“椭圆的定义与方程”课例点评

“椭圆的定义与方程”的主要内容是椭圆的定义及其标准方程.椭圆是学生首次学习圆以外的曲线，需要类比解析几何中直线与圆的研究方法，在探究椭圆的几何特征的基础上，给出椭圆的定义；通过建立方程研究它的几何性质，并解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，将几何问题从定性研究推进到了定量研究.
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中对这部分内容有两条要求：（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
这节课有许多创新与亮点.这是一节常规课，一线教师大都上过多遍，但是执教教师上出了不一样的感觉.执教教师与他的学生把一节常规课上成了一节研究性学习课；将学习的内容变成学生探究的材料；将数学史中的思想方法作为学生研究的导航；将教师的激情演绎与学生的深度探究相结合，共同展示了一节不一样的课.
执教教师制定的教学目标能够切合《标准》的要求，通过回顾古代数学家对圆锥曲线的研究历史，让学生了解圆锥曲线的由来，用旦德林双球模型清楚地说明椭圆定义的来龙去脉.学生自主推导椭圆的标准方程，突破了本节课的难点，突出了数形结合的思想和数学抽象、数学运算等核心素养.
从教学设计来看，本节课设计了五个教学环节：探椭圆历史之旅；研椭圆定义之理；推椭圆方程之道；究椭圆生成之变；赏椭圆曲线之用.课堂结构清楚，环环相扣.从课前学习知识到课堂内化知识，通过自主学习、合作交流、深入探究等多种学习方式，既有独立思考，又有动手实践，符合学生的认知水平，激发了学生的学习潜能.
从教学过程来看，通过对数学文化的挖掘，创造性地用学生扮演的数学短剧创设情境，让学生了解历史上椭圆的起源和发展，串起本节课的知识链条.用课堂翻转的方法，通过课前、课中、课后学生的分组
合作学习，让学生自己归纳椭圆的定义，用不同方法推导椭圆的方程，使探究过程成为学生的学习过程，成为一个再创造、再发现的过程.同样地，学生的表
收稿日期：2019-03-12
作者简介：金克勤（1962—），男，中学高级教师，浙江省特级教师，主要从事中学数学教学研究、中学数学教材及资源建设、信息技术与数学学科整合研究.
“椭圆的定义与方程”课例点评
金克勤
摘
要：“椭圆的定义与方程”一课，执教教师以研究性学习的形式创新了本节课的教学方式.用
数学短剧创设情境，让学生了解历史上椭圆的起源，由此串起了本节课的知识链条.通过设计五个教学环节，使教学流程自然合理.运用课堂翻转的方法，使学生的学习成为一个再创造、再发现的过程.信息技术的有效利用提高了课堂教学的效率.
关键词：椭圆的定义；标准方程；研究性学习·
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现也给了我们惊喜，学生的潜能得到充分的发挥，无论学生学习的结果是自主发现还是文献查阅，这种表现还是体现了学习的要义，培养了创新意识.
从课的思想性来看，本节课充分体现了学生的主体作用.从历史短剧的表演，到椭圆定义的形成、椭圆标准方程的推导，以及椭圆的实际应用，整个过程都是学生参与探究，教师组织引导，充分培养了学生的数学能力.其次，本节课的教学环节中，从历史情境中获得椭圆的概念，体现了数学的抽象；从椭圆的定义到椭圆的方程，体现了数形结合的思想.要求学生用不同的方法推导椭圆的方程又渗透了数学运算的要求，这些无疑都提升了本节课的思想性.
信息技术的运用为探究提供了有利的工具，教学中师生运用几何画板软件和立几画板软件，探究椭圆的几何特征、用立体动态图形旦德林双球模型获得椭圆的概念，体现了信息技术的优越性，提高了课堂的实效性.
当然，每一节课都存在值得研究和改进的地方.因为椭圆的定义和方程是一节常规课，每一节常规课不可能都上成这种形式.
首先，因为学生在课前需要花费很多时间做准备，根据学校的现实情况，对于相对薄弱的学校来说，这非常困难.课堂中由一名或几名学生上台演讲，其他学生在台下听，这只是把教师的角色换成学生，实际的效果还有待实践的检验.
其次，是关于椭圆的定义的引入.椭圆的定义即椭圆的概念，所谓数学概念是人脑对现实对象的数量形式和空间形式的本质特征的一种反映，定义反映的是对象最本质的特征.既然对于椭圆的定义《标准》有规范的说法，那么笔者就不赞成在本节课中提出椭圆的第二定义和第三定义的概念.我们都知道，椭圆的第二定义是圆锥曲线的统一定义，在学习椭圆的第1课时就提出值得推敲.
再次，本节课的重要目标是从现实情境中抽象出椭圆的概念，但是本节课上，似乎椭圆的概念一直存在于椭圆的定义之前，从认识、研究一个几何对象而言，这也是值得商榷的.看教材是如何认识和研究椭圆的：先通过作图画出一条曲线，然后要求说出动点满足的几何条件（本质特征），根据这条曲线的几何特征给出这条曲线的定义.这是数学抽象的表现之一.所以解析几何研究曲线的基本套路应该是：实际情境—几何特征—给出定义—建立方程—研究性质和关系—应用.如何给出曲线的定义？曲线的定义是用曲线要素之间的运算表达的曲线的几何本质特征.这为后面学习双曲线和抛物线提供了一般的方法，数学课更重要的是体现数学的本质和数学的思想，这可能比形式更加重要.
最后，数学应用要符合现实情境.“杰尼西亚耳朵”的例子中，囚犯需要用120米长的绳子才能打到狱卒，以现在的人的能力范围来看，这是不可能的，而学生却没有提出质疑，质疑应该是学生重要的思维品质.所以，培养学生的数学核心素养的任务，一直在路上.
当然，这只是笔者个人的一些看法，执教教师展示的这节课无疑是匠心独具、富于创意的优秀课，有许多值得我们学习之处.
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育
出版社，2018.
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