高二数学间接证明(文)人教实验版知识精讲

高二数学间接证明（文）人教实验版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
间接证明
二. 学习目标：
初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法，培养用反证法简单推理的技能，从而发展思维能力。

三. 考点分析：
1、反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

2、应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

3、反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。

直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

4、在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

【典型例题】
例1. 已知，p，q∈R，且p3＋q3＝2，
求证：p＋q≤2
证明：用反证法
设p＋q＞2，则q＞2－p，
∴q3＞8－12p＋6p2－p3
p3＋q3＞8－12p＋6p2＝2＋6（p－1）2≥2
与题p3＋q3＝2，矛盾。

所以p＋q＞2不成立，只能是p＋q≤2。

说明：当用直接证法证明比较困难时可以用反证法。

反证法的步骤首先是否定结论，要找准结论的反面，然后根据题设或定理公理推出矛盾，即结论的反面不成立。

例2. 若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。

试某某数a的取值X围。

分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。

先求出反面情况时a的X围，再求出所得X围的补集就是正面情况的答案。

解：设三个方程均无实根，则有：
△△△122
22
22
1644301404420=--+<=--<=--<⎧⎨⎪⎩⎪a a a a a a ()()()，解得-<<<->-<<⎧⎨⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪3
21211320
a a a a 或，即－32<a<－1。

所以当a ≥－1或a ≤－3
2
时，三个方程至少有一个方程有实根。

注：“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。

本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R ），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a 的取值X 围，再将三个X 围并起来，即求集合的并集。

两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。

例3. 已知：a ，b ，c 都是小于1的正数；
分析：采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾．从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少有一个不大于
41”的否命题是“全都大于4
1”。

∵a ，b ，c 都是小于1的正数，
故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确．
说明：反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．
例4. 求证：在同一平面内，同一条直线的垂线与斜线必相交. 已知：如图，BD AB AC ,⊥与AB 斜交.
求证：AC 与BD 相交。

证法一：假设BD AC ,不相交，则BD AC //.
由题设AB AC ⊥，则AB BD ⊥. 这与题设BD 与AB 斜交矛盾，从而假设不 成立，故原命题成立.
证法二：假设BD AC ,不相交，则BD AC //，从而21∠=∠， 又由题设AB AC ⊥，知
901=∠，再由BD AC //，有
902=∠， 这与直线的斜线（即斜交）的定义矛盾， 从而假设不成立，故原命题成立。

证法三：假设BD AC ,不相交，则BD AC //。

由题设AB AC ⊥，再作AB BD ⊥'，则AC BD //'
. ∴BD 与BD ′重合。

再由题设BD 与AB 斜交，又AB BD ⊥'，∴BD 与'BD 不重合。

于是，BD 与'BD 既重合又不重合，自相矛盾， 从而假设不成立，故原命题成立。

说明：在这一例中，由反证假设，证法一推出了与已知条件矛盾的结果，证法二推出了与已知定义矛盾的结果，证法三推出了两个互相矛盾的结果. 这三种证法都推出了有矛盾的结论，从而都达到了证明原命题的目的。

例5. 给定实数a ，且a 1≠，设函数1()1x y x R ax a -=
∈≠-1
且x ，
证明：（1）经过这个函数的图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴； （2）这个函数的图象关于直线y ＝x 成轴对称图形.
证明：（1）设M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）是这个函数图象上的任意两个不同的点，则12
x x ≠.
假设直线M 1M 2平行于x 轴，
那么y 1＝y 2即12
1
211
11x x ax ax --=--
亦即1
221(1)(1)(1)(1)x ax x ax --=--，
整理得a （x 1－x 2）＝x 1－x 2。

因为1
2x x
≠，所以a ＝1， 这与已知矛盾，因此M 1M 2不平行于x 轴。

（2）先求所给函数的反函数：
由
11
(,)1x y x R x ax a -=
∈≠- 得(1)1y ax x -=-， 即(1)1ay x y -=-。

若10ay -=，则
1
y a =
，代入所给函数的解析式，
得
111x a ax -=-，即1ax a ax -=-，得a ＝1， 与已知矛盾，所以a y －10≠.
因此有
11()
1y x y ay a -=≠-
这表明函数
11()1x y x R x ax a -=
∈≠-且的反函数是11
()1x y x R x ax a -=∈≠-且。

因为函
数y ＝f （x ）的图象和它的反函数f －1
（x ）的图象关于直线y ＝x 对称，
所以函数
11
()1x y x R x ax a -=
∈≠-且的图象关于直线y ＝x 成轴对称图形.
说明：（1）此题是在正确理解函数图象概念和轴对称图形概念的基础上进行代数推理，灵活运用反证法及原函数与其反函数图象间的关系来解决问题。

（2）对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a ≠1互相矛盾。

【模拟试题】
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1、已知函数f （x ）在其定义域内是减函数，则方程f （x ）＝0 ______。

A. 至多一个实根 B. 至少一个实根 C. 一个实根 D. 无实根
2、已知a<0，－1<b<0，那么a 、ab 、ab 2之间的大小关系是_____。

A. a ＞ab ＞ ab 2
B. ab 2＞ab ＞a
C. ab ＞a ＞ ab 2
D. ab ＞ ab 2＞a 3、已知α∩β＝l ，a α，b β，若a 、b 为异面直线，则_____。

A. a 、b 都与l 相交 B. a 、b 中至少一条与l 相交 C. a 、b 中至多有一条与l 相交 D. a 、b 都不与l 相交
4、四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
5、设a b R ，∈，且a b a b 2
2
52+=+，则的取值X 围是（） A. []-55， B. []-2525， C. []-55，
D. []-55，
6、有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前 n 项和，定义
12s ...n
n
s s +++为 A 的“凯森
和”；如有99项的数列{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为 1000，则有 100项的数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为
A. 1001
B. 991
C. 999
D. 990
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
7、观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有个小正方形.
8、已知a b x y R 、、、∈+
且
11
1822a b x y +=+=，，则ab 与xy 的大小关系是______。

9、若,0,0>>b a 且12
122
=+b a ，则21b a +的最大值为。

10、已知5
23cos 2
2+++-=x x x x θ且30π
θ≤≤，则x 的取值X 围为。

三、解答题（本大题共4题，共50分） 11、已知x ，y ∈R ＋
，且x ＋y ＞2，求证：x
y
y x ++11与中至少有一个小于2。

12、已知：2
()f x x px q =++，求证： （1）(1)(3)2(2)2f f f +-=；
（2）(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于
1
2。

13、如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。

求证：AC 与平面SOB 不垂直。

14、1),0(=++∞+∈c b a c b a 且、、，求证：3≤++c b a
试题答案
1、从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A ；
2、采用“特殊值法”，取a ＝－1、b ＝－0.5，选D ；
3、从逐一假设选择项成立着手分析，选B ；
4、D
分析清楚结论的几种情况，列式是：C 104
－C 64
×4－3－6 5、C 解：设a b ==55cos sin θθ，，
则a b +=+252(cos sin )θθ
=+∈-555sin()[]θϕ，
6、B
7、
2
)
2)(1(++n n
8、ab xy ≥
解：
1121a b ab +≥ ∴≤≥+≥∴≤114424
22ab ab x y xy xy
9、
4
2
3
10、解：由1cos 2
1
≤≤θ则1523212
2≤+++-≤x x x x 由
05
21
321523222≥+++-⇔≥+++-x x x x x x x 3
1
13013≤⇔≤⇔≥+-⇔x x x
（由0522
>++x x ）
又由02215
23
22
2≥++⇔≤+++-x x x x x x 0<∆，上式恒成立。

综上]3
1
,(-∞∈x
11、证明：（反证法）：假设x y y x ++11与均不小于2，即y x +1≥2，x
y
+1≥2， ∴1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x 。

将两式相加得：x ＋y ≤2，与已知x ＋y ＞2矛盾，
故
x
y
y x ++11与中至少有一个小于2。

12、（1）证明：∵q px x x f ++=2
)(
∴q p f ++=1)1(q p f ++=24)2(q p f ++=39)3( 2
)24(2)39()1()
2(2)3()1(=++-+++++=-+q p q p q p f f f （2）假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2
1
，则
21)3(,21)2(,21)1(<<<f f f ，
即有 21
)1(21<<-f
21)2(21<<-f 2
1)3(21<<-f ∴2)2(2)3()1(2<-+<-f f f
由（1）可知2)2(2)3()1(=-+f f f ，与2)2(2)3()1(2<-+<-f f f 矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立 13、分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。

证明：假设AC ⊥平面SOB ，
∵ 直线SO 在平面SOB 内， ∴ AC ⊥SO ， ∵SO ⊥底面圆O ， ∴ SO ⊥AB ，
∴SO ⊥平面SAB ， ∴平面SAB ∥底面圆O ， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。

即AC 与平面SOB 不垂直。

【注】否定性的问题常用反证法。

例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。

14、证：3≤
++c b a
原命题成立
即：即：∴=+++++≤+++≤+≤+≤≤++≤++⇔2
)()()(22222222223)(2c a c b b a ac bc ab c a ac c b bc b a ab ac bc ab c b a。