【沪科版】九年级数学上期中模拟试题含答案

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）
A ．15°
B ．22.5°
C ．25°
D ．30° 2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋
转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（ ）
A ．(3,1)
B ．(3,1)-
C ．(1,3)--
D ．(1,3) 3．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，B
E 边和AC 相交于点
F ，则EF 的值是（ ）
A ．78
B ．1
C ．45
D ．23
4．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，把△ABC 绕着点A 逆时针旋转40°得到△ADE ，∠1＝30°，则∠BAE ＝（ ）
A ．10°
B ．30°
C ．40°
D ．70°
6．如图,已知△ABC 与△CDA 关于点O 成中心对称,过点O 任作直线EF 分别交AD,BC 于点E,F,则下则结论:①点E 和点F,点B 和点D 是关于中心O 的对称点;②直线BD 必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等;⑤△AOE 与△COF 成中心对称.其中正确的个数为 ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：
①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 9．对于二次函数()2532y x =-+的图象，下列说法中不正确的是（ ）
A ．顶点是()3,2
B ．开口向上
C ．与x 轴有两个交点
D ．对称轴是3x =
10．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-
x 223+x 53+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A ．6米
B ．8米
C ．10米
D ．12米 11．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3 B ．6
C ．8
D ．9 12．关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≥-且3a ≠
B ．1a >-且3a ≠
C ．1a ≥-
D ．1a >- 13．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定 14．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为
（ ）
A ．0
B ．2020
C ．1
D ．-2020 二、填空题
15．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．
16．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么
()b a b c a ++的值为______．
x
… 3- 2- 0 … y … 3 1.68- 1.68-
…
17．关于x 的方程()2
10x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______． 18．若关于x 的一元二次方程()2
3x c -=有实根，则c 的值可以是
_________________．(写出一个即可)
19．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．
20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）
三、解答题
21．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：
（1）如图1，点Р是正方形ABCD 内一点，1,2,3PA PB PC ===，你能求出APB ∠的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将PBC ∆绕点B 逆时针旋转90，得到'P BA ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数；
思路二：将PAB ∆绕点B 顺时针旋转90，得到'P CB ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数．
请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
（2）如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，要使45APB ∠=，线段PA ，PB ，PC 应满足怎样的等量关系？
请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．
22．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝110°，∠BOC ＝α．将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ．
（1）求证：△DOC 是等边三角形；
（2）当AO ＝5，BO ＝4，α＝150°时，求CO 的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形．
23．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.
（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．有这样一个问题：探究函数2
43y x x =-+的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数243y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数243y x x =-+的自变量x 的取值范围是_______．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数243y x x =-+的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面的函数2
43y x x =-+，下列四个结论：
①函数图象关于y 轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <-时，y 随x 的增大而减小；
④函数图象与x 轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是_____．
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程243x x k -+=有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．
25．已知关于x 的方程()22120x k x k ---=，求证：不论k 取何值，这个方程都有两个实数根．
26．解方程：
（1） 2890x x --=
（2）（x+1）2=6x+6
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD 的度数．
【详解】
解：∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，
∴∠AD'D=12
(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°， ∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律即可得．
【详解】
绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将纵坐标变为相反数，
(3,1)A -，
(1,3)A ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律，熟练掌握绕原点顺时针旋转90︒的点坐标变换规律是解题关键．
3．A
解析：A
【分析】
由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵ABC ∆≌EDB ∆，
∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．
∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，
∴O 为DE 中点，
∴OB=OE ，
∴∠OBE=∠E ，
∴∠OBE=∠A ，
∴AF=BF ，
设AF=BF=x ，则CF=4-x ，
∵222BC CF BF +=，
∴2223(4)x x +-=，
∴258
x =
， ∴258BF =， ∴257488
EF BE BF =-=-
=． 故选A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；
C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．D
解析：D
【分析】
先找到旋转角，根据∠BAE ＝∠1+∠CAE 进行计算．
【详解】
解：根据题意可知旋转角∠CAE ＝40°，所以∠BAE ＝30°+40°＝70°．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．
6．D
解析：D
【分析】
由于△ABC 与△CDA 关于点O 对称，那么可得到AB=CD 、AD=BC ，即四边形ABCD 是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断．
【详解】
△ABC 与△CDA 关于点O 对称，则AB=CD 、AD=BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形， 因此点O 就是▱ABCD 的对称中心，则有：
（1）点E 和点F ；B 和D 是关于中心O 的对称点，正确；
（2）直线BD 必经过点O ，正确；
（3）四边形ABCD 是中心对称图形，正确；
（4）四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等，正确；
（5）△AOE 与△COF 成中心对称，正确；
其中正确的个数为5个，
故选D ．
【点睛】
熟练掌握平行四边形的性质和中心对称图形的性质是解决此题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据选项中的二次函数图象和一次函数图象，判断a 和b 的正负，选出正确的选项．
【详解】
A 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足0ab >，故错误；
B 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、二、四象限，0a <，0b >，不满足ab>0，故错误；
C 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足ab>0，故错误；
D 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过二、三、四象限，0a <，0b <，满足ab>0，正确
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数图象和一次函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．
8．B
解析：B
【分析】
由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，
∴a ＞0；
又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴，
∴c ＜0；
∴ac ＜0，即①正确；
②由图象知，对称轴x ＝2b a
-＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；
④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选：B ．
【点睛】
此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．
9．C
解析：C
【分析】
根据函数图象和性质逐个求解即可．
【详解】
解：对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为（3，2）， A ．二次函数y ＝5（x ﹣3）2+2的图象的顶点坐标为（3，2），故本选项不符合题意； B ．由于a ＝5＞0，所以抛物线开口向上，故本选项不符合题意；
C ．由于y ＝5（x ﹣3）2+2＝5x 2﹣30x+47，则△＝b 2﹣4ac ＝900﹣4×5×47＝﹣40＜0，所以该抛物线与x 轴没有交点，故本选项符合题意；
D ．对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，故本选项不符合题意． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 10．C
解析：C
【分析】
根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．
【详解】
解：当y =0时，即y 112=-
x 223+x 53
+=0， 解得：x =﹣2（舍去），x =10．
∴该生此次实心球训练的成绩为10米．
故选：C ．
【点睛】 本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：260x x c -+=有两个相等的实根，
2(6)40c ∴∆=--=，
解得：9c =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x 的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式0∆>即可得到答案．
【详解】
∵关于x 的方程()32
a x 4x 10---=有两个不相等的实数根 ∴a-3≠0，且2=(4)4(3)(1)440a a ∆--⨯-⨯-=+>
解得：1a ≥-且a≠3
故选B ．
【点睛】
本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a 的不等式，是解题的关键．
13．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．
【详解】
解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．
∵k 2≥0，
∴k 2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数
根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．
14．A
解析：A
【分析】
将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．
【详解】
解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b
∴2202030a a +-=，即220302a a =-
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab
∵ab=-3
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．
二、填空题
15．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口
解析：②③
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，
∴a ＜0，c ＞0，
∵-
2b a =12
， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，
即b2＞4ac ，所以②正确；
∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），
而抛物线的对称轴为直线x=
12， ∴点（-2，0）关于直线x =12
的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．
由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，
∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；
故答案为②③．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
16．6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1则−＝−1所以＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线
解析：6
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a
＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算
b a （a ＋b ＋
c ）的值．
【详解】
解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），
∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−
2b a ＝−1， ∴b a
＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，
∵x ＝−3时，y ＝3，
∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3， ∴
b a
（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6． 故答案为：6．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
17．-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得：k1=k2=-1故答案为：-1【点睛】此题主要考查了根的
解析：-1
【分析】
根据方程()2
10x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k 的一元二次方程，解方程求出k 值即可得答案．
【详解】
∵方程()22
1(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根， ∴()2
140k k =-+=， 解得：k 1=k 2=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．
18．1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得于是只要使c 的值非负即可【详解】解：若关于的一元二次方程有实根则所以的值可以是1（答案不唯
一）故答案为：1（答案不唯一）【点睛】本题考查了一元二次方程的解 解析：1（答案不唯一）
【分析】
根据非负数的性质可得0c ≥，于是只要使c 的值非负即可．
【详解】
解：若关于x 的一元二次方程()2
3x c -=有实根，
则0c ≥，所以c 的值可以是1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键． 19．10【分析】设共有x 个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x 个队参加比赛根据题意得：2×x （x-1）=90整理得：x2
解析：10．
【分析】
设共有x 个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x
的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共有x 个队参加比赛，
根据题意得：2×12
x （x-1）=90， 整理得：x 2-x-90=0，
解得：x=10或x=-9（舍去）．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．
20．①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线
解析：①③
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，
0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，
12b a
∴-=， 2b a ∴=-，
20b a ∴+=，故②错误；
③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；
④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）135；（2）2222PA PB PC +=
【分析】
（1）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，
AP'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，证得PA2+P'P2=AP'2，由△PBP'是等腰直角三角形可得出结论．
【详解】
（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，
则△ABP'≌△CBP，AP'=CP=3，BP'=BP=2，∠PBP'=90°
∴∠BPP'=45°，
根据勾股定理得，2222
'=+=+=，
'2222
PP PB P B
∵AP=1，
∴AP2+P'P2=1+8=9，
又∵P'A2=32=9，
∴AP2+P'P2=P'A2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；
思路二：
将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，
∴P'B=PB=2，P'C=AP=1，∠P'BP=90°，∠APB=∠BP'C，
∴∠BP'P=45°，2222
'=+=+=
'222
PP PB P B
∵PC=3，P'C=1，
∴P'C2+PP'2=PC2，
∴∠PP'C=90°，
∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°，
∴∠APB=∠BP'C=135°；
（2）线段PA，PB，PC满足的数量关系是PA2+2PB2=PC2．
如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．
则△ABP'≌△CBP，AP'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，
∴∠BPP'=45°，
∵∠APB=45°，
∴∠APP'=∠APB+∠BPP'=45°+45°=90°，
∴PA2+P'P2=AP'2，
又∵△PBP'是等腰直角三角形，
∴PB2+P'B2=2PB2=P'P2，
∴PA2+2PB2=PC2．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
22．（1）见解析；（2）CO=3；（3）α＝125°、α＝110°或α＝140°
【分析】
（1）由△BOC≌△ADC，得出CO＝CD，再由∠OCD＝60°，得出结论；
（2）利用等边三角形的性质以及直角三角形的定义，即可判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；
（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD＝∠ADO、②∠ODA＝∠OAD、③∠AOD ＝∠DAO；若∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∠BOC＝190°−∠AOD，∠BOC＝∠ADC＝∠ADO ＋∠CDO由①∠AOD＝∠ADO可得α＝125°，由②∠ODA＝∠OAD可得α＝110°，由
③∠AOD＝∠DAO可得α＝140°．
【详解】
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，
∴CO＝CD．
∴△COD是等边三角形；
（2）∵△ADC≌△BOC，
∴DA＝OB＝4，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，又∠ADC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，
∴△AOD为直角三角形．
又AO＝5，AD＝4，
∴OD＝3，
∴CO＝OD＝3；
（3）若△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO②∠ODA＝∠OAD③∠AOD＝∠DAO，∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD＝190°﹣∠AOD，
而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，
由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠AOD+60°，
求得α＝125°；
由②∠ODA＝∠OAD可得∠BOC＝150°
1
2
∠AOD
求得α＝110°；
由③∠AOD＝∠DAO可得∠BOC＝240°﹣2∠AOD，
求得α＝140°；
综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．
【点睛】
此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，掌握分类讨论的思想是解题关键．
23．（1）函数关系式为y=-1000x+36000；（2）函数关系式为w=-1000x2+56000x-720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【分析】
（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y与x之间的函数解析式.
（2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w与x之间的函数解析式.
（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.
【详解】
（1）解：由题意得
y=（30-x）×1×1000+6000=-1000x+36000.
∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=-1000x+36000.
（2）解：由题意得
w=（x-20）（-1000x+36000）=-1000x2+56000x-720000.
∴每天的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为w=-1000x2+56000x-720000.（3）解：w =-1000x2+56000x-720000=-1000（x-28）2+64000.
∵a=-1000＜0
∴当x=28时，w有最大值为64000.
答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【点睛】
本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最
值问题的关键．
24．（1）x 为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）13k -<<
【分析】
（1）根据函数解析式可以写出x 的取值范围；
（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y 轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
（4）根据函数图象，可以写出关于x 的方程x 2-4|x |+3=k 有4个不相等的实数根时，k 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵函数y =x 2-4|x |+3，
∴x 的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由函数y =x 2-4|x |+3可知，x ＞0和x ＜0时的函数图象关于y 轴对称，函数图象如右图所示；
（3）由图象可得，
函数图象关于y 轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小，故③正确； 函数图象与x 轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
（4）由图象可得，
关于x 的方程x 2-4|x |+3=k 有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是-1＜k ＜3， 故答案为：-1＜k ＜3．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．见解析．
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4k 2+4k+1≥0，进而即可证出：不论k 取何值方程都有两个不相等的实数根．
【详解】
证明：()()()22
24124412211k k k k k -⨯⨯-∆=--⎡⎤⎣=+=+⎦+. ∵()2
210k +≥，即0∆≥， ∴不论k 取何值，这个方程都有两个实数根.
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
26．（1）11x =-，29x =；（2）11x =-，25x =．
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
（2）289x x ，
2228494x x -+=+2(4)25x -=，
45x =±，
∴11x =-，29x =；
（2）()2
166x x +=+， ()21(66)0x x +-+=，
()216(1)0x x +-+=，
()()1160++-=x x ，
(1)(5)0x x +-=，
11x =-， 25x =．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。