7-2傅立叶基础知识

Ke t cos t jKet sin t
s j 为复数，称为复频率
, 均为实常数
的量纲为1/s， 的量纲为rad/s
讨论
0, 0 直流
0, 0 等幅



0,

0
升指数信号
0, 0 增幅振荡
续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为 f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞ f =f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整数)
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周
期信号
正弦周期信号（简谐信号） 复杂周期信号（除简谐信号外的周期信号）



0,
0
衰减指数信号
0, 0 衰减
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4．抽样信号(Sampling Signal) Sat
sin t
1
Sa(t)
t
性质
①
Sa
t


Sat
π
，偶函数
O
π
② t 0,Sa(t) 1，即limSa(t) 1 t0
f (t)
2
1 4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
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连续信号与离散信号 一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有
定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。 这里“连续”一词是指在定义域内（除有限个间断点外）信号 变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的， 也可以是跳变的。
第七章 傅立叶变换
7.1傅立叶变换的基础知识 7.2傅立叶变换概念与性质 7.3傅立叶变换应用
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本章要点
• 傅立叶变换的概念 • 傅立叶变换的性质 • 傅立叶变换的应用
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7.1 傅立叶变换的基础知识
• 7.1.1傅立叶变换的历史 • 7.1.2傅立叶变换学习线索 • 7.1.3信号的基本概念 • 7.1.4函数正交概念 • 7.1.4傅立叶级数 • 7.1.5傅立叶积分
yq(·)
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信号分析：研究信号的基本性能，如信号的
描述、性质等。
信号传输：通信的目的是为了实现消息的传输。
原始的光通信系统——古代利用烽火传送边疆
警报；声音信号的传输——击鼓鸣金；
信
GPS(Global Positioning System)；个人通信具有
号
美好的发展前景；光纤通信带来了更加宽广的
理
带宽；信号的传输离不开信号的交换。
论 信号处理：对信号进行某种加工或变换。
目的：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪
声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形
式，便于估计和选择它的特征参量。
信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。
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4、信号的分类
任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。 对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如 果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信 号称为不确定信号或随机信号。
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傅里叶深信数学是解决实际问题的最 卓越的工具， 并且认为“对自然界的深 刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见 解已成为数学史上强调通过实际应用发展 数学的一种代表性的观点。
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7.1.2 傅立叶变换的学习线索
• 该部分的特点：课时不多，概念复杂， 非常有用。
频谱分析
两种 性质
应用 信号处理
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傅立叶分析的几个情况
• 离散周期信号的傅里叶分析 • 离散非周期信号的傅里叶分析 • 连续周期信号的傅里叶分析 • 连续非周期信号的傅里叶分析
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傅立叶变换的类型
• 离散傅立叶变换 • 连续傅立叶变换 • 快速傅立叶变换 • 二维傅立叶变换
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如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输 入单输出系统，如图所示。如果含有多个输入、输出信号， 就称为多输入多输出系统 。
单 输 入单 输 出
f ( ·)
系统
y(·)
f1(·) f2(·)
fp(·)
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… …
多 输 入多 输 出 系统
y1(·) y2(·)
③ Sa(t) 0, t nπ，n 1,2,3
④ sin t d t π , sin t d t π
⑤
0
lim
t Sa(t )

2 0
t
t
⑥ sinc( t )

sinπ t
π t
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2π 3π
t
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5．钟形脉冲函数(高斯函数)
仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称 离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相 邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这 些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的， 也可以是不连续的。
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随夹角增大，c12 减小；
当 90o , c12 0，V1 和 V2 相互垂直。
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V Vx Vy
V V y
Vx
二维正交集
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V Vx Vy Vz
Vz
V
Vy
Vx
三维正交集
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二、正交函数
f1(t) c12 f2 (t) (t1 t t2 )
t 2
f (t ) Ee
f t
E
0.78 E
E e
O
t
2
在随机信号分析中占有重要地位。
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7.1.3 正交函数概念
• 正交矢量 • 正交函数
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一、正交矢量
Ve
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， 们的差，如下式：

t2 t1
d dc12
f12 (t)dt 2
t2 t
f1 (t )
f2
(t )dt
解得
2c12
t2 t1
f
2 2
(t
)dt]

0
c12
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
是它
V1 c12V2 Ve
V1
Ve
V2
c12V2
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V1
Ve V2
c12V2
V1
Ve V2
c12V2
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c12V2 V1 cos
c12

V1.V2 V22
V1V2 cos
V2
V1.V2 V2
c12 表示 V1 和 V2 互相接近的程度
当 V1 ，V2 完全重合，则 0, c12 1
• 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 • 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等
一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进 一步应用开辟了广阔的前景。 • 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅 里叶变换法具有很多的优点。 • “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生 命力。
2 1
(t1 t2 )
t2 t1
[
f1 (t )

c12
f
2(t )] 2
dt
令
d 2 0 则误差能量
dc12
2
最小。
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d 1
dc12

t2
t1
t2 t1
[
f1 (t )

c12
f2
(t
)2
dt



0
1
t2 t1
如果信号是单个独立变量的函数，称这种信号为一
维信号。一般情况下，信号为n个独立变量的函数时，就 称为n维信号。
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2 系统 由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳
定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、经济系 统、生态系统等。
系统可以看作是变换器、处理器。 电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是 完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。 在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三 个名词在一般情况下可以通用。
• 重视基本概念
• 数学基础与应用背景相结合
高等数学、复变函数。
信号（声、光、电、热、振动）分析与 处理，图象处理。 演示
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学习线索
条件 狄里克利条件
积分定理
基本概念 正交函数
傅立叶级数 傅立叶积分
周期信号 非周期信号
连续 离散
积分定理
傅立叶变换
三角形式
复指数形式

非周
期信号瞬 准周 态期( 脉( 频冲,率衰之减比函值数为) 无理数)
瞬态信号：除准周期信号外的 一切可以用时间函数描述的非 周期信号。
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下列波形是连续时间信 f t
号还是离散时间信号，
若是离散时间信号是否
为数字信号？
O
f t
连续信号
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7.1.1傅立叶变换历史
• 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在 研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并 证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅 里叶级数的理论基础。
• 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到 电学中去，得到广泛应用。
t
离散信号
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O 12345678
t
f t
3 2 1
只有1，2，3值
O 12345678
离散信号 数字信号
t
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6 常用的连续时间信号 1) 指数信号
f (t) K e t
l 0 直流(常数), l 0 指数衰减, l 0 指数增长
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3 信号与系统
输入信号 （激励）
系统
输出信号 （响应）
消息 （广播节目）
调制 信号 转换器(Ⅰ) 发射机
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解调 信号
接收机 转换器(Ⅱ)
消息 （广播节目）
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为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。
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7.1.3 信号的基本概念
1、 信号
信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而 变化的某种物理量。在数学上，可以描述为一个或多个 独立变量的函数。例如，在电子信息系统中，常用的电
压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间t或其
他变量的函数；又如在图像处理系统中，描述平面黑白 图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐 标位置(x, y)的函数，等等。
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2、正弦信号
f (t) K sin(t ) Nhomakorabeaf
t

T
K
2π

O
2π



衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
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t
t0 0
t0
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3．复指数信号
f (t ) Kest
( t )
0
f t
0
K
0
t
O
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f t
单边指数信号
f
t


0
t
t0
e
t0
f t
1
t
O
O
t
通常把 1称为指数信号的时间常数，代表信号衰减

速度，具有时间的量纲。
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
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• 所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描 述。根据不同需要，系统模型往往具有不同形式。
• 以电系统为例，它可以是由理想元器件互联组成的电 路图，由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等) 构成的模拟框图，或者由节点、传输支路组成的信号 流图；也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图 的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的 数学方程。这种数学方程也称为系统的数学模型。
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•模拟信号：时间和幅值均为连续 f t
抽
的信号.
样
•抽样信号：时间离散的，幅值 O
t
量
连续的信号。
f n
化
•数字信号：时间和幅值均为离散
n
O
的信号。
f n
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O
n
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周期信号与非周期信号 周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。连