基础 之上，忽 略 了 齿 面 摩 擦 力 对 接 触 应 力 的 影 响［10 － ， 12］ 这严重制约了双渐开线齿轮的发展应用。因此，本文 作者综合考虑齿面摩擦力的影响，对双渐开线齿轮进 行有限元分析，与渐开线齿轮进行对比，分析齿面摩 擦力对接触应力的影响。 1 双渐开线齿轮三维模型
双渐开线齿轮 渐开线齿轮
齿数 z1
23 23
齿数 z2
32 32
表 1 齿轮参数 Table 1 Gear parameters
模数 m / mm
4 4
压力角 α/（ °）
20 20
齿宽 b / mm
80 80
螺旋角 β/（ °） 31°25'26″ 31°25'26″
切向变位 系数 y*
0． 08
关键词： 双渐开线齿轮； 齿面摩擦力； 接触应力； 渐开线齿轮 中图分类号： TH132 文献标志码： A 文章编号： 0254 － 0150 （ 2016） 05 － 001 － 05
Effect of Tooth Surface Friction Force on Contact Stress of Double Involute Gears
表 2 齿轮材料属性
Table 2 Material properties of gear
弹性模量 E / GPa 210
密度 ρ / （ kg·m － 3 ） 7 800
泊松比 0． 3
图 2 齿轮有限元模型 Fig 2 The finite element model of gears （ a） double involute gears； （ b） involute gears
图 4 μ = 0. 2 时等效接触应力云图 Fig 4 The equivalent contact stress nephogram at friction coefficient μ = 0. 2 （ a） double involute gears； （ b） involute gears
4
θ）
y
=
rsinθ
－
（
rθ
－
Shg ）
coபைடு நூலகம்（ γ + cosγ
θ）
（ 2）
式中： r 为分度圆半径； θ 为渐开线摆角； Shg 为包络 点距刀具中垂线的距离； γ 为包络点的压力角。为使
齿轮首先出现点蚀破坏而非轮齿折断，选取大螺旋角
及较大的模数，齿轮参数如表 1 所示，齿轮传动三维
模型如图 1 所示。
2016 年第 5 期
樊智敏等： 双渐开线齿轮齿面摩擦力对接触应力的影响
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3 有限元分析结果及讨论 3. 1 不考虑摩擦力影响的接触应力分布
对所建的双渐开线、渐开线齿轮有限元模型进行 分析求解，结果如图 3 所示。可以看出，无摩擦状态 下，双渐开 线 齿 轮 的 接 触 应 力 分 布 与 渐 开 线 齿 轮 不 同，渐开线齿轮节点附近接触应力比较高，双渐开线
Abstract： The finite element model of double involute gears was established，the effect of tooth surface friction force on contact stress was analyzed，and the analysis result was compared with that of involute gear． The results show that the maximum equivalent contact stress between the double involute gears and the involute gear has little difference，while the distribution of contact stress is different under the same friction condition． The high contact stress is near the node for the involute gear and near the root for the double involute gear． The tooth surface friction force has little influence on the distribution of contact stress，and large influence on the numerical value of contact stress． Therefore，the effect of tooth surface friction force must be considered in the analysis of contact stress． It is an effective method to improve the anti pitting ability and the contact fatigue life of gear by changing the lubrication condition of the tooth surface to reduce the tooth surface friction．
齿腰高度 系数 l*
0． 15
Fig 1
图 1 齿轮三维模型 The three-dimensional mode of gears （ a） double involute gears； （ b） involute gears
2 双渐开线齿轮有限元模型 将创建好的双渐开线齿轮三维模型，导入到有限
元分析软件中，进行材料属性的定义、网格的划分、 接触对的定义、边界条件的设定以及载荷的施加等， 建立双渐 开 线 齿 轮 有 限 元 模 型。齿 轮 材 料 选 择 45# 钢，其相应属性如表 2 所示。网格划分采用自由网格 法，既节省计算时间，又满足精度要求，划分网格后 的有限元模型如图 2 所示。接触类型选择无摩擦接 触，接触算 法 选 择 增 广 拉 格 朗 日 法［15］。 从 动 轮 选 取 固定约束，限制其各个方向的自由度； 主动轮选取圆 柱约束［16］，径向和轴向自由度设置为 Fixed，切向旋 转自由度设置为 Free，限制其径向和轴向自由度，使 其可以绕 齿 轮 轴 线 作 旋 转 运 动。主 动 轮 施 加 大 小 为 2 000 N·m 的转矩。
FAN Zhimin ZHOU Wanfeng WANG Ｒuixue
（ College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao Shandong 266061，China）
樊智敏 周万峰 王瑞雪
（ 青岛科技大学机电工程学院 山东青岛 266061）
摘要： 建立双渐开线齿轮有限元模型，分析齿面摩擦力对接触应力的影响，并与渐开线齿轮进行对比。结果表 明： 相同摩擦状态下，双渐开线齿轮与渐开线齿轮的最大等效接触应力的数值差别不大，但接触应力分布不同，渐开 线齿轮节点附近接触应力比较高，双渐开线齿轮节点以下靠近齿根处接触应力比较高； 齿面摩擦力对接触应力分布的 影响不大，但对接触应力数值的影响很大，因此在进行接触应力分析时，必须考虑齿面摩擦力的影响； 通过改变齿面 间的润滑条件，减小齿面摩擦力，是提高齿轮抗点蚀能力和接触疲劳寿命的有效方法。