相关函数及其谱在数字信号处理系统中的应用

相关函数及其谱在数字信号处理系统中的应用
郭焕银
【摘要】简述了线性时不变系统输入、输出序列的自相关、互相关函数定义,导出了它们与系统函数之间的基本关系.较为详细地分析了相关函数及其谱在信号检测与辨识、估算未知系统的冲激响应(系统函数)以及对频率响应为H(ω)的未知系统的辨识方面的应用.一方面能够加深对这些基本概念的理解;另一方面理论联系实际,可以解决实际工作中遇到的问题,从而更好的掌握和运用这方面的知识.
【期刊名称】《宿州学院学报》
【年(卷),期】2005(020)005
【总页数】4页(P76-79)
【关键词】自相关;互相关;线性时不变系统;辨识
【作者】郭焕银
【作者单位】宿州学院,物理系,安徽,宿州,234000
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.72
众所周知，在数字信号处理系统中，经常需要对各种各样的信号进行处理，但信号在传送或接收的过程中，经常要受到各种各样干扰信号的污染，这时，要从污染的信号中检测出所需的信号，就需要用到两个信号之间的相关运算，以衡量两个信号之间的相似程度并提取一些在很大程度上和应用有关的信息。

例如在雷达和主动声
纳系统中，设x(n)是发射信号的取样，y(n)是在A/D转换器的输出端接收到的信号，如果目标是空间某个被雷达或声纳搜索的物体，则接收信号y(n)由发射信号经目标反射并经加性噪声污染的延迟信号组成，这时系统可描述为：
y(n)=αx(n-D)+w(n)
其中α为衰减因子，表示信号x(n)来回反射中的损失，D是来回产生的延迟，这里设为取样间隔的整数倍，w(n)表示天线收到的加性噪声及接收机前置电子器件产生的噪声。

若系统搜索空间没有目标，则y(n)中只含有噪声。

雷达或声纳探测的目的是比较y(n)和x(n)，判断目标是否存在，若存在通过求延迟D来确定目标的距离。

然而实际上由于x(n-D)受加性噪声的污染，已不可能从波形上判断目标存在与否，相关则提供了这种检测的方法。

又如在数字通信中，从一点传送到另一点的信息，通常以二进制形式发送，发0时用信号序列x0(n)(0≤n≤L-1)表示，发1时用序列x1(n)(0≤n≤L-1)表示，L表示序列中取样值的数目。

通常x0(n)与x1(n)极性相反，这时接收机收到的信号可表示为：
y(n)=xi(n)+w(n)
(i=0，1) (0≤n≤L-1)
式中w(n)为加性噪声干扰及通信系统固有的其他干扰。

由于w(n)的存在，我们无法确定x0(n)或x1(n)是否是y(n)中的成分，但可确定的是接收机收到的信号不是x0(n)就是x1(n)。

现在的任务就是把y(n)与x0(n)和x1(n)比较，以确定y(n)是更像x0(n)，还是更接近x1(n)，这也需用相关函数来进行检测。

总之，在雷达、声纳、数字通信、地质及其他科学和工程领域，信号的相关性分析都有很广泛的应用。

1 两个实信号的互相关序列及自相互关序列[1，2]
1.1 两个能量实信号的互相关序列及自相关序列
定义1：设x(n)、y(n)是两个能量有限的实信号序列，则能量信号互相关序列为：及
故：rxy(m)=ryx(-m)
即rxy(m)是ryx(-m)关于m=0的折叠形式，两者提供的关于x(n)、y(n)相似性方面的信息完全一样。

根据卷积的定义，可以得出互相关序列更简明的表达式：
rxy(m)=x(m)*y(-m)=x(n)*y(-n)|n=m
则计算卷积的运算可直接用来计算两个序列的相关。

定义2：设x(n)、y(n)是两个能量有限的实信号序列，令定义1中y(n)=x(n),则得到自相关序列为：
=x(n)*x(-n)|n=m
或:
=y(n)*y(-n)|n=m
根据定义1、2，容易得出相关序列具有如下性质：
rxy(m)=ryx(-m)
rxy(m)=x(n)*y(-n)|n=m
rxx(m)=rxx(-m)
rxx(0)=Ex
ryy(0)=Ey
|rxx(m)|≤rxx(0)=Ex
其中：Ex、Ey为x(n)、y(n)的能量。

1.2 周期性功率信号的互相关序列及自相关序列
设x(n)，y(n)是两个周期性功率信号，其相关序列的定义为:
当x(n)、y(n)是两个周期为N的周期信号时：
显然rxy(m)、rxx(m)也是周期为N的周期序列，可看作是归一化标量因子。

2 线性时不变(LTI)系统的输入输出相关函数表示[1～5]
设LTI系统的输入x(n)，其自相关rxx(m)已知，其冲激响应为h(n)，产生的输出为y(n)，则系统可用图1表示。

图1 LTI系统的输入-输出及自相关-互相关表示
根据LTI系统性质有：
y(n)=h(n)*
而ryx(m)=y(m)*x(-m)
=h(m)*x(m)*x(-m)
=h(m)*rxx(m)
同理：rxy(m)=h(-m)*rxx(m)
ryy(m)=y(m)*y(-m)
=[h(m)*x(m)]*[h(-m)*x(-m)]
=[h(m)*h(-m)]*[x(m)*x(-m)]
=rhh(m)*rxx(m)
或:
3 相关在检测与辨识信号方面的应用
如前所述，一般信号在传送接收的过程中均含加性噪声污染，而利用相关性可从污染的信号中检测与辨识出所需的信号。

设y(n)=x(n)+w(n)，其中x(n)是一未知周期为N的周期信号，w(n)为加性随机干扰，假定我们观测y(n)的M个样本，即0≤n≤M-1其中M≫N，而当n<0和
n≥M时y(n)可视为0，并利用归一化因子1/M，可确定y(n)的自相关序列为：
=rxx(m)+rww(m)+rxw(m)+rwx(m)
因x(n)是周期的，故rxx(m)为周期的，进而ryy(m)也为周期的，并且其周期相同，且在m=0、N、2N……时，rxx(m)出现较大的峰值，然随m趋向M，峰值会逐
渐减小。

我们希望x(n)与w(n)不相关，则信号x(n)与w(n)之间的互相关rxw(m)、rwx(m)相对较小约为零，而rww(m)是w(n)的自相关序列，由于随机信号的特点，虽然在m=0时出现峰值，但随m增大很快衰减到0。

故当m>0时，只有rxx(m)有较大的降值，根据这一特点即可从被噪声污染的信号中检测出周期信号x(n)是
否存在以及其周期是多少。

例如：设信号x(n)=sin(nπ/5),0≤n≤99，x(n)与w(n)混在一起，噪声的值是一个
个独立选取的，服从在上均匀分布，其中Δ是分布参数。

观测序列
y(n)=x(n)+w(n)，其中w(n)、y(n)的波形如图1[1](a)、(b)所示，则很难从y(n)中观察出周期性。

然而，本例中x(n)的周期为显然为10，但假设不知，这里有
y(n)(0≤n≤M-1，M=100)的有限时宽序列，噪声信号w(n)的功率水平Pw由Δ决定，则Pw=Δ2/12，信号功率水平Px=1/2，故信噪比为Px/Pw=6/Δ2或
10lg(Px/Pw)=7．78-20lgΔdB。

图1(c)是SNR=1dB时的y(n)=x(n)+w(n)的自相关序列ryy(m)，可清楚地看出埋藏在y(n)中的周期信号x(n)导致了一个周期性自相关函数rxx(m)，其周期为10，加性噪声效应在m=0时出现峰值，但m≠0时，因噪声是不相关的，故
rww(m)≈0(白噪声)。

为比较，图2[1]给出SNR=5dB情况，显然尽管噪声很小，但是从y(n)观察周期性仍不容易，但ryy(m)却清楚的很。

图2 用自相关方法检测被噪声污染的周期信号 (SNR=1dB)
图3 用自相关方法检测被噪声污染的周期信号 (SNR=5dB)
4 在估计未知系统冲激响应方面的应用
以上讨论的相关序列计算时需要用到卷积运算，给计算带来不变，这里将其转变为Z域分析[4,5]。

由:ryy(m)=rhh(m)*rxx(m)
ryx(m)=h(m)*rxx(m)
将其Z变换得到：
Syy(z)=Shh(z)Sxx(z)
=H(z)H(z-1)Sxx(z)Syx(z)
=H(z)Sxx(z)
将z=ejω代入上式，即可得到频域分析公式：
Syy(ω)=|H(ω)|2Sxx(ω)
=|H(ω)|2|X(ω)|2
Syx(ω)=H(ω)Sxx(ω)
=H(ω)|X(ω)|2(Parseval定理)
其中Syx(ω)称为{y(ω)}与{x(ω)}的互能量谱密度，Sxx(ω)是输入信号的能量谱密度，Syy(ω)是输出信号的能量谱密度。

根据ryy(m)与Syy(ω)的傅里叶变换关系有：
则：
设输入信号的谱是平坦的，即当-π≤ω≤π时，Sxx(ω)=Ex=常数，则：
Syx(ω)=H(ω)Ex
即H(ω)=Syx(ω)/Ex
相应等价于h(n)=ryx(n)/Ex。

由此可见，当用一个谱比较平坦的信号{x(n)}激励系
统并计算输入输出的互相关，则可确定系统的冲激响应h(n)。

5 对频率响应为H(ω)的未知系统的辨识
若考虑一个离散时间线性时不变系统，它的单位取样响应为，频率响应为H(f)，
且设{h(n)}是实的；再假设x(n)是一个平稳随机过程X(n)的样本函数，用x(n)激励系统，其响应表示为y(n)，则[4,5]：
*x(n)
因x(n)是随机输入的，故y(n)也是随机序列。

即对于随机过程X(n)的每个样本序
列x(n)，在输出随机过程Y(n)中存在一对应的样本序列y(n)。

为找出输出随机过
程Y(n)的统计特征与输入随机过程X(n)的统计特征及系统特征之间的联系，定义
输出y(n)的期望[1,2]：
根据傅里叶变换有:
则：
随机输入x(n)自相关序列期望为：
γxx(m)=E[x*(n)x(n+m)]
则随机输出y(n)的自相关序列期望为：
γyy(m)=E[y*(n)y(n+m)]
这是输出自相关的一般形式，它包含了输入自相关和系统的冲激响应。

当输入随机过程为白噪声时，mx=0且若是输入信号的功率，则：
在此条件下，根据parseval定理,输出过程的平均功率为：
将γyy(m)的功率谱密度变换到频域，则有：
+m)e-jω(k-n+m)ejωke-jωn]
=Γxx(ω)H*(ω)H(ω)
=Γxx(ω)|H(ω)|2=|H(ω)|2Γxx(ω)
这就是输出过程的功率谱密度与输入过程功率谱密度和系统频率响应之间的理想关系式。

另外，因故有：
E[y(n)x*(n-m)]
=h(m)*γxx(m)
对应地等价到频域为：Γyx(ω)=H(ω)Γxx(ω)
而当x(n)为白噪声时，
由此可见：频率响应为H(ω)的未知系统可以通过输入白噪声，计算输入序列与输出序列的互相关γyx(m)，然后再对γyx(m)进行傅里叶变换来辨识。

6 结束语
本文简单阐述了离散系统的输入、输出的自相关函数及互相关函数及其谱概念，结合实际给出了它们在信号辨识、估算未知系统的冲激响应及未知系统的辨识方面的具体应用，从而加深对相关函数应用的理解。

【相关文献】
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