2020高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4

第2课时建立函数模型解决实际问题
（教师独具内容）
课程标准：结合现实情境中的具体问题，会选择合适的函数模型来解决问题．
教学重点：建立函数模型解决实际问题．
教学难点：建立函数模型．
【知识导学】
知识点一用函数模型解决实际问题的步骤
(1)错误!审题：弄清题意,分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
（2）错误!建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识,建立相应的函数模型．
（3）错误!求模：求解函数模型，得到数学结论．
（4)错误!还原:利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：
知识点二数据拟合
（1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式,再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标,在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征,猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
【新知拓展】
1．常见的函数模型
2．分段函数模型:y＝错误!
1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”)
（1)能用指数型函数f(x）＝ab x＋c（a，b,c为常数,a〉0，b>1）表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型"函数．（) (2）函数y＝错误!·3x＋1属于幂函数模型．( )
(3)当a＞1，n＞0时，在区间（0，＋∞)上，对任意的x，总有log a x ＜x n＜a x成立．( )
（4）当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．（)答案（1）√(2）×(3)×(4)√
2．做一做
（1）某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1。

5x2－2.5x＋2
(2）如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势．
(3）已知直角梯形ABCD如图所示，CD＝2，AB＝4，AD＝2,线段AB上有一点P，过点P作AB的垂线l，当点P从点A运动到点B 时，记AP＝x,l截直角梯形的左边部分面积为y，则y关于x的函数关系式为________．
答案（1）D (2）对数
（3)y＝错误!
题型一函数模型的选择问题
例1 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位：万元)随生源利润x（单位：万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%。

现有三个奖励模型:y＝0。

2x，y＝log5x，y＝1.02x,其中哪个模型符合该校的要求？
［解］借助工具作出函数y＝3,y＝0。

2x,y＝log5x,y＝1。

02x的图象(如图所示），观察图象可知，在区间[5,60］上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y ＝3和y＝0。

2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
金版点睛
不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
错误!据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x）＝px2＋qx＋r（其中p，q,r为常数）或函数g（x)＝a·b x＋c（其中a,b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
解若以f(x）＝px2＋qx＋r作模拟函数,
则依题意,得错误!解得错误!
∴f(x)＝错误!x2＋错误!x。

若以g(x）＝a·b x＋c作模拟函数，
则错误!解得错误!
∴g(x）＝错误!·错误!x－3.
利用f(x），g(x)对2018年CO2浓度作估算,
则其数值分别为f(4）＝10单位，g(4)＝10。

5单位,
∵｜f(4)－16。

5｜>|g(4）－16.5｜，
故g（x)＝错误!·错误!x－3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用g(x）＝错误!·错误!x－3作模拟函数较好.
题型二建立函数模型解决实际问题
例2 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计了两套方案对污水进行处理,并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元;
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明;
(2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢?［解] 设工厂每月生产x件产品时,选择方案一的利润为y1,选择方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0。

5x－30000＝24x－30000.
y2＝（50－25)x－14×0.5x＝18x.
（1）当x＝3000时,y1＝42000，y2＝54000,
∵y1〈y2，∴应选择方案二处理污水．
(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，
∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．
金版点睛
建立函数模型是为了预测和决策,预测准不准主要看建立的函数模型与实际的拟合程度。

而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据。

[跟踪训练2]某公司预投资100万元，有两种投资可供选择:
甲方案年利率10％，按单利计算，5年后收回本金和利息;
乙方案年利率9％，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元）
解按甲方案，每年利息100×10％＝10，5年后本息合计150万元；按乙方案,第一年本息合计100×1。

09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153。

86万元．
故按乙方案投资5年可多得利息3。

86万元，更有利.
题型三用分段函数模型解决实际问题
例3 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1)当0≤x≤200时，求函数v(x）的表达式；
(2）车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时）
[解］（1）由题意，当0≤x≤20时，v（x)＝60；
当20≤x≤200时,设v(x)＝ax＋b，
由已知得错误!解得错误!
故函数v(x)的表达式为
v（x)＝错误!
（2)依题意并结合(1）可得
f（x）＝错误!
当0≤x≤20时，f（x)为增函数，故当x＝20时,f（x)在区间［0，20]上取得最大值60×20＝1200；
当20<x≤200时，f(x）＝错误!x(200－x）＝－错误!（x－100）2＋错误!≤
错误!,当且仅当x＝100时,等号成立．
所以当x＝100时,f(x)在区间（20,200］上取得最大值错误!。

综上可得，当x＝100时,f（x）在区间[0,200］上取得最大值错误!≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时．
金版点睛
解决分段函数问题需注意的几个问题
（1）所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域．
(2)求分段函数的函数值时,先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后
再用该区间上的解析式来计算函数值．
（3)求分段函数的最值时，先求函数在每一段范围内的最值,然后比
较这几个最值的大小，最后求出分段函数的最值．
[跟踪训练3]为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y
＝错误!t－a（a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式;
(2）据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0。

25毫克以下时,学生可进教室,问这次消毒多久后学生才能回到教室．
解(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t;
当t＝0。

1时，由1＝错误!0.1－a，得a＝0.1，
∴当t>0.1时，y＝错误!t－0.1.
∴y＝错误!
(2）由题意可知，错误!t－0。

1〈0。

25，解得t>0。

6,即这次消毒0.6×60＝36（分钟)后，学生才能进教室.
题型四建立拟合函数模型解决实际问题
例4 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位）如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星,后来果然发现了谷神星,但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？
［解］由数值对应表作散点图如图．
由图采用指数型函数作模型,设f(x）＝a·b x＋C．
代入（1，0.7),（2,1。

0），(3，1.6）得错误!
(③－②）÷（②－①）得b＝2，代入①②，
得错误!解得错误!∴f（x)＝错误!·2x＋错误!。

∵f（5)＝26
5
＝5。

2，f(6)＝10，
∴符合对应表值，∴f(4）＝2。

8，f（7）＝19。

6，
所以谷神星大约在离太阳2。

8天文单位处．在土星外面的行星与太阳的距离大约是19。

6天文单位．
金版点睛
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式,再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1）能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2）通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点"不漏，那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近"的了．
（3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．（4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
错误!某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系（见下表）:
(1)在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对（x，y）对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解(1）根据题干中所给表作图，如图,点(30，60)，（40，30)，（45,15),(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴错误!⇒错误!
∴y＝－3x＋150(x∈N,x≤50）,
经检验点（30，60)，（40,30）也在此直线上，故所求函数关系式为y ＝－3x＋150(x∈N，x≤50）．
(2)依题意有P＝y（x－30)＝（－3x＋150）（x－30)
＝－3（x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300。

故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i（x)（i＝1，2，3,4）关于时间x（x〉1）的函数关系是f1（x)＝x2，f2(x）＝2x，f3（x）＝log2x，f4（x)＝2x.如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( ）
A．f1（x)＝x2B．f2（x）＝2x
C．f3(x）＝log2x D．f4(x)＝2x
答案D
解析由增长速度可知，当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D．
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x（年）的关系为y＝a log2（x＋1),
设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( ）A．300只B．400只
C．500只D．600只
答案A
解析由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300。

3．某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( ）
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋b
答案B
解析二次函数模型的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0），其函数图象与题图中的图形相符，因此可选择的模拟函数模型为二次函数模型．故选B．
4.如图所示,由桶1向桶2倒水,开始时，桶1中有a L水,桶2中无水,t
分钟后，桶1中剩余水为y1 L,满足函数关系式y1＝a e－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟,桶1中的水只有错误!L。

答案10
解析由题意,可得a e－5n＝错误!，n＝错误!ln 2，令a e－错误!t ln 2＝错误!，解得t＝15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有错误!L.
5．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时),f（x)表示药物的浓度：f(x）＝错误!
（1）撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2）若需要药物浓度在41.75以上消毒1。

5小时,那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．
解（1）当0〈x≤1时,f（x）＝－x2＋4x＋40＝－（x－2）2＋44,
∴f(x)在（0，1]上单调递增，其最大值为f（1）＝43;
f(x）在(2，3]上单调递减，故当2<x≤3时，f（x）〈－3×2＋49＝43。

因此,撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43,并维持1小时．(2)当0<x≤1时，令f(x)＝41.75，即－（x－2）2＋44＝41.75，解得x ＝3.5（舍去)或x＝0。

5；
当2〈x≤3时,令f（x)＝41.75，即－3x＋49＝41.75，解得x≈2.42.
因此药物浓度在41。

75以上的时间约为2。

42－0.5＝1。

92小时，∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。