3.1 三角函数的基本概念—答案

3.1 三角函数的基本概念
【例题精讲】
考点一：角的表示方法
例1.已知α是第三象限角，则
3
α
是第几象限角？ 解法一：（直接法）因为α是第三象限角，所以()Z k k k ∈+<<+ππαππ2
3
22， ∴
()Z k k k ∈+<<+2
323332π
παππ，
∴当k=3m （m ∈Z ）时，
3α
为第一象限角； 当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，3α
为第三象限角，
当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，3
α
为第四象限角，
故3
α
为第一、三、四象限角。

解法二：（几何法）把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ，并依次循环一周，则α原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为3
α
的终边所在的区域。

由图可知，
3
α
是第一、三、四象限角 【点评】已知角α的范围或所在的象限，求n
α
所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几
何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为n
α
(n ∈N *)的终边所在的区域。

例2.（1）如图，,63
αππ
β==，写出终边落在阴影部分（含边界）的所 有角的集合。

（2）写出终边在直线y =
上的角的集合
（3）若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[]0,2π内终边与3
θ
角的终边相同的角
考点二：判断三角函数的符号
例3.（1）若sin cos 0θθ⋅>则θ在第 象限。

（2）若α是第二象限角，则sin 2,cos 2,sin
,cos ,tan 222
ααα
αα中能确定为正值的有 个。

例4.解答下列问题：
（1）若θ在第四象限，试判断sin(cos )cos(sin )θθ⋅的符号 （2）若tan(cos )tan(sin )
0θθ⋅>，试指出θ所在象限。

考点三：三角函数的定义
例5.已知角α终边上一点P,P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3:4，且sin 0α<，求
cos 2tan αα+的值。

例6.（1）设90180α<<
，角α的终边上一点(P x 且cos 4
x α=
，求sin tan αα与的值 （2）已知角θ的终边上有一点(,1)(0)P x x -≠，且tan x θ=-，求sin ,cos θθ
考点四：弧长公式、面积公式的应用
例7.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径为R ， （1） 若60
,10R cm α==
，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；
（2） 若扇形的周长是一定值(0)L L >,当α为多少弧度时，该扇形有最大面积。

例8.解答下列各题：
（1） 已知扇形的周长为10cm,面积为42
cm ，求扇形圆心角的弧度数；
（2） 已知一扇形的圆心角是72
，半径为20cm ，求扇形的面积；
（3） 已知一扇形的周长为40cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大，最
大面积是多少？
【练习】
1. 已知角α的终边经过点(8,6cos60)P m --
且4
cos 5
α
=-，则m =
2. 已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限内，则在
[]0,2π内α的取值范围是 。

3. 在单位圆中，一条弦AB AB 所对的圆心角α是 rad
4. 点P 从(1,)0出发，沿单位圆22
1x y +=逆时针方向运动
23
π
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 。

5. 给出下列命题 ①小于
2
π
的角是锐角；②若α是第一象限角，则
2
α
必为第一象限角；
③第三象限的角必大于第二象限的角；④第二象限的角是钝角；⑤相等的角必是终边相同的角；⑥终边相同的角不一定相等；⑦角2α与角α的终边不可能相同；⑧若角α和角β有相同的终边，则角()αβ-的终边必在x 轴的非负半轴上。

其中正确的命题的序号是 。

6. （07年高考江苏卷）某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点间的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[]
0,60t ∈
7. 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
（1）sin 2
α
≥
（2）1cos 2α≤-
8. ，宽1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被
小木块挡住，使木块底面与桌面成30
角，求点A 走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积。

9. 如图所示动点P 、Q 从点(4,0)A 出发没圆周运动，点P 按逆时针方向每
秒钟转
3
π
弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转
6
π
弧度，求P 、Q 第一次相
遇时所用的时间、相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长。