第二节 等差数列及其前n项和

等差数列的基本运算 典例1 (1)(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的 前n项和.若S8=4S4,则a10= ( A.
17 2
) D.12 )
B.
19 2
C.10
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于 ( A.8 B.10 C.12 D.14
(3)(2013课标全国Ⅰ,7,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm
+1
=3,则m= (
B.4
)
C.5 D.6
A.3
答案
(1)B (2)C (3)C
c
栏目索引
解析
43 8 7 1 4 a 1 1 ,解得a1= (1)由S8=4S4得8a1+ 2 2 ×1=4× 2 ,∴a10=a1+9d=
c
故S2 012=-2 012.
栏目索引
等差数列的判定与证明
1 2
典例3 若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . (1)求证: 是等差数列;
1 Sn
(2)求数列{an}的通项公式.
解析
(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
n(a1 an ) c 2
或Sn=
nc (n 1)d 2 na1+
.
栏目索引
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= n2+ a1 n. 2 2

d

d
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A、B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最 最
答案
)
B.20
C.30
D.40
c偶-S奇=nd=2n=25-15=10,故选A. A 设项数为2n,公差为d,则S
2-2 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180, Sn=324(n>6),则n=
答案
.
18
c
解析 由题意知a1+a2+…+a6=36, ①
栏目索引
课标版
文数
第二节 等差数列及其前n项和
栏目索引
教材研读
1.等差数列的定义 如果一个数列从① 第二项 起,每一项与前一项的差等于②同一个常数 ,那么这 个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的③ 公差 ④ d 表示,定义的表达式为an+1-an=d(n∈N*). 2.等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项公式是⑤ a =a +(n-1)d
m 即S2m=
3S S3m 3 30 90 = =60. 3 3
栏目索引
一般地,运用等差数列的性质可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质
运用的条件,如m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,该性质的运用条件是
序号之和相等、项数相同.
栏目索引
2-1 已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有 偶数项之和为25,则这个数列的项数为 ( A.10
an+an-1+an-2+…+an-5=180, ②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,
栏目索引
又Sn= 1
n(a an ) c =324,∴18n=324,∴n=18. 2
10 12 2-3 在等差数列{an}中,a1=-2 012,其前n项和为Sn,若 - =2,则S2 012的值
1 , n 1, 2 故an= 1 , n 2. 2n(n 1)
1 n 1 n 1 1 = =- . 2 n 2( n 1) 2n(n 1) 2n(n 1)
1 2
栏目索引
证明一个数列为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明an-an-1=d(n≥ 2,d为常数);二是等差中项法,证明2an+1=an+an+2.若证明一个数列不是等差数 列,则可以举反例,也可以用反证法.
S S 12 10
等于
答案
.
-2 012
Sn 由Sn=An +Bn(A、B为常数),知 =An+B, n
2
解析
n ∴数列 是等差数列,
S n S12 S10 Sn 又 - =2,∴ 的公差为1, 12 10 n S1 又其首项为 =-2 012, 1 S2 012 =-2 012+(2 012-1)×1=-1, ∴ 2 012
个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用,a1和d是 等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用解题方法.
栏目索引
1-1 设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=
答案 解析
.
-72
设等差数列{an}的公差为d,
19 ,故选B. 2
(2)∵S3= 1
3(a a3 ) =3a2=12,∴a2=4. 2
∵a1=2,∴d=a2-a1=4-2=2.
∴a6=a1+5d=12.故选C. (3)解法一:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, ∴公差d=am+1-am=1, 由Sn=na1+
栏目索引
解析
(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
因为a1=1,a3=-3,所以1+2d=-3,解得d=-2, 则an=1+(n-1)(-2)=3-2n(n∈N*). (2)由(1)知an=3-2n,则Sn=
n[1 (3 2n)] =2n-n2. 2
由Sk=-35,得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0, 解得k=7或k=-5.又k∈N*,所以k=7.
nc
栏目索引
所以b1= ,b2= ,b3= . 令2b2=b1+b3,解得c=- .
2n n 1 当c=- 时,bn= 1 =2n, 2 n
2
1 1 c
6 2c
15 3 c
1 2
此时,bn-bn-1=2(n≥2). 故存在c=- ,使数列{bn}为等差数列.
n(1 4n 3) 2n n 1 Sn 2 2 解法二:存在.bn= = = , nc nc nc
. .
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为⑨ 2d
(4)若{an},{bn}(项数相同)是等差数列,则{pan+qbn}(p,q是常数)仍是等差数
列. (5)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为⑩ md 的等 差数列. 5.等差数列的前n项和公式 等差数列{an}的前n项和Sn=
)
B.13
C.14
D.15
答案 B
a7=a4+3d=7+3×2=13,故选B.
(3 a4 ) 5 (a2 a4 ) 5 由S5= ⇒25= ⇒a4=7,所以7=3+2d⇒d=2,所以 2 2 c
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于 (
)
A.10
B.12
C.15
D.30
答案 C
5(a1 a5 ) 5(a2 a4 ) S5= = =15, c 故选C. 2 2
4.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有 (
)
栏目索引
A.a1+a101>0 C.a3+a99=0
B.a2+a100<0 D.a1=51
a1 a101 ∵S101=0,∴S101= 2 · 101=0, ∴a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.故 c
小 大
值;若a1<0,d>0,则Sn存在
值.
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= ( A.-1 B.0 C.1 D.6 )
栏目索引
答案
B 设数列{an}的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,∴
a6=a4+2d=0.故选B. 2.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7= ( A.12
n ∴数列 也为等差数列. S n Sm1 Sm1 2 S m ∴ + = , m 1 m 1 m 2 3 即 + =0, m 1 m 1
解得m=5,经检验为原方程的解.故选C.
栏目索引
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三
n 1
,通常用字母
.
3.等差中项 如果⑥
ab c A= 2Βιβλιοθήκη ,那么A叫做a与b的等差中项.
栏目索引
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+⑦ (n-m)d (n,m∈N*).
k l m n
(2)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ a +a =a +a