一元二次方程应用握手问题 送卡片问题 数论问题专练教师版

一元二次方程应用握手问题送卡片问题数论问题专练教师版命题人：潘五洲
一、
1. 【题文】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（??）
A．x（x+1）=1035 B．x（x-1）=1035
C．x（x+1）=1035 D．x（x-1）=1035
答案：【答案】B
【解析】
试题分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
故选B
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
2. 【题文】摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（）
A．B．
C．D．
答案：【答案】
B．
【解析】
试题分析：设全组有名同学，则每名同学所赠的标本为：（）件，那么名
同学共赠：件，
所以，．故选
B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
3. 【题文】有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（?）．
A．8人B．9人C．10人D．11人
答案：【答案】B
【解析】
试题分析：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，
整理得，，解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去．那么每轮传
染中平均一个人传染的人数为9人．故选
B．
考点：一元二次方程的应用．
4. 【题文】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（）
A．B．
C．D．
答案：【答案】
B．
【解析】
试题分析：每支球队都需要与其他球队赛（）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：．故选
B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
5. 若一个数和它的一半的平方和等于5，则这个数是( )
A.2 ?
B.-2 ?
C.2或-2 ?
D.以上都不对
答案：思路解析：依据条件列方程即可求解.设这个数为x,可列方程x 2 +( ) 2 =5.解得x=±2.
答案：C
6. 若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是( )
A.2、4、6 ?
B.4、6、8
C.-6、-4、-2或2、4、6 ?
D.-8、-6、-4或4、6、8
答案：思路解析：设中间的偶数为x，然后列方程得(x-2) 2 +x 2 +(x+2) 2 =56.解得x=±4,所以这三个数分别为-6、-4、-2或2、4、6,由于此题为选择题也可以直接验证选项.
答案：C
7. 两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( )
A.2和4 ?
B.6和8
C.4和6 ?
D.8和10
答案：思路解析：常规题型可直接列方程求解.设较小的正数为x，较大的为x+2,则x 2 +(x+2) 2 =52,x 1 =4,x 2 =-6(舍去).故所求的两个正数为4，6.
答案：C
8. 如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和等于( )
A.34 ?
B.-34 ??
C.35或-35 ??
D.34或-34
答案：思路解析：两个连续偶数差2，设较小的数为x，较大的为x+2，则(x+2)x=288.解方程即可.
答案：D
二、填空题
9. 【题文】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为_________ ．
答案：【答案】x（x-1）=28．
【解析】
试题分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x-1）=28．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10. 【题文】若两数和为-7，积为12，则这两个数是 ? .
答案：【答案】3和4
【解析】
试题分析：设其中的一个数为x，则另一个是7x，根据“积为12”可得x（7x）=12，解方程即可求解．
设其中的一个数为x，则另一个是7x，
根据题意得x（7x）=12，
解得x=3或x=4，
那么这两个数就应该是3和4．
考点：一元二次方程的应用．
11. 【题文】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手。

有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有多少人？若参加聚会有名同学，可列方
程 ?? 。

答案：【答案】
【解析】
试题分析：设参加聚会的同学共有x人，根据大家一见面就互相握手，有人统计了一下，大家一共握了45次手，从而可列出方程．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程
12. 【题文】某班师生十年后再次聚会，见面时相互握手一次，共握手820次，问原来班级师生 ? 人.
答案：【答案】41．
【解析】
试题分析：设这次参加聚会的同学有人，则每人应握（）次手，由题意得：
，
即：，解得：，（不符合题意舍去），所以，这次参加同学聚会的有41人．故答案为：41．
考点：一元二次方程的应用．
13. 【题文】网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友个，可列方程为: ?? ．
答案：【答案】
【解析】
试题分析：设有x个好友，依题意，
x（x1）=90，
故答案为：x（x1）=90
考点:由实际问题抽象出一元二次方程
14. 某两位数的十位数字是方程x 2 －8x=0的解，则其十位数字是 ?? .
答案：思路解析：不要忽视对所求方程解的分析.
解方程x 2 －8x=0，得x 1 =0，x 2 =8，由于两位数的十位数字不能为0，
∴x=0（舍去）.∴十位数字为8.
答案：8
15. 某次足球赛中,每两个足球队之间要进行一场主场和一场客场比赛,共有20场比赛,则这次足球比赛共有_________支足球队参加.
答案：
5?
点拨：设共有x 支足球队参加.依题意可列方程: x （x －1）＝20.解得x ＝5.
16. 有一两位数，其个位和十位数字之和是14，交换数字位置后，得到的新的两位数比原两位数大18，则原两位数为____________.
答案：思路解析：这类与多位数有关的问题，不可直接设“元”，间接设数位上的数字为宜.设个位上的数字为x，则十位上的数字为（14-x）,于是有
10x+(14-x)=10(14-x)+x+18.解得x=8.故该两位数为68.
答案：68
三、解答题
17. 【题文】为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
答案：【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
【解析】
试题分析：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x5）个月，根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程求出其解即可．
试题解析：
设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x5）个月，由题意，得
x（x5）=6（x+x5），
解得：x 1 =2（舍去），x 2 =15．
∴乙队单独完成这项工程需要155=10个月
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
考点：一元二次方程的应用．
18. 【题文】要组织一场篮球赛，每两队之间都赛一场（单循环赛）计划安排15场比赛求应邀请多少个球队参赛？（6分）
答案：【答案】6．
【解析】
试题分析：设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x1）场球，第二个球队和其他球队打（x2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
试题解析：设邀请x个球队参加比赛，依题意得：，∴，
∴x=6或x=5（不合题意，舍去）．
答：应邀请6个球队参加比赛．
考点：1．一元二次方程的应用；2．比赛问题．
19. 象棋比赛中,每个选手与其他选手将比赛一场,每局胜者记2分,败者记0分,如果平局,每人各记1分,今有4 位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为
2025,2070,2080,2085分,经核实,其中只有一位同学是正确的,试求这次比赛中共有多少名选手参加
答案：46名本题考查了一元二次方程的应用；得到局数是解决本题的难点；判断出相应的分数是解决本题的易错点．
每局的得分均为2分，2人的比赛只有一局；局数= ×选手数×（选手数-1）；等量
关系为：2×局数=所得分数，根据所得分数应是2的倍数可舍去2025，2085，把剩下的分数代入看哪个有整数解即可．
解：设这次比赛中共有x名选手参加．易得分数一定不是2025，2085，
2××x（x-1）=2070，
解得x1=46，x2=-45（不合题意，舍去）
∵只有一位同学是正确的，
∴正确的分数是2070，共有46名选手参加比赛．
20. 在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗若能,请你用配方法求出这个方程的根.
答案：x2-10x+9=0；x1=9,x2=1 本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程. 先设这个方程的两根是α、β，由于乙把一次项系数看错了，而解得方程的两根
为-9和-1，则有αβ= =9，甲把常数项看错了，解得两根为8和2，则有α+β=-
=10，令a=1，那么关于α、β的一元二次方程即为所求．
解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：
α+β=-=10，αβ==9，
令a=1，那么关于α、β的一元二次方程是x2-10x+9=0．
x2-10x+9=（x-5）2-25+9=0，
故（x-5）2=16，
解得：x=9或x=1，
故方程两根为：9，1．
21. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电
脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
答案：解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得
1＋x＋(1＋x)x＝81.
(1＋x) 2 ＝81.
x＋1＝9或x＋1＝－9.
x 1 ＝8，x 2 ＝－10(舍去)．
(1＋x) 3 ＝(1＋8) 3 ＝729＞700.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
22. 解方程x 2 +bx+c=0时，甲看错了b，解得两根为－1与6；乙看错了c，解得两根
为－3与4，求原来的两根.
答案：略
23. 三个连续整数两两相乘后相加得431，求这三个数.
答案：思路分析：此题关键是依据所设写出另两个数的表达式,再列方程求解.
解：设三个连续整数中间的一个数为x，则另外两个数分别为(x-1)、(x+1)，依题意，得
x(x-1)+x(x+1)+(x+1)(x-1)=431.解这个方程得x 1 =12,x 2 =-12.x=12时，
x-1=11,x+1=13.
x=-12时，x-1=-13,x+1=-11.所以三个连续整数为11，12，13或-13，-12，-11.
24. 一个两位数，等于它的个位上数的2倍的平方，且个位上的数比十位上的数小2，求这个两位数.
答案：思路分析：涉及到多位数问题，要注意通过数位上的元写出该多位数的正确形式.
解：设个位上的数为x，则十位上的数为x＋2,∴10(x+2)+x=(2x) 2 .
∴4x 2 -11x-20=0.
∴x 1 =4,x=- （舍）.
∴这个两位数为64.。