平阳县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平阳县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ） A ．{5} B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
2． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则
216
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A ．4
B ．3 C
．2 D ．
92
【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．
3． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A
． B
． C
． D
．
4． 设x ，y ∈R
，且满足，则x+y=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0 C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
6． 下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
7． 在曲线y=x 2
上切线倾斜角为的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（2，4） C
．（
，
）
D
．（
，）
8．
已知双曲线
﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
9． 在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，点P 在线段AD ′上运动，则异面直线CP 与BA ′所成的角θ的取值范围是（ ）
A ．0＜
B ．0
C ．0
D ．0
10．已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）
A ．a ＜1＜b
B ．a ＜b ＜1
C ．1＜a ＜b
D ．b ＜1＜a
11．函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到 D ．向左右平移
个单位得到
12．已知条件p ：x 2+x ﹣2＞0，条件q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
二、填空题
13．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．
14．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．21
10
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
15．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
16．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．
17．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:
）．
18．已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是．
三、解答题
19．．
（1）求证：
（2），若．
20．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
21．（本题满分13分）已知函数x x ax x f ln 22
1)(2
-+=. （1）当0=a 时，求)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在区间]2,3
1
[上是增函数，求实数a 的取值范围.
【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
22．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．
23．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，且12||2F F =，点
在该椭圆上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与以原点为圆心，b 为半径的圆上相切于第一象限，切点为M ，且直线l 与椭圆交于P Q 、两
点，问22F P F Q PQ ++是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．
24．已知函数
3
()
1
x
f x
x
=
+
，[]2,5
x∈．
（1）判断()
f x的单调性并且证明；
（2）求()
f x在区间[]2,5上的最大值和最小值．
平阳县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．
故选B．
2．【答案】A
【解析】
3．【答案】A
【解析】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；
而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确
故A选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．
4．【答案】D
【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
5．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
6．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
7．【答案】D
【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
8．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．
根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴=，
，可得e=．
故此双曲线的离心率为：．
故选D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
9．【答案】D
【解析】解：∵A1B∥D1C，
∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．
∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，
∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，
∴0＜θ≤．
故选：D．
10．【答案】A
【解析】解：由f（x）=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x，
由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，
作出计算y=e x，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，
∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．
11．【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），
y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，
∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
12．【答案】A
【解析】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，
∴条件q：x＜﹣2或x＞1
∵q是p的充分不必要条件
∴a≥1
故选A．
二、填空题
13．【答案】1．
【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（
5）=1，
f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．
故答案为：1．
14．【答案】D
【解
析】15
．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
43
符合，跳出循环．
16．【答案】必要不充分
【解析】解：由题意得f
′（x）=e x++4x+m，
∵f（x
）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5
∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件
S0 1 6 27
n 1 2 3 4
故答案为：必要不充分
17．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
18．【答案】4．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵，
∴a n+1=f（a n）=，
则，
∴{}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得， =3n ﹣2，
∵{b n }的前n 项和为
，
∴当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2
n ﹣1=2n ﹣1， 而b 1=S 1=1，也满足上式，则b n =2n ﹣1，
∴==（3n ﹣2）2n ﹣1，
∴
=20+4•21+7•22+…+（3n ﹣2）2n ﹣1，① 则2T n =21+4•22+7•23+…+（3n ﹣2）2n ，②
①﹣②得：﹣T n =1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n ﹣1﹣（3n ﹣2）2n ，
∴T n =（3n ﹣5）2n +5．
20．【答案】
【解析】解：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，
等价于a ≥x 2﹣x 在x ∈[2，4]恒成立，
而函数g （x ）=x 2﹣x 在x ∈[2，4]递增，
其最大值是g （4）=4，
∴a ≥4，
若p 为真命题，则a ≥4；
f （x ）=x 2﹣ax+1在区间
上是增函数，
对称轴x=≤，∴a ≤1，
若q 为真命题，则a ≤1；
由题意知p 、q 一真一假，
当p 真q 假时，a ≥4；当p 假q 真时，a ≤1，
所以a 的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
21．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为),0(+∞，因为x x ax x f ln 22
1)(2-+=，当0=a 时，x x x f ln 2)(-=，则
x x f 12)('-
=.令012)('=-=x x f ，得2
1=x .…………2分
所以当2
=x 时，)(x f 的极小值为2ln 1)21(+=f ，函数无极大值.………………5分
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入13
422=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q 直接计算知29PQ =，2
25||||2121=+Q F P F ，22211PQ F P F Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =- 由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
22143124k k x x +-=⋅ 由22211PQ F P F Q =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k 代入得0438)1()143124)(1(22
2222=+⋅-+++-+k
k k k k k ，即0972=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
73-±=x y 23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
24．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5.
【解析】
试题分析：（1）在[]2,5上任取两个数12x x <，则有1212123()()()0(1)(1)
x x f x f x x x --=<++，所以()f x 在[]2,5
上是增函数；（2）由（1）知，最小值为(2)2f =，最大值为5(5)2
f =
. 试题解析：
在[]2,5上任取两个数12x x <，则有 12121233()()11x x f x f x x x -=
-++12123()(1)(1)
x x x x -=++0<， 所以()f x 在[]2,5上是增函数． 所以当2x =时，min ()(2)2f x f ==，
当5x =时，max 5()(5)2
f x f ==
. 考点：函数的单调性证明．
【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数12x x <，然后作差12()()f x f x -，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1。