天津市六校联考19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

天津市六校联考19-20学年高三上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）
1. 已知集合P ={x|x −1≤0}，Q ={x|0<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )
A. (0,1)
B. (0.2]
C. [1,2]
D. (1,2]
2. “x <0”是“ln(x +1)<0”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 过点A(3,5)作圆O ：x 2+y 2−2x −4y +1=0的切线，则切线的方程为( )
A. 5x +12y +45=0或x −3=0
B. 5x −12y +45=0
C. 5x +12y +45=0
D. 5x −12y +45=0或x −3=0
4. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1⋅a 5⋅a 9=−8，b 2+b 5+b 8=6π，则
cos b 4
+b 6
1−a
3⋅a 7
的值是( )
A. 1
2
B. √32
C. −1
2
D. −√32
5. 已知a =log 23，b =log 46，c =log 12
1
7，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a >b >c
B. b >a >c
C. c >b >a
D. c >a >b
6. 已知函数f (x )=√3sin2x −cos2x +1，下列结论中错误的是
A. f(x)在(5π12,11
12π)上单调递减 B. f(x)的图像关于(π
12,1)中心对称 C. f(x)的图像关于直线x =π
3对称
D. f(x)的最大值为3
7. 若双曲线
x 2a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+2有公共点，
则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A. [3,+∞)
B. (3,+∞)
C. (1,3]
D. (1,3)
8. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)<1
2，则不等式f(x 2)<
x 22
+1
2的解集
为( )
A. (−12,1
2) B. (−∞,−1)∪(1,+∞) C. (−1,1)
D. (−∞,−1
2)∪(1
2,+∞)
9. 在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，点D 在边AC 上，且2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A. 48 B. 24 C. 12 D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 复数z 满足1+z
1−z =i ，则|z|=______．
11. 曲线f(x)=xsin x 在点(π2,π
2)处的切线方程是______ ． 12. 在(1−2x)6的展开式中，x 2的系数为__________.(用数字作答)
13. 已知底面是正六边形的六棱锥P −ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边
长为1，若该六棱锥体积的最大值为√3，则球O 的表面积为______． 14. 已知x ，y 是正数，1
x +2
y =1，则2x+y
xy+1的最小值为______． 15. 已知函数f(x)={xsinx,0<x <π
√x,x ≥π
，g(x)=f(x)−kx(k ∈R)
①当k =1时，函数g(x)有______个零点；
②若函数g(x)有三个零点，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）
16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知asinA =4bsinB ，ac =√5(a 2−b 2−c 2)．
(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B −A)的值．
17. 如图，
在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，PO ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BC 的中点，AB =2，PO =√3，∠BAD =60°． (Ⅰ)求证：直线EF//平面PDC ；
(Ⅱ)求二面角C−PA−D的余弦值；
(Ⅲ)已知点M在棱BC上，且直线ME与平面PAD所成角的正弦值为2√5
5
，求线段BM的长．
18.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，且AB=2，离心率为√3
2
，O为
坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设P，Q是椭圆C上的两个动点(不与A，B重合)，且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP 的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D.求证：D，N，Q三点共线．
19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=2log2a n−11，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最小值及取得最小值时n的值．
20.已知函数f(x)=lnx−ax2+1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a=0，xf(x)>k(x−1)在(1,+∞)上恒成立，求整数k的最大值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题考查集合的运算：交集和补集，考查运算能力，属于基础题．
求得P的补集，再由交集的定义，即可得到所求集合．
解：集合P={x|x−1≤0}={x|x≤1}，
∁R P={x|x>1}，
Q={x|0<x≤2}，
则(∁R P)∩Q={x|1<x≤2}．
故选D．
2.答案：B
解析：
本题考查充分条件和必要条件的判断，熟悉不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题．
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
解：，
由x<0⇏−1<x<0，
由−1<x<0⇒x<0，
∴“x<0”是“”的必要不充分条件．
故选B．
3.答案：D
解析：
本题主要考查圆的切线方程
先求出圆心为(1,2)，半径为2.再对直线的斜率分类讨论，利用直线和圆相切求出直线的方程得解．解：x2+y2−2x−4y+1=0⇒(x−1)2+(y−2)2=4圆心(1,2)，半径2
因32+52−2×3−4×5+1=9>0
故点A(3,5)在圆O:x2+y2−2x−4y+1=0外
所以，切线有且只有两条
当切线斜率存在时，设切线方程为y−5=k(x−3)
故−2k+3
√k2+1
=2
解得：k=5
12
故一条切线为y−5=5
12
(x−3)，即5x−12y+45=0
斜率不存在的直线x=3，也是圆的切线
综上所述，答案：5x−12y+45=0或x=3
故选D．
4.答案：C
解析：
本题主要考查等差数列，等比数列的性质，以及利用诱导公式化简求值，是基础题．求出a5，b5的值，则的值可求．
解：根据题意得，a53=−8，，解得，
所以
．
故选C．
5.答案：D
解析：解：∵a=log23，
b=log46=1
2
log26=log2√6，
c=log 1
21
7
=log27，
根据对数的y=log2x为增函数，
∴log2√6<log23<log27，
即c>a>b
故选：D．
利用对数性质，化为同底数的对数，再根据对数的y=log2x为增函数，故可判断．
本题考查对数的大小的比较，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．
6.答案：A
解析：
本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．
利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．
解：变形可得f(x)=√3sin2x−cos2x+1=2sin(2x−π
6
)+1，
A.由2kπ+π
2≤2x−π
6
≤2kπ+3π
2
，k∈Z，得kπ+π
3
≤x≤kπ+5π
6
，k∈Z，当k=0时，函数的递
减区间是[π
3,5π
6
]，故A错误，
B.当x=π
12时，sin(2x−π
6
)=0，则f(x)的图象关于(π
12
,1)中心对称，故B正确，
C.当x=π
3时，2x−π
6
=2×π
3
−π
6
=π
2
，则f(x)的图象关于x=π
3
对称，故C正确，
D.当2sin(2x−π
6
)=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确．故选A．
7.答案：A
解析：解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±b
a x，与抛物线方程联立消去y得x2±b
a
x+2=0
∵渐近线与抛物线有交点
∴△=b2
a2
−8≥0，求得b2≥8a2，
∴c=√a2+b2≥3a
∴e=c
a
≥3．
则双曲线的离心率e的取值范围：e≥3．
故选A．
先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．
本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和
曲线交点之间的关系来解决问题．
8.答案：B
解析：解：设F(x)=f(x)−1
2x ，则F′(x)=f′(x)−1
2， ∵f′(x)<1
2，∴F′(x)=f′(x)−12<0，
即函数F(x)在R 上单调递减 而f(x 2)<x 22+1
2
，
即f(x 2
)−
x 22<f(1)−1
2，
∴F(x 2)<F(1)而函数F(x)在R 上单调递减， ∴x 2>1即x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)， 故选：B ．
设F(x)=f(x)−1
2x ，根据题意可得函数F(x)在R 上单调递减，然后根据f(x 2)<
x 22
+1
2
可得f(x 2)−
x 22
<f(1)−1
2
，最后根据单调性可求出x 的取值范围．
本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
9.答案：B
解析：
本题考查了平面向量的化简与运算，同时考查了学生的转化能力． 由平面向量的线性运算化简即可得出答案． 解：∵2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]
=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
又∵∠ABC =90°，AB =6，
∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =36，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 故BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×36=24． 故选B ．
10.答案：1
解析：解：∵1+z
1−z =i ， ∴z =
−1+i 1+i
=
(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)
=
2i 2
=i ．
则|z|=1． 故答案为：1．
直接由1+z
1−z =i 利用复数代数形式的乘除运算求出z ，则z 的模可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
11.答案：x −y =0
解析：
本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题． 求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，可得切线方程． 解：∵f(x)=xsinx ， ∴f′(x)=sinx +xcosx ， ∴f′(π
2)=1， ∵f(π
2)=π2，
∴曲线f(x)=xsin x 在点(π2,π
2)处的切线方程是y −π
2=x −π
2，即x −y =0． 故答案为x −y =0．
12.答案：60
解析：由二项式定理得含x 2的项为C 62
(−2x)2=60x 2．
13.答案：25π4
解析：
本题考查的知识点是球的体积和表面积，求出球的半径是解答的关键． 解：当六棱锥P −ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大， 由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径r =1， 底面面积S =6×√3
4×12=
3√3
2， 设高为h ，则V =13
Sℎ=13
×3√32
×ℎ=√3，
解得：ℎ=2，
设此时外接球半径为R ，
则球心到底面的距离d =|ℎ−R|=|2−R|， 由R 2=d 2+r 2 得：R 2=(2−R)2+1， 解得：R =5
4，
故球O 的表面积为4πR 2=25π4
，
故答案为
25π4
．
14.答案：
解析：
首先把关系式进行转换，进一步利用基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 解：已知x ，y 是正数，1
x +2
y =1， 所以2x +y =xy ， 则：2x+y
xy+1=1−1
2x+y+1，
因为2x +y =(2x +y)×1=(2x +y)⋅(1x
+2y
)=2+
4x y
+y x
+2≥4+2√
4x y
⋅y
x
=8，(当且仅当y =
2x 时等号成立)． 所以(2x +y)min =8． 故(2x +y +1)min =9， 则(1
2x+y+1)max =1
9，
进一步求出(−1
2x+y+1)min =−1
9， 所以：(1−1
2x+y+1)min =1−1
9=8
9． 故答案为8
9．
15.答案：1；(0,√π
π
]
解析：解：①当k =1时，g(x)=0，即f(x)=x ， 由0<x <π，xsinx =x ，即为sinx =1，解得x =π
2； x ≥π，√x =x ，解得x =0或1舍去， 则g(x)的零点个数为1； ②若函数g(x)有三个零点，
当x ≥π，√x =kx ，(k >0)，最多一解， 即有x =1
k 2≥π， 解得0<k ≤√ππ
；
又0<x <π时，xsinx =kx ， 即为sinx =k 有两解， 则k >0且k ≠1． 综上可得0<k ≤√ππ
．
故答案为：1，(0,√π
π].
①当k =1时，f(x)=x ，由0<x <π，结合正弦函数的图象和性质，解方程可得；x ≥π时，解方程可得零点个数；
②若函数g(x)有三个零点，当x ≥π时，最多一个零点；又0<x <π时，有两个，可得k 的范围．
本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
16.答案：解：(1)由ac =√5(a 2−b 2−c 2)，得b 2+c 2−a 2=−√5
5
ac ， 由余弦定理，得cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
=
−
√5
5
ac ac
=−
√55
； (2)由a
sinA =b
sinB ，得asinB =bsinA ， 又asinA =4bsinB ，得4bsinB =asinA ， 两式作比得：a
4b =b
a ， ∴a =2
b ．
，
又asinA =4bsinB ， 得sinB =
asinA 4b
=
√5
5
． 由(1)知，A 为钝角，则B 为锐角， ∴cosB =√1−sin 2B =
2√5
5
． 于是sin2B =2sinBcosB =4
5，cos2B =1−2sin 2B =3
5， 故sin(2B −A)=sin2BcosA −cos2BsinA =4
5×(−√5
5)−3
5
×
2√5
5
=−
2√5
5
．
解析：本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题． (1)由ac =√5(a 2−b 2−c 2)，得b 2+c 2−a 2=−√5
5
ac ，代入余弦定理的推论可求cos A 的值；
(2)由正弦定理得asinB =bsinA ，结合asinA =4bsinB ，得a =2b.由(1)可得sinA =2√5
5
，代入asinA =
4bsinB ，得sin B ，进一步求得cosB.利用倍角公式求sin2B ，cos2B ，展开两角差的正弦可得sin(2B −A)的值．
17.答案：证明：(Ⅰ)取PD 的中点G ，连接FG 、CG ，
∵FG 是△PAD 的中位线， ∴FG//1
2AD 且FG =1
2AD ，
在菱形ABCD 中，AD//BC 且AD =BC ，又E 为BC 的中点，
∴CE//FG 且CE =FG
∴四边形EFGC 是平行四边形， ∴EF//CG ，
又EF ⊄面PCD ，CG ⊂面PCD ， ∴EF//面PCD ．
解：(Ⅱ)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，
∵底面ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ， PO ⊥平面ABCD ，
E ，
F 分别为PA ，BC 的中点，AB =2，PO =√3，∠BAD =60°． ∴C(−√3,0，0)，A(√3,0，0)，P(0,0，√3)，D(0,−1,0)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)， 设平面PAD 的法向量n
⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −√3z =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y −√3z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,1)，
平面PAC 的法向量m
⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设二面角C −PA −D 的平面角为θ， 则cosθ=
|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |
=
√3
√5
=
√15
5
． ∴二面角C −PA −D 的余弦值为√155
．
(Ⅲ)∵点M 在棱BC 上，设BM =a ，a ∈[0,1]，∴M(−√
3a 2
,1−a
2,0)，
∵E(√32,0，√32)，∴EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32a −√32,1−a 2,−√3
2)，
平面PAD 的法向量n ⃗ =(1,−√3,1)，
∵直线ME 与平面PAD 所成角的正弦值为2√55
，
∴|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |
|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |
=√3|
√5⋅√a 2+2a+2
=2√5
5，
解得a =1
2． ∴线段BM 的长为1
2．
解析：(Ⅰ)取PD的中点G，连接FG、CG，由FG是△PAD的中位线，可得FG//1
2且FG=1
2
；由公
理4可得CE//FG且CE=FG，可得四边形EFGC是平行四边形，从而有EF//CG，进而由线面平行的判定得到结论．
(Ⅱ)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C−PA−D的余弦值．
(Ⅲ)由直线ME与平面PAD所成角的正弦值为2√5
5
，利用向量法能求出线段BM的长．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
18.答案：解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√3
2
，
所以b=1，c
a =√3
2
.所以由a2=b2+c2，得a2=4．
所以椭圆C的标准方程是x2
4
+y2=1．
(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).
因为M，N分别是OP，BP的中点，A(0,1)，B(0,−1)，
所以M点的坐标为(x0
2 ,y0
2
)，N点的坐标为(x0
2
,y0−1
2
)．
所以直线AD的方程为y=y0−2
x0
x+1．
代入椭圆方程x2
4
+y2=1中，整理得[x02+4(y0−2)2]x2+8x0(y0−2)x=0．
所以x=0，或x=8x0(2−y0)
x02+4(y0−2)2=2x0(2−y0)
5−4y0
．
所以y=y0−2
x0⋅2x0(2−y0)
5−4y0
+1=−2y02+4y0−3
5−4y0
．
所以D的坐标为(2x0(2−y0)
5−4y0,−2y02+4y0−3
5−4y0
)．
所以k QN=y0−1
2
−y0
x0
2
+x0
=−y0+1
3x0
．
又k QD=−2y02+4y0−3
5−4y0
−y0 2x0(2−y0)
5−4y0
+x0
=(y0+1)(2y0−3)
3x0(3−2y0)=−y0+1
3x0
=k QN．
所以D，N，Q三点共线．
解析：(Ⅰ)通过椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√3
2
，求出a，b，然后求解椭圆方程．
(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).求出M点的坐标为(x0
2 ,y0
2
)，N点的坐标为
(x0 2,y0−1
2
)，得到直线AD的方程，代入椭圆方程．求出D的坐标然后根据斜率相等证明D，N，Q三
点共线．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．19.答案：解：(1)数列{a n}满足S n=2a n−2，①
当n=1时，有S1=2a1−2=a1，变形可得a1=2，
当n≥2时，有S n−1=2a n−1−2，②，
①−②可得：a n=2a n−2a n−1，变形可得：a n=2a n−1，
则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，故a n=2n，
(2)根据题意，b n=2log2a n−11=2log22n−11=2n−11，
当n=1时，b1=2−11=−9，
数列{b n}为等差数列，且首项b1=−9，公差d=2；
则T n=n×(b1+b2)
2=n(−9+2n−11)
2
=n2−10n，
则当n=5时，T n取得最小值，且其最小值为−25．
解析：(1)根据题意，由S n=2a n−2，令n=1可得a1的值，进而可得n≥2时，有S n−1=2a n−1−2，两式联立分析可得a n=2a n−1，则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，据此分析可得答案；
(2)根据题意，b n=2log2a n−11=2log22n−11=2n−11，即可得{b n}为等差数列，结合等差数列的前n项和公式分析可得T n，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查数列的递推公式，涉及数列的前n项和的性质，关键是求出数列{a n}的通项公式．
20.答案：解：(1)f′(x)=1
x −2ax=1−2ax2
x
(x>0)，
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)上为增函数，
当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<√1
2a ，则f(x)在(0,√1
2a
)上为增函数；
由f′(x)<0，得x>√1
2a ，则f(x)在(√1
2a
,+∞)上为减函数．
综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上为增函数；
当a>0时，f(x)在(0,√1
2a )上为增函数，在(√1
2a
,+∞)上为减函数．
(2)由题意，x(lnx+1)>k(x−1)恒成立，即k<x(lnx+1)
x−1
(x>1)，
设g(x)=x(lnx+1)
x−1(x>1)，则g′(x)=x−lnx−2
(x−1)
，
令ℎ(x)=x−lnx−2(x>1)，则ℎ′(x)=1−1
x
>0，所以，ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数，
由ℎ(2)=−ln2<0，ℎ(3)=1−ln3=ln e
3<0，ℎ(4)=2−ln4=ln e2
4
>0，
故ℎ(x)在(1,+∞)上有唯一实数根m∈(3,4)，
使得m−lnm−2=0，
则当x∈(1,m)时，ℎ(x)<0；当x∈(m,+∞)时，ℎ(x)>0，
即g(x)在(1,m)上为减函数，(m,+∞)上为增函数，
所以g(x)在x=m处取得极小值，为g(m)=m(lnm+1)
m−1
=m，
∴k<m，由3<m<4，得整数k的最大值为3．
解析：(1)求出函数的导数，通过a与0的大小比较，讨论导函数的符号，判断函数的单调性即可．(2)利用函数恒成立，推出k的不等式，通过构造法得到新函数，利用函数的导数求出函数的单调性，得到函数的极值，然后求解k的最大值．
本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，单调区间的求法，构造法的应用，是难题．。