高等数学课件D1211常数项级数

n 1

n 1
乘以常数 c 所得级数 c u n 也收敛 , 其和为 c S .
n
n 1
n
证: 令Sn uk , 则 n cuk cSn,
k 1
k 1
nl im n cnl im Sn cS

这说明 c u n 收敛 , 其和为 c S .
n 1
则新级数的部分和序列m(m 1,2,)为原级数部分和
序列 Sn(n 1,2,)的一个子序列, 因此必有
lim mlim SnS
m n
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， ( 1 1 ) ( 1 1 ) 0 ,但 1 1 1 1 发散.
n 2n

1 2
与题设矛盾! 所以假设不真 .
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例4. 判断级数的敛散性:
1 1 1 1 1 1
2 12 13 13 14 14 1
解: 考虑加括号后的级数
(1 1 ) (1 1 ) (1 1 )

次相加, 简记为 u n , 即
n 1
它也有收敛的问题

u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项。
级数的前 n 项和
通项
n
Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数


S un , vn
n 1
n1

则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S.
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
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表示函数 研究性质 数值计算
第一节
数项级数
第十二章
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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若nl im Sn不存,在 则称无穷级数发散 .
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然
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nl im rn 0
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)

k 1
称为级数的部分和；{S
n
} n 1
称为级数的部分和序列。
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若ln imSn S存在
则称无穷级数收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作

S u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
1 2112(n1)1(n2)
进行分项抵消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2),n 其1和n3为314 n1. 22n
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(3)
Sn 12Sn
Sn1 22322532
n 2

n
即 A a 0 a 1 a 2 a n
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引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程
s

1gt2知 2
t

2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
必发散 . (用反证法可证)
n1

但若二级数都发散 , (un vn ) 不一定发散.
n1
例如, 取 un(1)2n,vn(1)2n1, 皆发散.
而 unvn0收敛.
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性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
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三、级数收敛的必要条件

定理：设收敛级数 S u n , 则必有nl im un0. n 1
证: unSnSn 1
n l iu n m n l iS n m n l iS n m 1 S S 0
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.

证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n 1
(u1 u2) (u3u4u5) (u 6 u 7 u 8 u 9 u 1)0
因此 S n


a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 。
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例2. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
k 1
k 1
n
n (uk vk) Snn S(n )
k1

这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S.
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n1
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说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un vn )
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(2) 因
1

1
1 (n2)n
n3 3n2 2n n(n1)(n2) 2n(n1)(n2)
1 2n(n11)(n1)1n (2) (n1,2,)
Snkn1k33k122k 1 2kn 1k(k11)(k1)1k(2)
1 3

1 4

1nn11
1 1 1 (n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
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例3. 解:
判别级数

ln1
n2
1 n2

的敛散性 .
ln1n12

ln
n2 1 n2
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 32n(n0,1,2,)边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
a 0 a1 a2 an n时,这个和逼近于圆的面积 A .
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a 1
q q
n
当q
1时， 由于 limqn0,
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 ( 1 )n 1n ,其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1 n n1
当 n 时 ,un不趋于0, 因此这个级数发散.
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ln2ln n ( 1 ) lnln1 (1 n)ln2
lim Snln2,故原级数收敛 , 其和为 ln2.
n
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二、无穷级数的基本性质


性质1. 若级数 u n 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n
从而 limSn
n
1aq
因此级数收敛
,
其和为
1
a
q
;
当q
1时,由于 limqn,从而
n
nl im Sn,
因此级数发散 .
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2). 若q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 )n 1 a
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1

ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
lnn(1) (n ） 技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “分项抵消” 求 和
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1
( 2)
.
n1 n(n1)
Sn1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )

1

1 2



1 2

1 3



注意: limun 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 11111
n1n 2 3
n
虽然 nl im unnl im 1n0， 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 32 1 n
的敛散性.


证: 将级数 u n 的前 k 项去掉, 所得新级数 u k n
n 1
n 1
的部分和为
n
n ukl SknSk
l 1
由n于 时 ,n与 Skn极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为SSk.
类似可证前面加上有限项的情况 .
ln n 1 ) ( ln n 1 ) ( 2 ln n
Snkn2ln1k12
[3 l n l1 n 2 l2 n ] [4 l n l2 n 2 l3 n ][ln5
ln 32ln 4] [n l 1 ) n ln n ( 1 ) 2 ( ln ] n
T t1 2t2 2t3

2 g
1
2
1 2
(
1 2 )2
(
1 2 )3

1 ( 1 )n
lim
n
2 1 1
2
2 12 212.63( s )
g
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定义：给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n,将各项依
解: (1)
令
un

enn nn
!
,
则
e n1 (n 1)!
(11n)n单调递 且增 e
u n1 un
(n 1)n1 e nn ! nn

e
(1

1 n
)
n
1(n 1 ,2, )
故 u n u n 1 u 1 e
从而nl i mun0, 这说明级数(1) 发散.
2 12 1 3 13 1 4 14 1
an
1 n1
1 n1
n
2 1


n2
an


2
n 1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
调和级数
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例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(1) n1ennnn! ; (2) n 1n33n122n; (3) n12n2n1.
1
1 22 3 22 5 32n 2n 1 2 1 22 3 32 5 42 2 n n 1 1
1 2