2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二培优课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
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第二十六页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[类题通法] 求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成 的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线 所成角θ范围是0°<θ≤90°.
第二页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
(3)空间两条直线的三种位置关系
位置关系 相交 平行 异面
特点 同一平面内，有且只有_一__个__公共点
同一平面内，_没__有__公共点 不同在_任__何__一__个__平__面__内，_没__有__公共点
第三页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
2．公理 4 及定理 (1)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ． 符号表示：a∥b，b∥c⇒ a∥c . (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角 相等或互补 ．
①EF 与 BB1 垂直；②EF 与 BD 垂直；③EF 与 CD 异面； ④EF 与 A1C1 异面．
第十二页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[ 解 析 ] (1) 构 造 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1，取 l1 为 AD，l2 为 AA1，l3 为 A1B1，当取 l4 为 B1C1 时，l1∥l4，当取 l4 为 BB1 时，l1⊥l4，故排除 A，B，C，选 D.
l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是
()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1 与 l4 既不垂直也不平行
D．l1 与 l4 的位置关系不确定
第十一页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
(2)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正 方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1， BC1 的中点，则以下结论中不成立的是________．
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
探究点二 公理 4 及等角定理 [思考探究] 观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
(1)这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行．
第十七页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
(2)测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等． (3)怎样认识等角定理？ 名师指津：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得 到的，它是公理 4 的直接应用． ②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等， 否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
因为直线 AB 与 CD 成 60°角，
所以∠MPN＝60°或 120°.
又因为 AB＝CD，
所以 PM＝PN，
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
(1)若∠MPN＝60°，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即 AB 与 MN 所成的角为 60°. (2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上，直线 AB 与 MN 所成的角为 60°或 30°.
第四页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
3．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间 任意 一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，则异面直线 a 与 b 所成的角(或夹 角)就是直线 a′与 b′所成的 锐角 (或 直角 )． (2)范围：0°＜θ≤90°.特别地，当 θ＝ 90°时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b .
第九页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
3如何从公共点个数或是否共面的角度对空间两条直线 分类？
名师指津：①若从有无公共点的角度来看，可分为两类：
②若从是否共面的角度看，也可分为两类：
第十页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[典例精析]
(1)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[典例精析] (1)在空间四边形 ABCD 中，如图 1 所示，AAEB＝AAHD，CCFB＝ CCGD，则 EH 与 FG 的位置关系是________．
(2)如图 2 所示，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，E、 F、E′、F′分别是 AB、BC、A′B′、B′C′的中点，求 证：EE′∥FF′.
4．如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD
的边 AB，BC，CD，DA 的中点．
(1)求证：E，F，G，H 四点共面；
(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
证明：(1)如题图，在△ABD 中，
∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，
∴EH∥BD.同理 FG∥BD，则 EH∥GH.
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[针对训练]
3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，
那么这两个三角形
()
A．全等
B．相似
C．仅有一个角相等
D.无法判断
解析：由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应 相等，所以这两个三角形相似． 答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
所在直线，是否也具有类似特征？ 提示：是．
第一页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
二、归纳总结·核心必记 1．空间直线的位置关系
(1)异面直线：不同在 任何一个 平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图 时，通常用一个或两个平面来衬托．
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[解析] (1)连接 BD，在△ ABD 中，AAEB＝AAHD，则 EH∥BD， 同理可得 FG∥BD.所以 EH∥FG.
(2)证明：因为 E、E′分别是 AB、A′B′的中点， 所以 BE∥B′E′，且 BE＝B′E′. 所以四边形 EBB′E′是平行四边形． 所以 EE′∥BB′，同理可证 FF′∥BB′. 所以 EE′∥FF′. [答案] (1)平行
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[针对训练]
5．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 ( )
2 A. 2
3 B. 2
5 C. 2
7 D. 2
解析：如图，连接 BE，因为 AB∥CD，所以 AE 与
第五页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
三、综合迁移·深化思维 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．可能平行、相交或异面． (2)两条垂直的直线必相交吗？
提示：不一定．可能相交垂直，也可能异面垂直． (3)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行
吗？ 提示：不一定．这两条直线可能平行、相交或异面．
第七页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
例如，如图所示的长方体中，棱 AB 和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面 同时经过这两条棱所在的直线，故 AB 与 B1C1 是异面直线．
第八页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
2怎样认识异面直线所成的角？ 名师指津：对异面直线所成角的认识： ①任意性与无关性：在定义中，空间一点 O 是任取的， 根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与 a′，b′所成 的锐角或直角相等，而与点 O 的位置无关.,②转化求角：异 面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的 量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来 计算.
第二十页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[类题通法] 1．证明两条直线平行的方法
(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平 行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有 中点时用好中位线性质等； (2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公 共点． 2．证明两个角相等的方法 (1)利用等角定理； (2)利用三角形全等或相似．
CD 所成的角为∠EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，
则 BE＝ E
与
CD
所成角的正切值为
5 2.
答案：C
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[课堂归纳领悟] 1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面
直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理 4 和等 角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成 的角． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线位置关系的方法，见探究点一． (2)证明两条直线平行的方法，见探究点二． (3)求异面直线所成角的解题步骤，见探究点三． 3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错，如探究点三．
第六页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
探究点一 空间两条直线的位置关系 [思考探究] 观察下图中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系．
(1)怎样理解异面直线？ 名师指津：对异面直线的理解： ①异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线． ②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有 平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面， 使其同时经过 a、b 两条直线．
故 E，F，G，H 四点共面．
(2)由(1)知 EH∥BD，同理 AC∥GH.
又∵四边形 EFGH 是矩形，
∴EH⊥GH.故 AC⊥BD.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
探究点三 异面直线所成角的计算 [典例精析] 已知三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 成 60°角，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，求直 线 AB 和 MN 所成的角． [思路点拨] 根据条件和要求的角，解答本题要作出直线 AB 和 MN 所成的角，根据点 M, N 分别是 BC，AD 的中点， 可考虑利用三角形中位线的性质作辅助线．
(2)连接 A1B，∵E、F 分别是 AB1，BC1 的中点，∴EF 是 △A1BC1 的中位线，∴EF∥A1C1，故①②③正确．④错误．
[答案] (1)D (2)④
第十三页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[类题通法] 1．判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而 两条直线平行也可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的 直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面 直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α， B∉l⇒AB与l是异面直线 (如图)．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、预习教材·问题导入
根据以下提纲，预习教材 P44～P47，回答下列问题． (1)在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？
提示：平行或相交．
(2)若把立交桥抽象成直线，它们是否在同一平面内？有何特
征？ 提示：不在同一平面．既不相交也不平行．
(3)观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[解] 如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，
因为点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，
所以 PM∥AB，且 PM＝12AB；
PN∥CD，且 PN＝12CD，
所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角，
∠PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角．
第十四页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[针对训练]
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
A．相交
() B．异面
C．异面或相交
D.平行
解析：如图，有相交或异面两种情况．
答案：C
第十五页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
2．若 a，b，c 是空间三条直线，a∥b，a 与 c 相交，则 b 与 c 的位置关系是________． 解析：在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，设直线 D′C′为 直线 b，直线 A′B′为直线 a，满足 a∥b，与 a 相交的直线 c 可以是直线 B′C′，也可以是直线 BB′.显然直线 B′C′与 b 相交，BB′与 b 异面，故 b 与 c 的位置关系是异面或相交． 答案：异面或相交
[类题通法] 求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成 的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线 所成角θ范围是0°<θ≤90°.
第二页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
(3)空间两条直线的三种位置关系
位置关系 相交 平行 异面
特点 同一平面内，有且只有_一__个__公共点
同一平面内，_没__有__公共点 不同在_任__何__一__个__平__面__内，_没__有__公共点
第三页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
2．公理 4 及定理 (1)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ． 符号表示：a∥b，b∥c⇒ a∥c . (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角 相等或互补 ．
①EF 与 BB1 垂直；②EF 与 BD 垂直；③EF 与 CD 异面； ④EF 与 A1C1 异面．
第十二页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[ 解 析 ] (1) 构 造 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1，取 l1 为 AD，l2 为 AA1，l3 为 A1B1，当取 l4 为 B1C1 时，l1∥l4，当取 l4 为 BB1 时，l1⊥l4，故排除 A，B，C，选 D.
l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是
()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1 与 l4 既不垂直也不平行
D．l1 与 l4 的位置关系不确定
第十一页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
(2)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正 方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1， BC1 的中点，则以下结论中不成立的是________．
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
探究点二 公理 4 及等角定理 [思考探究] 观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
(1)这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行．
第十七页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
(2)测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等． (3)怎样认识等角定理？ 名师指津：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得 到的，它是公理 4 的直接应用． ②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等， 否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
因为直线 AB 与 CD 成 60°角，
所以∠MPN＝60°或 120°.
又因为 AB＝CD，
所以 PM＝PN，
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
(1)若∠MPN＝60°，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即 AB 与 MN 所成的角为 60°. (2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上，直线 AB 与 MN 所成的角为 60°或 30°.
第四页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
3．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间 任意 一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，则异面直线 a 与 b 所成的角(或夹 角)就是直线 a′与 b′所成的 锐角 (或 直角 )． (2)范围：0°＜θ≤90°.特别地，当 θ＝ 90°时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b .
第九页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
3如何从公共点个数或是否共面的角度对空间两条直线 分类？
名师指津：①若从有无公共点的角度来看，可分为两类：
②若从是否共面的角度看，也可分为两类：
第十页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[典例精析]
(1)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[典例精析] (1)在空间四边形 ABCD 中，如图 1 所示，AAEB＝AAHD，CCFB＝ CCGD，则 EH 与 FG 的位置关系是________．
(2)如图 2 所示，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，E、 F、E′、F′分别是 AB、BC、A′B′、B′C′的中点，求 证：EE′∥FF′.
4．如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD
的边 AB，BC，CD，DA 的中点．
(1)求证：E，F，G，H 四点共面；
(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
证明：(1)如题图，在△ABD 中，
∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，
∴EH∥BD.同理 FG∥BD，则 EH∥GH.
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[针对训练]
3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，
那么这两个三角形
()
A．全等
B．相似
C．仅有一个角相等
D.无法判断
解析：由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应 相等，所以这两个三角形相似． 答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
所在直线，是否也具有类似特征？ 提示：是．
第一页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
二、归纳总结·核心必记 1．空间直线的位置关系
(1)异面直线：不同在 任何一个 平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图 时，通常用一个或两个平面来衬托．
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[解析] (1)连接 BD，在△ ABD 中，AAEB＝AAHD，则 EH∥BD， 同理可得 FG∥BD.所以 EH∥FG.
(2)证明：因为 E、E′分别是 AB、A′B′的中点， 所以 BE∥B′E′，且 BE＝B′E′. 所以四边形 EBB′E′是平行四边形． 所以 EE′∥BB′，同理可证 FF′∥BB′. 所以 EE′∥FF′. [答案] (1)平行
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[针对训练]
5．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 ( )
2 A. 2
3 B. 2
5 C. 2
7 D. 2
解析：如图，连接 BE，因为 AB∥CD，所以 AE 与
第五页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
三、综合迁移·深化思维 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．可能平行、相交或异面． (2)两条垂直的直线必相交吗？
提示：不一定．可能相交垂直，也可能异面垂直． (3)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行
吗？ 提示：不一定．这两条直线可能平行、相交或异面．
第七页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
例如，如图所示的长方体中，棱 AB 和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面 同时经过这两条棱所在的直线，故 AB 与 B1C1 是异面直线．
第八页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
2怎样认识异面直线所成的角？ 名师指津：对异面直线所成角的认识： ①任意性与无关性：在定义中，空间一点 O 是任取的， 根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与 a′，b′所成 的锐角或直角相等，而与点 O 的位置无关.,②转化求角：异 面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的 量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来 计算.
第二十页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[类题通法] 1．证明两条直线平行的方法
(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平 行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有 中点时用好中位线性质等； (2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公 共点． 2．证明两个角相等的方法 (1)利用等角定理； (2)利用三角形全等或相似．
CD 所成的角为∠EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，
则 BE＝ E
与
CD
所成角的正切值为
5 2.
答案：C
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[课堂归纳领悟] 1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面
直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理 4 和等 角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成 的角． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线位置关系的方法，见探究点一． (2)证明两条直线平行的方法，见探究点二． (3)求异面直线所成角的解题步骤，见探究点三． 3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错，如探究点三．
第六页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
探究点一 空间两条直线的位置关系 [思考探究] 观察下图中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系．
(1)怎样理解异面直线？ 名师指津：对异面直线的理解： ①异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线． ②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有 平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面， 使其同时经过 a、b 两条直线．
故 E，F，G，H 四点共面．
(2)由(1)知 EH∥BD，同理 AC∥GH.
又∵四边形 EFGH 是矩形，
∴EH⊥GH.故 AC⊥BD.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
探究点三 异面直线所成角的计算 [典例精析] 已知三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 成 60°角，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，求直 线 AB 和 MN 所成的角． [思路点拨] 根据条件和要求的角，解答本题要作出直线 AB 和 MN 所成的角，根据点 M, N 分别是 BC，AD 的中点， 可考虑利用三角形中位线的性质作辅助线．
(2)连接 A1B，∵E、F 分别是 AB1，BC1 的中点，∴EF 是 △A1BC1 的中位线，∴EF∥A1C1，故①②③正确．④错误．
[答案] (1)D (2)④
第十三页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[类题通法] 1．判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而 两条直线平行也可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的 直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面 直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α， B∉l⇒AB与l是异面直线 (如图)．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、预习教材·问题导入
根据以下提纲，预习教材 P44～P47，回答下列问题． (1)在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？
提示：平行或相交．
(2)若把立交桥抽象成直线，它们是否在同一平面内？有何特
征？ 提示：不在同一平面．既不相交也不平行．
(3)观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 四十五 分。
[解] 如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，
因为点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，
所以 PM∥AB，且 PM＝12AB；
PN∥CD，且 PN＝12CD，
所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角，
∠PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角．
第十四页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[针对训练]
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
A．相交
() B．异面
C．异面或相交
D.平行
解析：如图，有相交或异面两种情况．
答案：C
第十五页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
2．若 a，b，c 是空间三条直线，a∥b，a 与 c 相交，则 b 与 c 的位置关系是________． 解析：在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，设直线 D′C′为 直线 b，直线 A′B′为直线 a，满足 a∥b，与 a 相交的直线 c 可以是直线 B′C′，也可以是直线 BB′.显然直线 B′C′与 b 相交，BB′与 b 异面，故 b 与 c 的位置关系是异面或相交． 答案：异面或相交